|
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Пусть точки А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3) принадлежат плоскости α.
Тогда
- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Нормальное уравнение плоскости Пусть задана плоскость α и пусть Для любой точки М(х,у,z)
Так как
xcosα + ycosβ + zсозγ – p = 0 – нормальное равнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости Обозначим через d расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости α, заданной общим уравнением вида (*).
Тогда
Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть плоскости α1 и α2 заданы уравнениями:
α1: А1х + B1y + C1z + D1 = 0, α2: А2х + В2y + С2z + D2 = 0.
Теорема. Тогда и только тогда плоскости α1 и α2: 1) совпадают, когда А1=λA2, B1=λB2, C1=λC2, D1=λD2; 2) параллельны и различны, когда A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2, D1 3)пересекаются, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2
Пучок и связка плоскостей
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка. Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α1 и α2 . Тогда уравнение пучка имеет вид А1х + B1y + C1z + D1 + λ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, где λ
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S0 (x0,y0,z0) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S0 имеет вид А(х-x0) + В(у-y0) + С(z-z0) = 0, где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.
Угол между двумя плоскостями
Пусть даны плоскости α1 и α2 своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α1 и α2 понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому
В частности, если φ = π/2, то
А1A2 + В1B2 + С1C2 = 0
- условие перпендикулярности двух плоскостей.
IV ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Уравнение прямой в пространстве
Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α1 и α2. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений
- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде. Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора
Переходя к координатам, получим x - x0 = tm, y - y0 = tn, z - z0 = tp - параметрические уравнение прямой. Выражая параметр t, получим
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0 y0,z0) параллельно вектору
Последнее уравнение равносильно
- общее уравнение прямой.
Пусть M1{x1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2) – точки прямой. Тогда - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой. Беря произвольную точку М0(х0,у0,z0) прямой получаем - каноническое уравнение прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями
Обозначим
1) если прямые совпадают, то все три вектора 2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора 3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов 4) ecли прямые скрещиваются, то векторы Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l1 и l2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов Следовательно,
- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых. m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0 - необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых. Если прямые l1 и l2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (
![]() ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|