Проверка правдоподобия гипотез

Принцип практической уверенности.Если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном испытании можно быть уверенным в том, что событие А не произойдёт, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие A невозможно.

Этот принцип не может быть доказан математически; он подтверждается всем опытом практической деятельности человека, и мы постоянно им руководствуемся. Например, садясь в поезд или самолёт, мы не рассчитываем погибнуть в катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность такого события всё же имеется.

В принципе практической уверенности о невозможности маловероятных событий говорится об однократном выполнении испытания. Если произведено много испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А очень мала (много меньше единицы): , то существенно повышается вероятность того, что событие А появится хотя бы раз (событие В): , т.е. вероятность больше, чем в n раз. Таким образом, при многократном повторении мы уже не можем считать маловероятные события практически невозможными.

Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность a события А, чтобы его можно было считать практически невозможным, решается в каждом отдельном случае с учётом важности последствий, вытекающих из наступления события А. Например, если речь идёт о разрушении сооружений, гибели транспортного средства и т.п., нельзя пренебрегать событиями, вероятность которых равна 0,001.

Статистическая проверка гипотез.Проверка статистических гипотез используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществе того или иного способа измерений, инвестиций, технологического процесса, об эффективности управления, о пользе нового лекарства и т.д.

Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или параметрах известного закона распределения, которое может быть проверено по результатам выборки.

Проверяемую гипотезу называют нулевой(основной) и обозначают . Наряду с нулевой гипотезой рассматривают конкурирующую (альтернативную) гипотезу , которая отрицает гипотезу . Нулевая и конкурирующая гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что по результатам выборки вычисляется специально составленная случайная величина , распределение которой известно. В соответствующей статистической таблице находится критическое значение – такое, что если гипотеза верна, то вероятность мала. Тогда в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие (с некоторым риском) можно считать практически невозможным, и если в данном конкретном случае обнаруживается данное отклонение, то гипотеза отвергается. Если в результате вычислений получаем , то гипотеза принимается (точнее не отвергается). Правило, по которому гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием. При этом возможны две ошибки.

Ошибкой I-го рода называется ошибка, при которой отвергается верная гипотеза.

Ошибкой II-го рода является ошибка, при которой принимается неверная гипотеза.

Пример 1.7. Допустим, идёт заседание суда. Присяжные должны решить, виновен подсудимый или не виновен.

Гипотеза : {подсудимый не виновен}.

В данной ситуации ошибка первого рода – признать невинного виновным, а ошибка второго рода – оправдать преступника.

Пример 1.8. Произошло землетрясение. Состояние некоторого здания вызывает опасение. Вызывается экспертная комиссия, которая должна выяснить, пригодно ли здание к дальнейшей эксплуатации.

Гипотеза : {здание пригодно к эксплуатации}.

Ошибка второго рода – признали пригодным ветхое здание, ошибка первого рода – признали непригодным хорошее здание.

Проверка статистической гипотезы не является доказательством её верности или неверности. Предпочтение гипотезы перед альтернативной гипотезой не означает, что мы уверены в абсолютной правильности ; просто гипотеза не противоречит имеющимся у нас выборочным данным. Возможно, что при увеличении объёма выборки n либо при другой конкурирующей гипотезе гипотеза будет отвергнута. Поэтому принятие гипотезы следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный содержащийся в ней факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: