Определение неизвестных параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется функция от наблюдаемых случайных величин .

Точечные оценки.Оценка, определяемая одним числом, называется точечной. Точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру, называется несмещённой. Иначе оценка называется смещённой.

Средняя арифметическая распределения исследуемого признака X в генеральной совокупности называется генеральной средней , а дисперсия этого распределения – генеральной дисперсией :

, (1.3)

, (1.4)

Здесь – объём генеральной совокупности; – частота варианты в генеральной совокупности.

Несмещённой оценкой генеральной средней является выборочная средняя :

, (1.5)

– частота варианты в выборке, – объём выборки; – количество различных значений признака в выборке.

Смещённой оценкой генеральной дисперсии является выборочная дисперсия :

. (1.6)

Формула для вычисления выборочной дисперсии

, (1.7)

где . (1.8)

Для выборок малого объёма используют исправленную выборочную дисперсию

, (1.9)

которая является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.

Пример 1.2.Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию по данным таблицы 1.2.

Решение. Объём выборки . выборочную среднюю находим по формуле (1.5):

.

По формулам (1.7) и (1.8) найдём выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратичное отклонение:

,

, .

По формуле (1.9) исправленная выборочная дисперсия

, .

Выборка малого объёма (n=20), поэтому и отличаются существенно.

Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ряда наблюдений.

Для дискретного ряда наблюдений с нечётным числом членов медиана равна серединной варианте, а для ряда с чётным числом членов – полусумме двух серединных вариант.

Пример 1.3.Найти медиану выборки 21, 35, 24, 36, 48, 54, 33.

Решение. Объём выборки равен , поэтому медиана равна четвёртой варианте, если расположить их в возрастающем порядке: 21, 24, 33, 35, 36, 48, 54.

Модой вариационного ряда называется варианта с наибольшей частотой.

Интервальные оценки.Интервальной называютоценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, который с заданной вероятностью g покрывает оцениваемый параметр. Такой интервал называется доверительным, а вероятность g– доверительной вероятностью, уровнем доверия или надёжностью оценки.

1. Интервальной оценкой (с надёжностью g ) математического ожидания a нормально распределённой величины X по выборочной средней при известномсреднем квадратичном отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

, (1.10)

где – точность оценки, n – объём выборки Значение t находится по таблице значений функции Лапласа из условия (таблица 2 приложений).

Если неизвестно или выборка мала (объём выборки ), то

, (1.11)

где S – «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение, находят из таблицы критических точек распределения Стьюдента по заданным n и g.

Пример 1.5.С целью определения средней суммы вкладов в банке проведено выборочное обследование 25 вкладов, результаты которого даны в таблице1.5.

Пользуясь этими данными, найти доверительные границы для генеральной средней, которые можно было бы гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение.

Сначала найдём выборочную среднюю и выборочную дисперсию, для чего в качестве значения признака X берём середины интервалов: .

Так как выборка мала ( ) и неизвестно, то находим исправленную выборочную дисперсию

и исправленное среднее квадратичное отклонение

.

В таблице Б.3 приложения Б по и находим . Тогда границы доверительного интервала:

,

.

Таким образом, средняя величина вклада в банке с вероятность 0,95 заключена в интервале тыс.руб.

Пример 1.6. Случайная величина X имеет нормальное распределение. По выборке объёма найдена выборочная средняя . С надёжностью найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a, если известно среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности.

Решение. Из соотношения получим . Тогда . Найдём точность оценки и границы доверительного интервала по формуле (1.10):

, .

Таким образом, с вероятностью неизвестное математическое ожидание a удовлетворяет неравенству .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: