Оценки результата измерения.

После того, как влияние постоянно действующих и закономерных влияющих факторов исключено или учтено введение поправок, результат измерения остается случайным. Рассеяние отдельных значений результата измерения объясняется тем, что сравнение неизвестного размера с известным (получение отсчета) происходит в условиях воздействия множества случайных факторов (помех), точный учет совместного влияния которых невозможен. Поэтому для оценки закона распределения результата измерения необходимо провести многократное измерение, то есть несколько раз измерить одну и ту же величину.

Применяют два вида оценок результата измерения – точечные и интервальные.

1.Точечные оценки – это оценки, которые выражаются одним числом.

Предположим, что путем внесения поправок все закономерно изменяющиеся факторы учтены (выполнено исправление результата измерения). Тогда результат каждого отдельного сравнения при многократном измерении можно представить как:

(1.24)

где δ_i – случайная погрешность результата измерения; Q_i – результат i-того сравнения значения величины с мерой (измеренное значение величины); Q – значение измеряемой величины.

В большинстве случаев δ распределена по одному из симметричных законов (как правило, по нормальному закону) распределения вероятности. Определим среднее арифметическое значение результата измерения:

(1.25)

Для симметричных законов при достаточно большом n Σδ_i → 0, то есть среднее арифметическое стремиться к значению измеряемой величины: .

Вывод: При симметричных законах распределения вероятности результата измерения среднее арифметическое, будучи оценкой математического ожидания, является оценкой значения измеряемой величины.

Мерой рассеяния отдельных результатов сравнения относительно среднего арифметического является среднее квадратическое отклонение, оценка которого определяется как:

(1.27)

Отметим, что среднее арифметическое определяется по конечному ряду значений, каждое из которых является случайной величиной. Поэтому среднее арифметическое, а следовательно и среднее квадратическое отклонение, являясь оценками результата измерения, также будут случайными величинами.

Мерой рассеяния среднего арифметического значения относительно значения измеряемой величины является среднее квадратическое отклонение среднего арифметического или так называемое стандартное отклонение, оценка которого определяется как:

(1.28)

Видно, что с увеличением числа опытов точность многократного измерения возрастает («семь раз отмерь – один раз отрежь»).

2. Интервальные оценки.

Точечные оценки и S характеризуют результат измерения, при этом, однако, оценка по данным точечным характеристикам результата измерения не является наглядной и не дает непосредственной информации о том, чему же равно значение измеряемой величины.

Смысл оценки результата измерения с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенной вероятностью (доверительной вероятностью) находится значение измеряемой величины.

Пусть α означает вероятность того, что значение результата измерения не отличается от значения величины больше, чем не E, что можно записать в виде:

(1.29)

Тогда α – доверительная вероятность, а интервал значений от до – доверительный интервал.

Очевидно, что доверительный интервал и доверительная вероятность связаны между собой чем больше α, тем больше должен быть Е. Таким образом, для оценки результата необходимо иметь два значения: доверительный интервал – оценка точности и доверительная вероятность – оценка надежности результата измерения.

На практике обычно задаются определенной степенью надежности (доверительной вероятностью) и рассчитывают доверительный интервал. В машино- и приборостроении обычно задают α=90..95%. Для ответственных изделий может иметь место α=0,99% или даже α=0,999%.

Значение Е определяется на основании точечных оценок. Если закон распределения результата измерения нормальный, то Е можно определить по табулированной функции:

(1.30)

где x=E/S.

Так, например, доверительный интервал ±S соответствует доверительной вероятности α=0,683. Вероятности α=0,954–Е=±2S, а вероятности α=0,997–Е=3S.

Приведенные рассуждения правомочны, если имеется достаточно большое число экспериментальных данных (n>40..50). При технических измерительных обычно производят значительно меньшее число измерений. В случае, когда вероятность результата измерения распределяется по нормальному закону, а количество экспериментальных данных меньше 30…40, то среднее арифметическое подчиняется закону распределения вероятности Стьюдента (псевдоним В.С. Гассета) с тем же средним значением .

Не останавливаясь на математических выражениях для распределения Стьюдента, отметим, что значения функции также табулированы. На основании табличных данных, задаваясь доверительной вероятностью и числом экспериментальных данных – n, можно определить величину коэффициента Стьюдента – t_α. Параметр t_α играет в метрологии важную роль. Он показывает на сколько σ (СКО) с заданной вероятностью может отличаться случайное число, подчиненное нормальному закону распределения вероятности, от своего среднего значения. В данном случае t_α показывает, насколько S (среднее арифметическое значение) может отличаться от значения измеряемой величины. Таким образом, доверительный интервал определяется как:

(1.31)

В отличие от нормального закона распределения, распределение Стьюдента дает значение t_α зависимое от n. Так, например доверительный интервал ±2S имеет место для доверительной вероятности 0.86 (n=4); 0.90(n=6); 0.924(n=10); 0.940(n=20). При n>30 закон Стьюдента преобразуется в нормальный закон распределения вероятности.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: