Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.

Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида

А x + B y + С = О, (1)

где А, В, С R и А² + В² 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.

Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.

Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда

-Ах-By=-С, и .

Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим

- уравнение в отрезках.

Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.

Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M₁(x₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) принадлежит l. Тогда

А x ₁ + В у ₁ + С = А х ₂ + В у ₂ + С, то есть A(x ₁- x ₂) + В(у ₁- у ₂) = 0.

Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x₁-x₂,у₁-у₂). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l.

Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда

=А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .

Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направлящий вектор = (m,n) и точка M₀ (x ₀, y ₀) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x, у) этой прямой имеем

и так как то .

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M и M₀, то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х, у), =(х ₀, у ₀), то

x = x ₀ + mt,

y = y ₀ + nt

- параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой.

Наконец, если на прямой l заданы две точки M₁(х ₁, у ₁) и

M₂(x ₂, у ₂), то вектор =(х ₂- х ₁, y ₂- у ₁) является направляющим вектором прямой l. Тогда

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

Взаимное расположение двух прямых.

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы своими общими уравнениями

l ₁: А₁ х + В₁ у + С₁ = 0, (1)

l ₂: А₂ х + В₂ у + С₂ = 0.

Теорема. Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A₁=λA₂, В₁=λB₂;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А₁=λA₂, B₁=λB₂, С₁=λС₂;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А₁=λA₂, В₁=λВ₂, С₁ λС₂.

Пучок прямых

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l ₁ и l ₂, проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l ₁ и l ₂ заданы уравнениями

l ₁: A₁ x + B₁ y + C₁ = 0,

l ₂: A₂ x + B₂ y + C₂ = 0.

Уравнение:

A₁ x + B₁ y + С + λ (A₂ х + В₂ y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l₁ и l_2.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l ₁ и l ₂. своими общими уравненими; = (А₁,B₁), = (А₂,В₂) – нормальные векторы этих прямых; k ₁ = tgα₁, k ₂ = tgα₂ – угловые коэффициенты; = (m ₁, n ₁), (m ₂, n ₂) – направляющие векторы. Тогда, прямые l ₁ и l ₂ параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

либо , либо k ₁= k ₂, либо .

Пусть теперь прямые l ₁ и l ₂ перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Если прямые l ₁ и l ₂ заданы соответственно уравнениями

l ₁: у = k ₁ x + b ₁,

l ₂: у = k ₂ x + b ₂,

то tgα₂ = tg(90º+α) = .

Отсюда следует, что

Наконец, если и направляющие векторы прямых, то ^ , то есть

m ₁ m ₂ + n ₁ n ₂ = 0

Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l ₁ и l ₂ будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

cosφ=

Пусть теперь прямые l ₁ и l ₂ задана уравнениями с угловыми коэффициентами k ₁ в k ₂ соответственно. Тогда

Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то

Расстояние от точки до прямой

Пусть d - расстояние от точки М₀(x ₀, у ₀) до прямой l, заданной уравнением A x + B y + С=0.

Тогда

.

III ПЛОСКОСТЬ

Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М₀(х ₀, у ₀, z ₀). Возьмем произвольную точку М(х, у, z) α и обозначим (А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х - х ₀) + В(у - у ₀) + C(z - z ₀) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -А x ₀ - В у ₀ - C z ₀. Получим

A x + B y + С z + D = 0 (*)

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A²+B²+C² ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: