|
|
Корневые критерии устойчивости1) затухающий процесс Устойчивая система.
незатухающий процесс Неустойчивая система
3) отрицательной вещественной частью
вещественной частью
Неустойчивая система
монотонный колебательный процесс гармонические колебания с постоянной частотой и амплитудой.
Система на границе устойчивости. Вывод: Чтобы САУ была устойчивой необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то процесс будет расходящийся а система – неустойчива. Если корень равен 0, то малейшее появление отрицательной составляющей сделает процесс устойчиво колебательным, а положительной – неустойчиво колебательным. Часто корни характеристического уравнения при анализе устойчивости систем изображают на комплексной плоскости – плоскости корней характеристического уравнения Комплексная плоскость мнимой осью разбивается на 2 части. Левую сторону называют областью устойчивости, а правую – областью неустойчивого движения. Если корни лежат на мнимой оси или в 0, то система находится на границе устойчивости. Вывод: Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хоть один корень справа, то система неустойчива. Таким образом, мнимая ось есть граница, за которую корни не должны переходить. Если система имеет хотя бы один нулевой корень или хотя бы одну пару чисто мнимых корней, а все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть, то система находится на границе устойчивости. При этом выделяют 3 типа границ устойчивости линейных систем: 1. Апериодическая граница устойчивости, которая соответствует р=0. Когда корень – нуль, то в характеристическом уравнении и система будет устойчива относительно скорости изменения управляемой величины, а сама управляющая величина может принимать произвольное значение. Система является нейтрально устойчивой. 2. Колебательная граница устойчивости, которой соответствуют чисто мнимые корни
В связи с тем, что корни характеристического уравнения определять трудно для систем высокого порядка, были разработан целый ряд критериев, с помощью которых судят об устойчивости систем. Алгебраические критерии. Критерий устойчивости Гурвица. При рассмотрении алгебраических критериев используются лишь коэффициенты характеристического уравнения и необходимые и достаточные условия устойчивости систем. Необходимое условие является справедливым для всех систем: Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными
Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):
Матрица коэффициентов По диагонали от левого верхнего угла до правого нижнего выписывают все коэффициенты по порядку от а1 до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с чётными и нечётными индексами. В случае отсутствия даннного коэффициента или если его индекс <0 или >n, то на его место пишется 0.
0
……………..аn 3= а0 а2 а4 0 а1 а3
n =аn* n-1 Если аn=0, то имеет место апериодическая граница устойчивости.
Критерий Раусса. Так же базируется на коэффициентах характеристического уравнения, из которого строится таблица.
b1=(a1*a2-a0*a3)/a1 b2=(a1*a4-a0*a5)/a1 b3=(a1*a6-a0*a7)/a1 b4=(a1*a8-a0*a9)/a1 c1=(b1*a3-a1*b2)/b1 c2=(b1*a5-a1*b3)/b1…… Для устойчивости системы все коэффициенты 1-го столбца должны быть больше 0 а0>0, a1>0… Частотные критерии Критерий Михайлова. Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(ω),Y(ω)) замкнутой системы при изменении частоты от 0 до + Возьмём характеристический полином следующего вида:
Подставим в него
Изобразим годограф Михайлова выражения
Берём значения Формулировка критерия Михайлова. Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D (jω) при изменении частоты от 0 до +∞ начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов комплексной плоскости, повернувшись на угол n∙π/2, где n – степень характеристического уравнения D (jω)= 0 Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно
Устойчивая Неустойчивая Апериодическая Колебательная граница устойчивости граница устойчивости Другая формулировка критерия Михайлова: Она состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов Идя по кривой Михайлова от т. Это значит, что корни уравнений Кривые
Перемежаться должны корни Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.   ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
отрицательная вещественная часть
2) 
положительные вещественные корни
корни комплексно-сопряженные с
Система устойчива.
4) комплексно-сопряженные с положительной
5) 
комплексные корни (чисто мнимые)
Необходимое условие является и достаточным для систем 1-го и 2-го порядка.
а1 а3 а5 ………0 1=а1>0
а0 а2 а4 ………0 а1 а3
а1 а3 а5…....0 2= а0 а2
………………. а1 а3 а5
Если n1=0, то это колебательная граница устойчивости.
Для устойчивости систем по критерию Раусса необходимо и достаточно чтобы при а0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными.
.
(1)
и выделим вещественную и мнимую части.
- вещественная часть,
- мнимая часть.
на комплексной плоскости.
и строим годограф. Для различных 
годограф имеет формы, представленные на рисунке. Эти годографы называются кривыми Михайлова. Кривая Михайлова строится по точкам, рассчитывается 
и 
для данной частоты, на кривой указываются значения частоты.
и 
.
в направлении возрастания частоты, мы выходим из оси 
, затем пересекаем ось 
, потом снова 
и т. д.
и 
должны следовать поочерёдно друг за другом.
и 
имеют приблизительно такой вид:
, 
, 
,… Между ними должно быть следующее соотношение: 