По выполнению расчетно-графических

К.В. Подмастерьев,

Е.В. Пахолкин,

В.В. Мишин

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

По выполнению расчетно-графических

И курсовых работ

по метрологическим дисциплинам

Орел 2003

Авторы: заведующий кафедрой ПМиС, доктор технических наук, профессор К.В. Подмастерьев

доцент кафедры ПМиС, кандидат технических наук Е.В. Пахолкин

доцент кафедры ПМиС, кандидат технических наук В.В. Мишин

Рецензент: доцент кафедры ПМиС, кандидат технических наук, доцент З.П. Лисовская

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе ОрелГТУ,

302020, г. Орел, ул. Московская, 65.

Ó ОрелГТУ, 2003

Ó Подмастерьев К.В.,

Пахолкин Е.В.,

Мишин В.В., 2003

Содержание

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Содержание расчетно-графической работы

Согласно государственным образовательным стандартам циклы общепрофессиональных дисциплин практически по любой специальности включают одну из метрологических дисциплин. Напри­мер, по специальности 190100 изучается дисциплина «Метрология, стандартизация, сертификация», по специальностям 220500 и 200800 – «Метрология, стандартизация и технические измерения». При этом рабочие планы для различных специальностей предполагают выполнение расчетно-графических или курсовых работ. Наряду со специфическими задачами изучения метрологической дисциплины для каждой специальности есть общие цели и задачи для всех специальностей.

Одной из основных задач изучения метрологических дисциплин в вузе является освоение методов получения достоверной измеритель­ной информации и правильного ее использования, а также приобрете­ние практических навыков обработки данных при выполнении различных видов измерений.

Решению указанной задачи и служат задания, изложенные в данных методических указаниях. При выполнении работы студент углубляет те­оретические знания и получает практические навыки в области обра­ботки экспериментальных данных при выполнении однократных и многократных измерений, нескольких серий измерений, при функцио­нальных преобразованиях результатов измерений и исследовании фи­зических зависимостей.

В настоящих методических указаниях представлены индивидуаль­ные задания пяти видов (по сто вариантов):

– задание 1. Однократное измерение;

– задание 2. Многократное измерение;

– задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений;

– задание 4. Функциональные преобразования результатов измере­ний;

– задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей.

В зависимости от изучаемой дисциплины и планируемого объема работа может включать лишь некоторые из представленных пяти зада­ний.

Оформление работы

Расчетно-графические и курсовые работы оформляются на листах стандарт­ного формата А4 (297x210 мм). Форма титульного листа представлена в приложении А.

Работа должна включать по каждому заданию: условие задачи; экспериментальные данные; априорную информацию; выбранный алго­ритм обработки с соответствующими пояснениями и промежуточные ре­зультаты обработки экспериментальных данных; полученный результат измерений; необходимые графики и диаграммы, поясняющие решение задач.

В конце работы необходимо представить список использованных источников.

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Задание 1. Однократное измерение

2.1.1 Условие задания

Указания по выполнению

1. Исходные данные студент выбирает из таблицы 1 по предпоследней и последней цифрам шифра; например шиф­ру 96836 соответствует априорная информация, определяемая на пе­ресечении строки 3 столбца 6.

2. Априорная информация в таблице 1 представлена в двух вари­антах. В первом варианте даются сведения о классе точности средс­тва измерений: пределы измерений, класс точности, значение адди­тивной (q_а) или мультипликативной (q_м) поправки. Например, данные: -50...50; 1,5; q_а = 0,5, – означают, что средство измерения имеет диапазон измерений от -50 до 50, класс точности 1,5, а значение аддитивной поправки равняется 0,5.

Во втором варианте в качестве априорной информации даются сведения о видах и характеристиках распределения вероятности ре­зультата измерения: вид закона распределения, значение оценки среднего квадратического отклонения (S_x), доверительная вероятность Р (для нормального закона распределения) и значение адди­тивной (q_а) или мультипликативной (q_м) поправки. Например, данные: норм.; S_x =0,5; Р = 0,95; q_м = 1,1 – означают, что закон расп­ределения вероятности результата измерения нормальный, со значени­ем оценки среднеквадратического отклонения 0,5. При этом имеет место мультипликативная поправка (поправочный множитель) 1,1, а доверительный интервал следует рассчитывать с доверительной веро­ятностью 0,95.

Порядок расчета

Результат измерения при однократном измерении определяется по алгоритму, представленному на рисунке 34 в источнике [1].

Обработка экспериментальных данных зависит от вида используе­мой априорной информации. Если это информация о классе точности, то пределы, в которых находится значение измеряемой ве­личины без учета поправки, определяются следующим образом:

Q ₁ = X – DХ; Q ₂ = X + DХ,

где DХ - предел допускаемой абсолю­тной погрешности средства измерения при его показании X. Значе­ние DХ определяется в зависимости от класса точности и способа его задания по ГОСТ 8.401-80.

Если в качестве априорной используется информация о законе распределения вероятности, то пределы определяются через дове­рительный интервал:

Q ₁ = X – E; Q ₂ = X + Е.

Значение Е определяется в зависимости от вида закона распределе­ния вероятности результата измерения. Для нормального закона

Е = t ∙ S_x,

где t для заданной доверительной вероятности Р выбира­ется из таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (например, табл. 1.1.2.6.2 [2], при этом следует учитывать, что Р = 2 Ф (t)). Таблица распределения также приведена в приложении Б.

Для равномерного закона распреде­ления вероятности результата измерения значение Е (аналог довери­тельного интервала) можно определить из выражения

Е = a ∙ S_x,

где .

При представлении результата измерения необходимо внести поправки и уточнить пределы, в которых находится значение измеряемой величины.

При вычислении следует руководствоваться прави­лами округления, согласно которым значения среднеквадратических отклонений указываются в окончательном ответе двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, если первая равна 3 или более. Все предварительные расчеты выполняются не ме­нее чем с одним или двумя лишними знаками.

В качестве справочных данных могут исполь­зоваться аналогичные таблицы из других литературных источников.

Задание 2. Многократное измерение

2.2.1 Условие задания

При многократном измерении одной и той жефизической величины получена серия из 24 результатов измерений Q_i; i Î [1...24]. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат измерения.

Таблица 2 – Исходные данные

Указания по выполнению

1. Серию экспериментальных данных студент выбирает из таблицы 2 по предпоследней и последней цифрам шифра. Например, шифру 96836 соответствует серия, включающая все результаты измерений, которые приведены в строке 3 и столбце 6.

2. Результат измерения следует получить с доверительной вероятностью 0,95.

Порядок расчета

Результат многократного измерения находится по алгоритму, представленному на рисунке 40 [1]. При этом необходимо учитывать, что n = 24, следовательно, порядок расчетов и их содержание определяются условием 10…15 < n < 40…50.

1. Определить точечные оценки результата измерения: среднего арифметического и среднего квадратического отклонения S_Q результата измерения.

2. Обнаружить и исключить ошибки. Для этого необходимо:

– вычислить наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение

;

– задаться доверительной вероятностью Р и из соответствующих таблиц (таблица П.6 [3] или из таблица В.1) с учетом q = 1 – Р найти соответствующее ей теоретическое (табличное) значение ν_q;

– сравнить ν с ν_q.

Если ν > ν_q, то данный результат измерения Q_i является оши­бочным, он должен быть отброшен. После этого необходимо повторить вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов изме­рений. Вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнять­ся условие ν < ν_q.

3. Проверить гипотезу о нормальности распределения оставших­ся результатов измерений.

Проверка выполняется по составному критерию [3].

Применив критерий 1, следует:

– вычислить отношение

– задаться доверительной вероятностью P ₁ (рекомендуется принять P ₁ = 0,98) и для уровня значимости q ₁ = 1 – Р ₁ по соответствующим таблицам (таблица П.7 [3] или таблица Г.1) определить квантили рас­пределения d _{1-0,5 q l},и d _{0,5 q 1};

– сравнить d с d _{1-0,5 q l} и d _{0,5 q 1}.

Если d _{1-0,5 q 1} < d < d _{0,5 q 1}, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применив критерий 2, следует:

– задаться доверительной вероятностью Р ₂ (рекомендуется принять Р ₂ = 0,98) и для уровня значимости q ₂ = 1 – Р ₂ с учетом n опреде­лить по соответствующим таблицам (таблица П.8 [3] или таблица Г.2) зна­чения m и Р *;

– для вероятности Р * из таблиц для интегральной функции нормиро­ванного нормального распределения Ф (t) (таблица 1.1.2.6.2 [2] или таблица Б.1) определить значение t и рассчитать Е = t ∙ S_Q.

Если не более m разностей | _i - | превосходит Е, то гипо­теза о нормальном законе распределения вероятности результата из­мерения согласуется с экспериментальными данными, закон можно признать нормальным с вероятностью Р ₀ ³ (Р ₁ + Р ₂ – 1).

Если хотя бы один из критериев не соблюдается, то гипотезу о нормальности распределения отвергают.

4. Определить стандартное отклонение среднего арифметическо­го.

Если закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяют как .

Если гипотеза о нормальности распределения отвергает­ся, то

.

5. Определить доверительный интервал.

Если закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то доверительный интервал для заданной дове­рительной вероятности Р определяется из распределения Стьюдента Е = t × S, где t выбирается из соответствующих таблиц (таблица 1.1.2.8 [2] или таблица Д.1, при этом m = n – 1, а a = Р).

Если гипотеза о нормальности распределения отвергается, то t определяется из неравенства П. Л. Чебышева:

Р ³ 1 – 1/ t ².

Задание3. Обработка результатов нескольких серий измерений

2.3.1 Условие задания

При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (n_j) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Вычислить результат многократных измерений.

Указания по выполнению

1. Серии в таблице 2 студент выбирает по предпоследней и пос­ледней цифрам шифра: например, шифру 96836 соответствуют все ре­зультаты измерений, которые приведены в строке 3 (серия 1) и столбце 6 (серия 2).

2. Результат измерения следует получить с достоверностью 0,95.

Порядок расчета

Обработку результатов двух серий измерений целесообразно осуществлять по алгоритмам [1, с. 122-129] (последовательность расчетов и их содержание определяются условием 10...15 < n < 40...50).

1. Обработать экспериментальные данные в каждой j -й серии отдельно по алгоритму, изложенному в задании 2 (алгоритм обработки многократных измерений), при этом:

– определить оценки результата измерения Q_j и среднего квадратического отклонения s_qj;

– обнаружить и исключить ошибки;

– проверить гипотезу о нормальности распределения оставшихся ре­зультатов измерений.

2. Проверить значимость различия средних арифметических се­рий по алгоритму, представленному на рисунке 48 [1]. Для этого следует:

– вычислить моменты закона распределения разности:

G = ₁ - ₂,

;

– задавшись доверительной вероятностью Р, определить из соответс­твующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (таблица 1.1.2.6.2 [2] или таблица Б.1) значение t;

– сравнить | G | с t × S_g.

Если | G | t · S_g, то различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью Р можно признать незначимым.

3. Проверить равнорассеянность результатов измерений в сери­ях по алгоритму, изложенному на рисунке 50 [1]. Для этого необходимо:

– определить значение ;

– задавшись доверительной вероятностью Р, определить из соответ­ствующих таблиц (таблица 16 [1] или таблица Е.1) значение аргумента ин­тегральной функции распределения вероятности Фишера y ₀;

– сравнить y с y ₀.

Если y < y ₀, то серии с доверительной вероятностью Р счи­тают рассеянными.

4. Обработать совместно результаты измерения обеих серий с учетом того, однородны серии или нет.

Если серии однородны (равнорассеянны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения следует объ­единить в единый массив и выполнить обработку по алгоритму на рисунке 40 [1]. Для этого необходимо:

– определить оценку результата измерения и среднего квадратического отклонения S:

;

;

– задавшись доверительной вероятностью Р, определить из таблиц распределения Стьюдента (таблица 1.1.2.8 [2] или таблица Д.1) значение t для числа степеней свободы ;

– определить доверительный интервал Е = t × S.

Если серии не равнорассеянны с незначимым различием средних арифметических, то совместную обработку результатов измерений следует выполнять с учетом весовых коэффициентов по алгоритму, представленному на рисунке 51 [1].

Для этого необходимо:

– определить оценки результата измерения – и среднего квадратического отклонения S:

;

;

– аналогично предыдущему случаю, задавшись доверительной вероят­ностью Р, определить t и доверительный интервал.

Если различие средних арифметических в сериях признано зна­чимым, то результаты измерений в каждой серии следует обработать раздельно по алгоритму многократных измерений:

– в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения в каждой серии определить S_j;

– задавшись доверительной вероятностью Р, определить по соответ­ствующим таблицам значение t_j;

– рассчитать доверительный интервал Е_j = S_j × t_j.

Задание 4. Функциональные преобразования результатов

Указания по выполнению

1. Значения X и У студент выбирает, соответственно, по пред­последней и последней цифрам шифра: например, шифру 96836 соот­ветствуют значения X, представленные в строке 3 и значения У, представленные в столбце 6 таблицы 2.

2. Вид функции Z студент выбирает по последней цифре шифра, например, шифру 96836 соответствует функция Z, представленная в строке 6 таблицы 3.

3. При определении Z следует предварительно выразить значе­ния величин X и У в единицах системы СИ.

Порядок расчетa

Обработку экспериментальных данных при функциональном преоб­разовании результатов измерений целесообразно осуществлять по ал­горитму [1, с. 144 – 166]. При этом необходимо учитывать, что n = 12, следовательно, порядок расчетов и их со­держание определяются условием 10...15 < n < 40...50.

1. Обработать результаты измерений величин X и У отдельно по алгоритму, изложенному в п. п. 1-3 задания 2, при этом:

– определить оценки результатов измерений X, У и средних квадратических отклонений S_x, S_y;

– обнаружить и исключить ошибки;

– проверить гипотезу о нормальности распределения оставшихся ре­зультатов измерений.

2. Определить оценку среднего значения функции:

.

3. Определить поправку:

.

Таблица 3 – Исходные данные

Последняя цифра шифра	Z=f (X,Y)	Характер и единицы величин
X	Y	Z
	Z = X/Y	напряжение, мВ	сила тока, мкА	сопротивление
	Z = X 2 Y	сила тока, мкА	сопротивление, Ом	мощность
	Z =2 X / Y 2	перемещение, м	время, мс	ускорение
	Z =2 m / X∙Y	индуктивность, мкГн	емкость, мкФ	период колебаний
	Z =3 X /4p ∙Y 3	масса, мкг	радиус сферы, мкм	плотность материала
	Z = X∙Y 2/2	индуктивность, мкГн	сила тока, мА	энергия магнитного поля
	Z =0,5 X 2/ Y	заряд, пКл	емкость, пФ	энергия конденсатора
	Z = X ∙ Y /(X + Y)	сопротивление, Ом	сопротивление, Ом	сопротивление
	Z = X /(Y +10)	ЭДС, мВ	сопротивление, Ом	сила тока
		масса, г	жесткость, Н/м	период колебаний

4. Определить оценку стандартного отклонения функции

,

где n_{x ,} n_y – числа оставшихся результатов измерений, соответствен­но, X и У после исключения ошибок.

5. Определить доверительный интервал для функции

Е_Z = t × S.

Если законы распределения вероятности результатов измерения X и У признаны нормальными, то t можно определить для принятой доверительной вероятности Р из таблиц для распределения Стьюдента (таблица 1.1.2.8 [2] или таблица Д.1). При этом число степеней свободы m определятся из выражения

.

Если гипотеза о нормальности распределения результатов изме­рения X или (и) У отвергается, то t целесообразно определить из неравенства Чебышева:

.

Задание 5. Обработка экспериментальных данных при

Изучении зависимостей

2.5.1 Условие задания

При многократных совместных измерениях величин X и Y получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии Y по X: Y = f (X).

Указания по выполнению

1. Серии экспериментальных данных студент выбирает из таблице 4 по предпоследней и последней цифрам шифра. Например, шифру 96836 соответствуют серии, включающие все результаты измерений X (числитель) и У (знаменатель), которые представлены в строке 3 и столбце 6.

2. Считать, что результаты измерений не содержат ошибок.

2.5.3 Порядок расчета

Обработку экспериментальных данных при изучении зависимостей целесообразно осуществлять по алгоритмам [4, с. 99-109].

1. В осях координат X и Y построить n экспериментальных то­чек с координатами X_i, Y_i, i Î (1…20) и по характеру расположе­ния точек принять гипотезу о виде уравнения регрессии Y на X.

Таблица 4 – Исходные данные

В качестве уравнения регрессии целесообразно использовать полином степени m:

Y = А + В∙Х + С∙Х ² +... + К∙Х^m.

В первом приближении для решения данной задачи рекомендуется принять m = 1, т.е.

Y = А + В∙Х.

2 Определить параметры уравнения регрессии по методу наи­меньших квадратов. Для этого необходимо:

– составить систему уравнений по числу рассчитываемых параметров:

; ; ; …; ,

где .

Например, для линейного уравнения регрессии система уравнений имеет вид:

– решить систему уравнений и определить неизвестные параметры, например, для линейного уравнения регрессии решение имеет вид:

.

3. Проверить правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить непараметрические критерии серий и инверсий:

– рассчитать отклонения экспериментальных значений Y_i от соответс­твующих значений Y _{p i} , рассчитанных для того же аргумента X_i по по­лученному уравнению регрессии:

DY_i = Y_i – Y _{p i} ;

– построить в осях координат X, DY полученные значения DY_i для со­ответствующих X_i;

– записать последовательность значений DY_j по мере возрастания X_j, X_j Î [l, n ];

– рассчитать число серий N в полученной последовательности DY_j (под серией в данном случае понимают последовательность отклоне­ний одного знака, перед и после которой следуют отклонения про­тивоположного знака или нет вообще никаких отклонений);

– задавшись доверительной вероятностью Р (уровнем значимости a = 1 – Р) для n = 20 определить по соответствующей таблице (таблица А.6 [4] или таблица Ж.1) допустимые границы N _{1-0,5 a} и N _{0,5 a};

– рассчитать число инверсий А в полученной последовательности DY_j (под инверсией понимается событие, заключающееся в том, что DY_j > DY_jk при k > j):

,

где A_j – это число инверсий j - гo члена последовательности, т.е. число членов последовательности, которые, будучи расположенными в последовательности после j - ого члена, имеют значение меньшее, чем DY_j;

– задавшись доверительной вероятностью Р (уровнем значимости a = 1 – Р) для n = 20 определить по соответствующей таблице (таблица А.7 [4] или таблица И.1) допустимые границы A _{1-0,5 a} и A _{0,5 a};

– сравнить А с A _{1-0,5 a} и A _{0,5 a};

Если выполняются неравенства

N _{1-0,5 a} < N £ N _{0,5 a};

A _{1-0,5 a} < A £ A _{0,5 a},

то с выбранной доверительной вероятностью Р можно считать, что отклонения экспериментальных значений Y_i, от соответствующих зна­чений Y_рi найденного уравнения регрессии являются случайными, не содержат аддитивного, мультипликативного или колебательного трендов, т.е. рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально иссл

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: