Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.





 

Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.

Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида

 

Аx + By + С = О, (1)

 

где А, В, С R и А2 + В2 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.

Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.

Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда

 

-Ах-By=-С, и .

Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим

-уравнение в отрезках.

Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.

Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x11) и М222) принадлежит l. Тогда

Аx1 + Ву1 + С = Ах2 + Ву2 + С, то есть A(x1-x2) + В(у1-у2) = 0.

Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x1-x212). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l.

Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда

=А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .

Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l.

 

Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направлящий вектор = (m,n) и точка M0 (x0,y0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем

и так как то .

 

Если обозначить и

- радиус-векторы соответственно точек M и M0, то

- уравнение прямой в векторной форме.

Так как =(х,у), =(х0,у0), то

x = x0 + mt,

y = y0 + nt

 

- параметрическое уравнение прямой.

Отсюда следует, что

- каноническое уравнение прямой.

Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х1,у1) и

M2(x2,у2), то вектор =(х2-х1,y2-у1) является направляющим вектором прямой l. Тогда



- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

 

Взаимное расположение двух прямых.

 

Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями

l1: А1х + В1у + С1 = 0, (1)

l2: А2х + В2у + С2 = 0.

 

Теорема. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:

1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что

A1=λA2, В1=λB2;

2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что

А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2;

3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что

А1=λA2, В1=λВ2, С1 λС2.

 

Пучок прямых

 

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l1 и l2 , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l1 и l2 заданы уравнениями

l1: A1x + B1y + C1 = 0,

l2: A2x + B2y + C2 = 0.

 

Уравнение:

A1x + B1y + С + λ (A2х + В2y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

 

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l1 и l2. своими общими уравненими; = (А1,B1), = (А22) – нормальные векторы этих прямых; k1 = tgα1, k2 = tgα2 – угловые коэффициенты; = (m1,n1), (m2,n2) – направляющие векторы. Тогда, прямые l1 и l2 параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

либо , либо k1=k2, либо .

 

Пусть теперь прямые l1 и l2 перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А1А2 + В1В2 = 0.

Если прямые l1 и l2 заданы соответственно уравнениями

l1: у=k1x + b1,

l2: у=k2x + b2,

то tgα2 = tg(90º+α) = .

Отсюда следует, что

 

Наконец, если и направляющие векторы прямых, то ^ , то есть

m1m2 + n1n2 = 0

Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l1 и l2 будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £

 

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

 

cosφ=

 

Пусть теперь прямые l1 и l2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k1 в k2 соответственно. Тогда

Наконец, если и - направляющие вектора прямых, то

 

 

Расстояние от точки до прямой

Пусть d - расстояние от точки М0(x0,у0) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + С=0.

 

Тогда

.

 

III ПЛОСКОСТЬ

 

Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М0(х0,у0,z0). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) α и обозначим (А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х-х0) + В(у-у0) + C(z-z0) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -Аx0 - Ву0 - Cz0. Получим

 

Ax + By + Сz + D = 0 (*)

 

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

 

Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

 

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

 

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.