Решение уравнений установившегося режима работы электрической системы

Дисциплина «Математические задачи энергетики» среди других, изучаемых студентами специальности 0303, занимает одно из важных мест в общем процессе подготовки инженера-электрика. Она дает математическую основу для изучения таких специальных дисциплин, как электроснабжение промышленных предприятий, переходные процессы в системах электроснабжения, электрические системы и сети и другие.

Основная цель изучаемой дисциплины состоит в получении необходимых теоретических знаний и практических навыков решения математических задач, возникающих при эксплуатации и проектировании систем электроснабжения (СЭС), умений приспособить математику и ее приложения к задачам специальности. Задача дисциплины – связать математику как общетеоретическую дисциплину с практическим ее применением в работе инженера, дать корректный практический аппарат для инженерных исследований в области электроснабжения.

В соответствии с учебным планом по данной дисциплине предусматривается выполнение двух контрольных заданий. Выполненные контрольные задания высылаются студентами в институт для проверки их преподавателями кафедры. Студенты,

выполнившие контрольные задания, допускаются к сдаче экзамена по дисциплине.

В настоящих указаниях приводятся программа дисциплины «Математические задачи энергетики» с вопросами для самопроверки, контрольные задания, методические указания по их выполнению и список рекомендуемой литературы.

Основные задачи в области электроснабжения. Предмет дисциплины, его задачи и место в учебном плане. Характеристика основных разделов дисциплины.

Решение уравнений установившегося режима работы электрической системы

2.1.1 Основные понятия и определения: энергетическая и электрическая системы, электрическая сеть, линия электропередачи, узел, ветвь, замкнутый контур, режим системы. Схема замещения электрической системы и ее элементы. Уравнения узловых напряжений (УУН) и уравнения контурных токов (УКТ) описывающие установившийся режим работы электрической системы.

1. Назовите основные элементы электрической системы и их назначение.

2. Дайте характеристику основных видов режимов электрической сети.

4. Что представляет собой схема замещения электрической системы?

2.1.2 Основы применения алгебры матриц к расчету электрических сетей. Матрицы, основные определения. Сложение, вычитание и умножение матриц. Обратные матрицы и способы их определения. Разделение матриц на блоки. Матрицы, используемые для записи и решения УУН и УКТ.
Элементы теории графов: графы схем, дерево и хорды графов. Матрицы соединений, независимых контуров, собственных и взаимных проводимостей и сопротивлений. Применения матриц соединений и контуров.

4. Что устанавливают 1 и 2 матрицы соединений?

5. Чем отличается связанный граф от несвязанного?

6. Запишите в матричной форме УКТ и УУН для какой-либо электрической сети.

2.1.3 Решение системы уравнений узловых напряжений. Линеаризация системы УУН и их решение с помощью обращения матрицы узловых проводимостей. Трудности получения и использования обратной матрицы. Применение метода Гаусса для решения линеаризованных УУН. Использование слабой заполненности матриц. Применение итерационных методов (простой итерации, Зейделя, Ньютона) для решения линеаризованной и нелинейной системы УУН. Сравнительная характеристика применяемых методов решения установившегося режима электрической системы и области их применения.

1. В чем сущность линеаризации схем замещения?

2. Чем отличается метод Зейделя от метода простой итерации?

3. Какие виды сходимостей итерационного процесса вы знаете?

4. В чем основное достоинство метода Ньютона для решения системы УУН?

5. Назовите основные области применения итерационных методов для решения электроэнергетических задач.

Решение и анализ уравнений электромеханических переходных процессов в электрической системе

Дифференциальные уравнения электромеханических переходных процессов в одномашинной и многомашинной системах. Их численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Структурные схемы и характеристики их элементов. Получение передаточной функции системы по ее структурной схеме. Частотный коэффициент усиления, частотные характеристики системы.

Метод оценки статической устойчивости состояний равновесия линеаризованных систем дифференциальных уравнений. Характеристический определитель и его корни. Методы приближенного определения корней. Алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица. Принцип аргумента и частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста. Применение алгебраических и частотных критериев для анализа устойчивости положения равновесия в электромеханической системе.

1. В каких задачах энергетики применяются дифференциальные уравнения?

2. Назовите способы решения дифференциальных уравнений электромеханического переходного процесса.

3. Что понимается под статической устойчивостью системы?

4. Перечислите основные элементы структурной схемы

5. Какие основные типовые линейные звенья Вы знаете?

7. Назовите Алгебраические критерии устойчивости.

8. Как оценивается устойчивость системы автоматического регулирования с использованием кривой Михайлова?

Применение методов теории вероятностей к решениям задач электроснабжения

Техническая и математическая постановка задачи. Случайные события в энергетике. Случайные величины в энергетике. Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и моменты случайной величины. Случайные процессы в энергетике. Применение метода Монте-Карло в электроэнергетике.

1. Дайте определение основным понятиям в теории вероятностей: случайному событию, случайной величине, случайной функции и случайному процессу.

2. Перечислите законы вероятности сложных событий для независимых случайных событий.

3. Что понимается под условной вероятностью события?

4. Назовите основные числовые характеристики случайной величины.

Основные понятия математического программирования и его применение в электроэнергетике

Выпуклые функции и множества. Основные определения выпуклой функции и выпуклого множества. Способы проверки выпуклости. Основные понятия линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Канонические формы. Базисное решение. Алгоритм симплекс-метода решения общей задачи линейного программирования с ограничениями в виде равенств. Учет неравенства в задаче линейного программирования. Задача выпуклого программирования. Необходимые и достаточные условия для решения задачи выпуклого программирования. Двойственность и множители Лагранжа. Алгоритм методов решения задачи нелинейного программирования. Применение методов выпуклого программирования для решения энергетических задач (развитие электрической сети, оптимизация режима).

Задачи дискретного и динамического программирования. Методы решения этих задач. Применение методов математической статистики для прогнозирования нагрузок и стоимостей элементов электрической системы в оптимизационных задачах.

2. Как формулируется задача линейного программирования?

3. Что такое базисное решение задачи линейного программирования?

4. Для решения каких задач применяется симплексный метод?

5. В чем состоит основная задача выпуклого программирования?

6. Назовите необходимые и достаточные условия решения

8. Что Вы понимаете под оптимизационными задачами?

Программой предусматривается выполнение двух контрольных заданий. В первом контрольном задании решаются задачи № 1 и 2 на применение алгебры матриц в задачах электроснабжения. Во втором контрольном задании решаются задачи № 3 и 4, соответствующие разделам 2.2 и 2.4 программы дисциплины.

Каждая задача в контрольных заданиях включает в себя 10 вариантов. Номер варианта выбирается в соответствии с последней цифрой шифра зачетной книжки студента. Студенты, имеющие последней цифрой шифра «1», выполняют первый вариант, при последней цифре «0» - десятый вариант.

Контрольные задания выполняются на листах ученических тетрадей. Разрешается писать на обеих сторонах листа. Рисунки в работе могут выполняться как на самих листах ученических тетрадей, так и на миллиметровой бумаге, имеющей размеры листа ученической тетради. Листы тетради должны иметь поля и быть пронумерованы. Каждая задача должна начинаться с новой страницы, иметь подробное условие задачи и содержать необходимые пояснения по ее решению. Исправления, вносимые по решению задач, должны быть аккуратны и разборчивы. В конце контрольного задания помещается список использованной литературы. Оформленная работа должна иметь подпись студента, дату выполнения, шифр зачетной книжки, точный домашний адрес. Допускается оформление контрольных заданий № 1 и 2 в одной тетради.

Задача № 1. Для графа электрической сети, приведенного на рисунке 3.1, записать первую и вторую матрицу соединения (инциденций). Нарисовать исходный граф и два из возможных вариантов деления его на дерево и хорды. Под каждым их рисунков сделать соответствующую надпись «дерево» или хорды».

Перед составлением матриц соединений необходимо пронумеровать ветви, задаться их направлением, а также выбрать независимые замкнутые контуры и направление их обхода.

Первую матрицу соединений составить только для независимых узлов, т.е. за исключением базисного. В качестве базисного узла принять узел 1.

При выполнении задачи рекомендуется изучить § 1-3/1/.

Задача № 2. Найти узловые напряжения и токораспределение в схеме, показанной на рисунке 3.2, методом узловых напряжений, используя обращение матрицы узловых проводимостей и один из традиционных способов решения уравнений (см. таблицу 3.1). За балансирующий и базисный узел принять узел 0, считая, что

Данные о задающих токах приведены в таблице 3.2.

Для решения задачи указанными методами необходимо вначале определить матрицу узловых проводимостей. Порядок ее получения приведен в § 1-4/1/, а также в разделе 4.2 данных указаний.

Задача № 3. Система автоматического регулирования описывается характеристическим уравнением четвертого порядка:

Дать оценку устойчивости данной системы, используя критерии Гурвица, Рауса и путем построения кривой Михайлова. Выявить характер неустойчивости (апериодический или колебательный) в случае неустойчивости системы.

Значения коэффициентов характеристического уравнения системы приводятся в таблице 3.3.

Таблица 3.3 – Данные о коэффициентах характеристического уравнения системы

При выполнении данной задачи рекомендуется предварительно познакомиться с теоретическим положениями рассматриваемых вопросов (см. § 4-7, § 5-1, § 5-5/1/) и пояснениями, приведенными в разделе 4.7 данных указаний.

Задача № 4. Найти минимум целевой функции задачи линейного программирования, заданной в канонической форме. Задачу решить комплексным методом.

Уравнения функций цели и систем ограничений по вариантам приведены в таблице 3.4.

Таблица3.4 – Уравнения функции цели и систем ограничений

При решении данным методом делается допущение, что в узлах схемы (рисунок 3.2) включены только активные нагрузки, определяемые как

- номинальное напряжение сети, принимаемое для всех узлов равным 10 кВ;

- значение задающего тока в узле i (по данным таблицы 3.2).

Система нелинейных уравнений, описывающих установившийся режим работы сети, записывается в развернутом виде как

n – число независимых узлов, а задающие точки в узлах представлены как

В соответствии с положением метода [6], итерационных процессов определении напряжений в узлах схемы ведется по решению уравнения, которое в матричном виде записываются как

- матрица частных производных (матрица Якоби).

В частности, для рассматриваемой схемы (рисунок 3.2) и принятых упущениях эта матрица запишется в виде

Контроль сходимости осуществляется по методу невязок, то есть условие

Должно осуществляться для всех невязок (небалансов) системы уравнений (4.1).

Учитывая достаточно большой объем вычислений данным методом, допускается провести расчет только трех итераций. Начальные значения напряжений узлах и токораспределение в схеме принимается аналогично рекомендациям, изложенным выше. Достаточно подробно изложены методы, описанные в [1,5].

1.1 Решение уравнений установившегося режима работы электрической системы

1.2 РЕШЕНИЕ И АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

1.3 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

1.4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

3.1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

3.2 МАТРИЦЫ СОЕДИНЕНИЙ И УЗЛОВЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ

3.3 РЕШЕНИЕ ЛИАНЕРИЗОВАННЫХ уун МЕТОДОМ ОБРАЩЕНИЯ МАТРИЦЫ УЗЛОВЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ

3.4 РЕШЕНИЕ ЛИАНЕРИЗОВАННЫХ уун МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

3.5 РЕШЕНИЕ ЛИАНЕРИЗОВАННЫХ уун МЕТОДОМ зЕЙДЕЛЯ

3.7 ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ

3.8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ