|
|
Производная обратной функции
Для того, чтобы из функции 1. разрешить уравнение 2. поменять переменные x и y местами. Графики взаимно обратных функций f и g будут симметричны относительно прямой
Теорема Пусть функция
Например, показательная функция является обратной функцией по отношению к логарифмической, тогда:
Дифференцирование сложных функций
Функция называется сложной, если её аргумент сам является функцией некоторой переменной: y = f (u(x)). Переменную x в этом случае называют независимой переменной, переменную u – промежуточной переменной.
Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной данной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной:
Решение: Пусть Производные высших порядков Производной второго порядка называется производная от первой производной. Обозначается Производной n-порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.
Например,
Частные производные
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Например, для функции
Исследование функций с помощью производных
Возрастание и убывание функции
Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале (а;b), если на этом интервале большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции:
Функция y=f(x) называется убывающей на интервале (а;b), если на этом интервале большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции:
Интервалы, в которых функция или только убывает или только возрастает, называют интервалами монотонности.
Теорема (признак возрастания функции ) Дифференцируемая функция y = f(x) возрастает на интервале тогда и только тогда, когда её первая производная положительна во всех точках интервала. Дано: Доказать: Доказательство: По условию y =f(x) возрастает на (a;b), тогда по определению для любых
Обратное утверждение доказывается аналогично
Теорема (признак убывания функции) Дифференцируемая функция y = f(x) убывает на интервале тогда и только тогда, когда её первая производная отрицательна во всех точках интервала.
Найдем производную данной функции:
Найдем интервалы возрастания функции из неравенства:
Максимум и минимум функции
Значение аргумента, при котором функция имеет наибольшее значение, называют точкой максимума. Значение аргумента, при котором функция имеет наименьшее значение, называют точкой минимума. Точка максимума функции является граничной точкой перехода функции от возрастания к убыванию, точка минимума функции является граничной точкой перехода от убывания к возрастанию.
Функция y=f(x) имеет (локальный) минимум в точке Максимальное и минимальное значения функции носят общее название экстремумов, а точки, в которых они достигаются, называются точками экстремума.
Теорема (необходимое условие существования экстремума) Пусть функция Доказательство: Пусть в точке x0 функция имеет наибольшее значение, тогда для любого
Если x > x0 Если x < x0 Т.к. существует Следствие: Если в точке Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называются критическими – это возможные точки экстремума. Заметим, что, поскольку равенство нулю первой производной является лишь необходимым условием экстремума, нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии экстремума в каждой точке возможного экстремума. Теорема (достаточное условие существования экстремума) Пусть функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если при переходе через точку x0 слева направо первая производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция y = f(x) имеет максимум (минимум). Если первая производная не меняет знака, то данная функция не имеет экстремума в точке x0.
Алгоритм исследования функции на экстремум: 1.Найти первую производную функции. 2.Первую производную приравнять к нулю. 3.Решить уравнение 4.Найденные критические точки отложить на числовой оси. Получим ряд интервалов. 5.Определить знак первой производной в каждом из интервалов и указать экстремумы функции. 6.Для построения графика: Ø определить значения функции в точках экстремума Ø найти точки пересечения с осями координат Ø найти дополнительные точки
Консервная банка имеет форму круглого цилиндра радиуса r и высоты h. Полагая, что для изготовления банки используется четко фиксированное количество жести, определить, при каком соотношении между r и h банка будет иметь наибольший объем.
Количество используемой жести будет равно площади полной поверхности банки, т.е. Из этого равенства находим:
Тогда объем может быть вычислен по формуле:
Данная точка является точкой максимума, т.к. первая производная положительна при Установим теперь, при каком соотношении между радиусом и высотой банка будет иметь наибольший объем. Для этого поделим равенство (1)на r2 и воспользуемся соотношением (2)для S. Получим:
Иногда исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума довольно затруднительно, тогда можно использовать второе достаточное условие экстремума: Теорема Пусть функция y = f(x) имеет в точке x0 возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функция y = f(x) имеет в точке x0 максимум, если Замечание Данная теорема не решает вопрос об экстремуме функции в точке, если вторая производная функции в данной точке равна нулю или не существует.
  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Пусть дана функция 
, задающая зависимость y от x. Обратноеотображение g, задающее зависимость x от y, называется обратной функцией по отношению к функции f.
.
производная 
. Тогда обратная функция g дифференцируема в точке 
и ее производная равна 
, т.е.
Найти производную функции:
, тогда функция примет вид: 
. Т.о. имеем сложную степенную функцию. Найдем производную степенной функции и умножим на производную промежуточной переменной: 
частные производные первого порядка будут равны:
если 
, то 
если 
, то 
при 
при 
на [a; b]
(a;b), если 
, то 
; значит 
и 
,следовательно:
.
Функция y=f(x) имеет (локальный) максимум в точке 
, если для всех x, достаточно близких к 
определена на интервале 
и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке 
. Тогда, если в точке 
существует производная этой функции, то она равна нулю, т.е. 
.
выполняется неравенство: 
.
для любой точки 
, то 
, т.е. 
, то 
, т.е. 
, то 
, что возможно лишь в случае их равенства нулю, следовательно, 
.
касательная к графику этой функции параллельна оси Оx.
. Найденные корни уравнения есть критические точки.
. (1)
.
. Задача будет сведена к отысканию максимума функции V(r). Найдем первую производную данной функции: 
. Приравняем первую производную нулю:
. Находим: 
. (2)
и отрицательна при 
.
. Таким образом, наибольший объем будет иметь банка, у которой высота равна диаметру.
, и минимум, если 
.