ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Стр 1 из 3Следующая ⇒

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации

по изучению темы

«производная функции»

для студентов специальности 080110 «Экономика и бухгалтерский учет», 080106 «Финансы»,
080108 «Банковское дело»,230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

Составила Федорова Е.А.

КАЛИНИНГРАД

ОДОБРЕНЫ цикловой комиссией экономики и бухгалтерского учета Председатель _________________К.А. Кузьменко

Составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальностям СПО (повышенный уровень) Зам. директора по учебной работе _________________Л.И. Мотолянец

Автор: Федорова Елена Анфимовна, преподаватель, Калининградский торгово-экономический колледж

Рецензенты: Горская Наталья Владимировна, преподаватель, Калининградский торгово-экономический колледж

В данном пособии рассмотрены базовые понятия дифференциального исчисления: понятие производной, свойства производных, применение в аналитической геометрии и механике, приведены основные формулы дифференцирования, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал. Пособие дополнено упражнениями для самостоятельной работы, ответами к ним, приведены вопросы и образцы заданий для промежуточного контроля знаний. Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Математика» в средних специальных учебных заведениях, обучающихся по очной, заочной, вечерней форме обучения, экстерном или имеющих свободное посещение занятий.

КТЭК
ПЦК экономики и учета

15 экз, 2006 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. 4

Требования к знаниям и умениям.. 5

Понятие производной. 5

Геометрический смысл производной. 7

Механический смысл производной. 7

Основные правила дифференцирования. 8

Формулы дифференцирования основных функций. 9

Производная обратной функции. 9

Дифференцирование сложных функций. 10

Производные высших порядков. 11

Частные производные. 11

Исследование функций с помощью производных. 11

Возрастание и убывание функции. 11

Максимум и минимум функции. 13

Выпуклость и вогнутость кривой. 15

Точки перегиба. 16

Общая схема исследования функций и построения графиков. 17

Упражнения для решения. 17

Контрольные вопросы и примеры.. 20

Контрольная работа. 20

Ответы к упражнениям.. 21

Литература. 23

Введение

Математический анализ дает ряд фундаментальных понятий, которыми оперирует экономист, - это функция, предел, производная, интеграл, дифференциальное уравнение. В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой – либо продукции от затрат фактора x, то называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т.е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g′(x) называют предельными издержками.

Предельный анализ в экономике – совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.

Например, нахождение производительности труда. Пусть известна функция u=u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время ∆t=t₁- t₀:

u=u(t₁)-u(t₀)=u(t₀+∆t)-u(t₀).

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z_ср.=

Производительностью труда рабочего в момент t₀ называется предел, к которому стремится z_ср _. при ∆t→ 0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной:

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x, поэтому можно записать K=K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на ∆x. Количеству продукции x+∆x соответствуют издержки производства K(x+∆x). Следовательно, приращению количества продукции ∆x соответствует приращение издержек производства продукции ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Среднее приращение издержек производства есть ∆K/∆x. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Предел называется предельными издержками производства.

Понятие производной

Производной функции в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной функции:

Т.о. по определению:

Алгоритм нахождения производной:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], x [a;b]

1.Находим приращение аргумента:

x – новое значение аргумента

x₀ - начальное значение

2. Находим приращение функции:

f (x) – новое значение функции

f(x₀)- начальное значение функции

3. Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

4. Находим предел найденного отношения при

Найти производную функции , исходя из определения производной.

Решение:

Дадим х приращение Δх, тогда новое значение функции будет равно:

.

Найдем приращение функции как разность между новым и начальным значениями функции:

.

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при условии, что :

.

Следовательно, по определению производной: .

Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале (a;b), если она имеет производную в каждой точке интервала.

Теорема Если функция дифференцируема в данной точке х₀, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т.к. существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не являющиеся в этой точке дифференцируемыми. Например, функция в точке х₀=0_.

Найти производные функций

1) .

2) .

Выполним тождественные преобразования функции:

.

3) .

Производные высших порядков

Производной второго порядка называется производная от первой производной. Обозначается

Производной n-порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Например,

Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными.

Например, для функции частные производные первого порядка будут равны:

Максимум и минимум функции

Значение аргумента, при котором функция имеет наибольшее значение, называют точкой максимума.

Значение аргумента, при котором функция имеет наименьшее значение, называют точкой минимума.

Точка максимума функции является граничной точкой перехода функции от возрастания к убыванию, точка минимума функции является граничной точкой перехода от убывания к возрастанию.

Функция y=f(x) имеет (локальный) максимум в точке , если для всех x, достаточно близких к выполняется неравенство

Функция y=f(x) имеет (локальный) минимум в точке , если для всех х, достаточно близких к выполняется неравенство

Максимальное и минимальное значения функции носят общее название экстремумов, а точки, в которых они достигаются, называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие существования экстремума) Пусть функция определена на интервале и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке . Тогда, если в точке существует производная этой функции, то она равна нулю, т.е. .

Доказательство:

Пусть в точке x₀ функция имеет наибольшее значение, тогда для любого выполняется неравенство: .

для любой точки

Если x > x₀ , то , т.е.

Если x < x₀ , то , т.е.

Т.к. существует , то , что возможно лишь в случае их равенства нулю, следовательно, .

Следствие:

Если в точке дифференцируемая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, то в точке касательная к графику этой функции параллельна оси Оx.

Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называются критическими – это возможные точки экстремума.

Заметим, что, поскольку равенство нулю первой производной является лишь необходимым условием экстремума, нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии экстремума в каждой точке возможного экстремума.

Теорема (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки x_0. Если при переходе через точку x₀ слева направо первая производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x₀ функция y = f(x) имеет максимум (минимум). Если первая производная не меняет знака, то данная функция не имеет экстремума в точке x₀.

Алгоритм исследования функции на экстремум:

1.Найти первую производную функции.

2.Первую производную приравнять к нулю.

3.Решить уравнение . Найденные корни уравнения есть критические точки.

4.Найденные критические точки отложить на числовой оси. Получим ряд интервалов.

5.Определить знак первой производной в каждом из интервалов и указать экстремумы функции.

6.Для построения графика:

Ø определить значения функции в точках экстремума

Ø найти точки пересечения с осями координат

Ø найти дополнительные точки

Консервная банка имеет форму круглого цилиндра радиуса r и высоты h. Полагая, что для изготовления банки используется четко фиксированное количество жести, определить, при каком соотношении между r и h банка будет иметь наибольший объем.

Количество используемой жести будет равно площади полной поверхности банки, т.е. . (1)

Из этого равенства находим:

.

Тогда объем может быть вычислен по формуле: . Задача будет сведена к отысканию максимума функции V(r). Найдем первую производную данной функции: . Приравняем первую производную нулю:

. Находим: . (2)

Данная точка является точкой максимума, т.к. первая производная положительна при и отрицательна при .

Установим теперь, при каком соотношении между радиусом и высотой банка будет иметь наибольший объем. Для этого поделим равенство (1)на r² и воспользуемся соотношением (2)для S. Получим: . Таким образом, наибольший объем будет иметь банка, у которой высота равна диаметру.

Иногда исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума довольно затруднительно, тогда можно использовать второе достаточное условие экстремума:

Теорема Пусть функция y = f(x) имеет в точке x₀ возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функция y = f(x) имеет в точке x₀ максимум, если _, и минимум, если _.

Замечание Данная теорема не решает вопрос об экстремуме функции в точке, если вторая производная функции в данной точке равна нулю или не существует.

Точки перегиба

Точки кривой , в которых выпуклость отделяется от вогнутости, называются точками перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба): Пусть график функции имеет перегиб в точке и функция имеет в точке x₀ непрерывную вторую производную, тогда

Теорема (достаточное условие точки перегиба): Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x₀, которая имеет разные знаки слева и справа от x₀. тогда график функции имеет перегиб в точке .

Алгоритм отыскания точек перегиба:

1. Найти вторую производную функции.

2. Приравнять вторую производную нулю и решить уравнение: . Полученные корни отложить на числовой прямой. Получим ряд интервалов.

3. Найти знак второй производной в каждом из интервалов. Если знаки второй производной в двух смежных интервалах разные, то имеем точку перегиба при данном значении корня, если знаки одинаковые, то точек перегиба нет.

4. Найти ординаты точек перегиба.

Исследовать на выгнутость и вогнутость кривую . Найти точки перегиба.

Решение:

1) найдем вторую производную:

2) Решим неравенство 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Решим неравенство 2x>0 x>0 при x кривая вогнута

4) Найдем точки перегиба, для чего приравняем вторую производную нулю: 2x=0 х=0. Т.к. в точке х=0 вторая производная имеет разные знаки слева и справа, то х=0 – абсцисса точки перегиба. Найдем ординату точки перегиба:

(0;0) точка перегиба.

Упражнения для решения

№ 1 Найти производные данных функций, вычислить значение производных при данном значении аргумента:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

№2 Найти производные сложных функций:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№3 Решить задачи:

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к параболе в точке х=3.

2. К параболе у=3х²-х в точке х=1 проведены касательная и нормаль. Составить их уравнения.

3. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у=х²+3х-10 образует угол 135⁰ с осью ОХ.

4. Составить уравнение касательной к графику функции у=4х-х² в точке пересечения с осью ОХ.

5. При каких значениях х касательная к графику функции у=х³-х параллельна прямой у=х.

6. Точка движется прямолинейно по закону S=2t³-3t²+4. найти ускорение и скорость точки в конце 3-й секунды. В какой момент времени ускорение будет равно нулю?

7. Когда скорость точки, движущейся по закону S=t²-4t+5, равна нулю?

№4 Исследовать функции с помощью производной:

1. Исследовать на монотонность функцию у=х²

2. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

4. Исследовать на максимум и минимум функцию .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на экстремум функцию у=х³

7. Исследовать на экстремум функцию .

8. Разбейте число 24 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

9. Из листа бумаги необходимо вырезать прямоугольник площадью 100 см² так, чтобы периметр этого прямоугольника был наименьшим. Каковы должны быть стороны данного прямоугольника?

10. Исследовать на экстремум функцию у=2х³-9х²+12х-15 и построить её график.

11. Исследовать на вогнутость и выпуклость кривую .

12. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

13. Найти точки перегиба функций: а) ; б) .

14. Исследовать функцию и построить ее график.

15. Исследовать функцию и построить ее график.

16. Исследовать функцию и построить ее график.

17. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х²-4х+3 на отрезке [0;3]

Контрольные вопросы и примеры

1. Дайте определение производной.

2. Что называют приращением аргумента? приращением функции?

3. Каков геометрический смысл производной?

4. Что называется дифференцированием?

5. Перечислите основные свойства производной.

6. Какая функция называется сложной? обратной?

7. Дайте понятие производной второго порядка.

8. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции?

9. Тело движется прямолинейно по закону S=S(t). Что можно сказать о движении, если:

5. Функция возрастает на некотором интервале. Следует ли отсюда, что её производная положительна на этом интервале?

6. Что называется экстремумами функции?

7. Обязательно ли наибольшее значение функции на некотором интервале совпадает со значением функции в точке максимума?

8. Функция определена на [a,b]. Может ли точка х=а быть точкой экстремума этой функции?

10. Производная функции в точке х₀ равна нулю. Следует ли отсюда, что х₀– точка экстремума этой функции?

Контрольная работа

1. Найти производные данных функций:

а)	е)
б)	ж)
с)	з)
д)	и)

2. Напишите уравнения касательных к параболе y=x²-2x-15: а) в точке с абсциссой x=0; б) в точке пересечения параболы с осью абсцисс.

3. Определите промежутки возрастания и убывания функции

4. Исследуйте функцию и постройте ее график

5. Найдите в момент времени t=0 скорость и ускорение точки, движущейся по закону s =2e³^t

Ответы к упражнениям

№1

3. ;

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

№2

4. (результат получен применением формулы производной частного). Можно решить данный пример по-другому:

10.

11. 15.

12. 16.

13. 17.

14. 18.

№3

1. Используя геометрический смысл производной функции в точке, получим:

2. Уравнение касательной

Уравнение нормали

3. (-2;-12);

6. v(3)=36 ед/с, a(3)=30 ед/с². Ускорение равно нулю в момент времени t=0,5с.

7. Скорость равна нулю в момент времени t=2с.

№4

1. Функция возрастает при , убывает при .

2. Функция возрастает при , убывает при .

3. Функция возрастает при , убывает при .

4. Функция имеет максимум в точке (4;-4).

5. Функция имеет максимум в точке (3;-1) и минимум в точке (1;1/3).

6. Функция имеет минимум в точке (0;0).

7. Функция экстремумов не имеет.

8. Произведение будет наибольшим, если каждое слагаемое будет равно12.

9. Периметр прямоугольника будет наименьшим, если стороны прямоугольника будут по 10 см, т.е. надо вырезать квадрат.

17. На отрезке [0;3] функция принимает наибольшее значение, равное 3 при х=0 и наименьшее значение, равное –1 при х=2.

Литература

1.	Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике, Москва, Айрис, 96 г.
2.	Тарасов Н.П. Курс высшей математики для техникумов, М., 87 г.
3.	И.И.Валуцэ, Г.Д. Дилигул Математика для техникумов, М., Наука, 90г
4.	И.П.Мацкевич, Г.П.Свирид Высшая математика, Минск, Высш. Школа, 93г.
5.	В.С.Щипачев Основы высшей математики, М.Высш.школа89г
6.	В.С.Щипачев Высшая математика, М.Высш.школа 85г
7.	В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике, М. Наука 67г
8.	О.Н.Афанасьева Сборник задач по математике для техникумов, М.Наука 87г
9.	В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик Математика, М.Высш.школа 91г
10.	Н.В.Богомолов Практические занятия по математике, М.Высш.школа 90г
11.	Х.Э.Крыньский Математика для экономистов, M.Статистика 70г
12.	Л.Г.Корсакова Высшая математика для менеджеров, Калининград, КГУ, 97г.