|
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY. Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
А x + B y + С = О, (1)
где А, В, С Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой. Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
-Ах-By=-С, и Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим - уравнение в отрезках. Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно. Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x1,у1) и М2(х2,у2) принадлежит l. Тогда А x 1 + В у 1 + С = А х 2 + В у 2 + С, то есть A(x 1- x 2) + В(у 1- у 2) = 0. Последнее равенство означает, что вектор Рассмотрим вектор
Следовательно, вектор
Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
и так как
Если обозначить - радиус-векторы соответственно точек M и M0, то - уравнение прямой в векторной форме. Так как x = x 0 + mt, y = y 0 + nt
- параметрическое уравнение прямой. Отсюда следует, что - каноническое уравнение прямой. Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х 1, у 1) и M2(x 2, у 2), то вектор - уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l 1 и l 2 заданы своими общими уравнениями l 1: А1 х + В1 у + С1 = 0, (1) l 2: А2 х + В2 у + С2 = 0.
Теорема. Пусть прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда: 1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что A1=λA2, В1=λB2; 2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2; 3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что А1=λA2, В1=λВ2, С1
Пучок прямых
Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка. Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l 1 и l 2, проходящие через центр пучка. Пусть в аффинной системе координат прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями l 1: A1 x + B1 y + C1 = 0, l 2: A2 x + B2 y + C2 = 0.
Уравнение: A1 x + B1 y + С + λ (A2 х + В2 y + C) = 0 - уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2. В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть заданы прямые l 1 и l 2. своими общими уравненими; либо
Если прямые l 1 и l 2 заданы соответственно уравнениями l 1: у = k 1 x + b 1, l 2: у = k 2 x + b 2, то tgα2 = tg(90º+α) = Отсюда следует, что
Наконец, если m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей. Угол между двумя прямыми
Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что
cosφ=
Пусть теперь прямые l 1 и l 2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k 1 в k 2 соответственно. Тогда Наконец, если
Расстояние от точки до прямой Пусть d - расстояние от точки М0(x 0, у 0) до прямой l, заданной уравнением A x + B y + С=0.
Тогда
III ПЛОСКОСТЬ
Общее уравнение плоскости
Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М0(х 0, у 0, z 0). Возьмем произвольную точку М(х, у, z) Очевидно, что Раскроем скобки и обозначим D= -А x 0 - В у 0 - C z 0. Получим
A x + B y + С z + D = 0 (*)
Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.
Пусть 1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат. 2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ 3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.
Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля. Тогда - уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
![]() ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|