Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.

Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида

Аx + By + С = О, (1)

где А, В, С R и А² + В² 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.

Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.

Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда

-Ах-By=-С, и .

Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим

-уравнение в отрезках.

Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.

Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M₁(x₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) принадлежит l. Тогда

Аx₁ + Ву₁ + С = Ах₂ + Ву₂ + С, то есть A(x₁-x₂) + В(у₁-у₂) = 0.

Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x₁-x₂,у₁-у₂). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l.

Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда

=А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .

Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направлящий вектор = (m,n) и точка M₀ (x₀,y₀) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M и M₀, то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х,у), =(х₀,у₀), то

x = x₀ + mt,

y = y₀ + nt

- параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой.

Наконец, если на прямой l заданы две точки M₁(х₁,у₁) и

M₂(x₂,у₂), то вектор =(х₂-х₁,y₂-у₁) является направляющим вектором прямой l. Тогда

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

Взаимное расположение двух прямых.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы своими общими уравнениями

l₁: А₁х + В₁у + С₁ = 0, (1)

l₂: А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Теорема. Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A₁=λA₂, В₁=λB₂;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А₁=λA₂, B₁=λB₂, С₁=λС₂;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁ λС₂.

Пучок прямых

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l₁ и l₂ , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Уравнение:

A₁x + B₁y + С + λ (A₂х + В₂y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l₁ и l_2.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l₁ и l₂. своими общими уравненими; = (А₁,B₁), = (А₂,В₂) – нормальные векторы этих прямых; k₁ = tgα₁, k₂ = tgα₂ – угловые коэффициенты; = (m₁,n₁), (m₂,n₂) – направляющие векторы. Тогда, прямые l₁ и l₂ параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

либо , либо k₁=k₂, либо .

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Если прямые l₁ и l₂ заданы соответственно уравнениями

l₁: у=k₁x + b₁,

l₂: у=k₂x + b₂,

то tgα₂ = tg(90º+α) = .

Отсюда следует, что

Наконец, если и направляющие векторы прямых, то ^ , то есть

m₁m₂ + n₁n₂ = 0

Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l₁ и l₂ будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

cosφ=

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ задана уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ в k₂ соответственно. Тогда

Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то

Расстояние от точки до прямой

Пусть d - расстояние от точки М₀(x₀,у₀) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + С=0.

Тогда

.

III ПЛОСКОСТЬ

Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М₀(х₀,у₀,z₀). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) α и обозначим (А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х-х₀) + В(у-у₀) + C(z-z₀) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -Аx₀ - Ву₀ - Cz₀. Получим

Ax + By + Сz + D = 0 (*)

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A²+B²+C² ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: