Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Выпуклость и вогнутость кривой





График функции называется вогнутым

в интервале (a,b), если oн лежит выше

касательной в любой точке этого интервала.

 

 

График функции называется выпуклым

в интервале (a,b), если oн лежит ниже касательной в любой точке этого интервала.

 

Теорема (признак выпуклости и вогнутости кривой): Если функция имеет на интервале (a;b) вторую производную и на интервале (a;b), то график функции вогнут на этом интервале. Если на (a;b), то график функции выпуклый на этом интервале.

Алгоритм исследования функции на выпуклость и вогнутость:

1. Найти вторую производную данной функции.

2. Решить неравенство относительно х и найти интервалы, в которых функция выпукла.

3. Решить неравенство относительно х и найти интервалы, в которых функция вогнута.

 

Точки перегиба

 

Точки кривой , в которых выпуклость отделяется от вогнутости, называются точками перегиба.

 

Теорема (необходимое условие точки перегиба): Пусть график функции имеет перегиб в точке и функция имеет в точке x0 непрерывную вторую производную, тогда

 

Теорема (достаточное условие точки перегиба): Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, которая имеет разные знаки слева и справа от x0. тогда график функции имеет перегиб в точке .

Алгоритм отыскания точек перегиба:

1. Найти вторую производную функции.

2. Приравнять вторую производную нулю и решить уравнение: . Полученные корни отложить на числовой прямой. Получим ряд интервалов.

3. Найти знак второй производной в каждом из интервалов. Если знаки второй производной в двух смежных интервалах разные, то имеем точку перегиба при данном значении корня, если знаки одинаковые, то точек перегиба нет.

4. Найти ординаты точек перегиба.

 

Исследовать на выгнутость и вогнутость кривую . Найти точки перегиба.

Решение:

1) найдем вторую производную:

2) Решим неравенство 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Решим неравенство 2x>0 x>0 при x кривая вогнута

4) Найдем точки перегиба, для чего приравняем вторую производную нулю: 2x=0 х=0. Т.к. в точке х=0 вторая производная имеет разные знаки слева и справа, то х=0 – абсцисса точки перегиба. Найдем ординату точки перегиба:

(0;0) точка перегиба.

 

Общая схема исследования функций и построения графиков

 

1. Исследовать функцию на максимум и минимум с помощью первой или второй производной. Найти ординаты точек максимума и минимума.

2. Исследовать функцию на точки перегиба. Найти ординаты точек перегиба.

3. Найти координаты точек пересечения кривой с осями координат или найти координаты нескольких дополнительных точек.

4. Записать найденных значения в таблицу (в порядке возрастания их аргументов), и построив эти точки, провести через них плавную кривую.

Упражнения для решения

 

№ 1 Найти производные данных функций, вычислить значение производных при данном значении аргумента:

1. 5. 9.
2. 6. 10.
3. 7. 11.
4. 8. 12.
  13. 14.  
  15. 16.  
           

№2 Найти производные сложных функций:

1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.

№3 Решить задачи:

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к параболе в точке х=3.

2. К параболе у=3х2-х в точке х=1 проведены касательная и нормаль. Составить их уравнения.

3. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у=х2+3х-10 образует угол 1350 с осью ОХ.

4. Составить уравнение касательной к графику функции у=4х-х2 в точке пересечения с осью ОХ.

5. При каких значениях х касательная к графику функции у=х3-х параллельна прямой у=х.

6. Точка движется прямолинейно по закону S=2t3-3t2+4. найти ускорение и скорость точки в конце 3-й секунды. В какой момент времени ускорение будет равно нулю?

7. Когда скорость точки, движущейся по закону S=t2-4t+5, равна нулю?

№4 Исследовать функции с помощью производной:

1. Исследовать на монотонность функцию у=х2

2. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

4. Исследовать на максимум и минимум функцию .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на экстремум функцию у=х3

7. Исследовать на экстремум функцию .

8. Разбейте число 24 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

9. Из листа бумаги необходимо вырезать прямоугольник площадью 100 см2 так, чтобы периметр этого прямоугольника был наименьшим. Каковы должны быть стороны данного прямоугольника?

10. Исследовать на экстремум функцию у=2х3-9х2+12х-15 и построить её график.

11. Исследовать на вогнутость и выпуклость кривую .

12. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

13. Найти точки перегиба функций: а) ; б) .

14. Исследовать функцию и построить ее график.

15. Исследовать функцию и построить ее график.

16. Исследовать функцию и построить ее график.

17. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х2-4х+3 на отрезке [0;3]

Контрольные вопросы и примеры

 

1. Дайте определение производной.

2. Что называют приращением аргумента? приращением функции?

3. Каков геометрический смысл производной?

4. Что называется дифференцированием?

5. Перечислите основные свойства производной.

6. Какая функция называется сложной? обратной?

7. Дайте понятие производной второго порядка.

8. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции?

9. Тело движется прямолинейно по закону S=S(t). Что можно сказать о движении, если:

5. Функция возрастает на некотором интервале. Следует ли отсюда, что её производная положительна на этом интервале?

6. Что называется экстремумами функции?

7. Обязательно ли наибольшее значение функции на некотором интервале совпадает со значением функции в точке максимума?

8. Функция определена на [a,b]. Может ли точка х=а быть точкой экстремума этой функции?

10. Производная функции в точке х0 равна нулю. Следует ли отсюда, что х0 – точка экстремума этой функции?

Контрольная работа

1. Найти производные данных функций:

а) е)
б) ж)
с) з)
д) и)

2. Напишите уравнения касательных к параболе y=x2-2x-15: а) в точке с абсциссой x=0; б) в точке пересечения параболы с осью абсцисс.

3. Определите промежутки возрастания и убывания функции

4. Исследуйте функцию и постройте ее график

5. Найдите в момент времени t=0 скорость и ускорение точки, движущейся по закону s =2e3t

Ответы к упражнениям

№1

1.

2.

3. ;

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

 

14.

15.

16.

№2

1.

2.

3.

4. (результат получен применением формулы производной частного). Можно решить данный пример по-другому:

5.

6.

 

7.

 

8.

 

9.

10.

11. 15.

12. 16.

13. 17.

14. 18.


№3

1. Используя геометрический смысл производной функции в точке, получим:

2. Уравнение касательной

Уравнение нормали

3. (-2;-12);

4.

5.

6. v(3)=36 ед/с, a(3)=30 ед/с2. Ускорение равно нулю в момент времени t=0,5с.

7. Скорость равна нулю в момент времени t=2с.

№4

1. Функция возрастает при , убывает при .

2. Функция возрастает при , убывает при .

3. Функция возрастает при , убывает при .

4. Функция имеет максимум в точке (4;-4).

5. Функция имеет максимум в точке (3;-1) и минимум в точке (1;1/3).

6. Функция имеет минимум в точке (0;0).

7. Функция экстремумов не имеет.

8. Произведение будет наибольшим, если каждое слагаемое будет равно12.

9. Периметр прямоугольника будет наименьшим, если стороны прямоугольника будут по 10 см, т.е. надо вырезать квадрат.

17. На отрезке [0;3] функция принимает наибольшее значение, равное 3 при х=0 и наименьшее значение, равное –1 при х=2.

Литература

1. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике, Москва, Айрис, 96 г.
2. Тарасов Н.П. Курс высшей математики для техникумов, М., 87 г.
3. И.И.Валуцэ, Г.Д. Дилигул Математика для техникумов, М., Наука, 90г
4. И.П.Мацкевич, Г.П.Свирид Высшая математика, Минск, Высш. Школа, 93г.
5. В.С.Щипачев Основы высшей математики, М.Высш.школа89г  
6. В.С.Щипачев Высшая математика, М.Высш.школа 85г  
7. В.П.Минорский Сборник задач по высшей математике, М. Наука 67г  
8. О.Н.Афанасьева Сборник задач по математике для техникумов, М.Наука 87г  
9. В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик Математика, М.Высш.школа 91г  
10. Н.В.Богомолов Практические занятия по математике, М.Высш.школа 90г  
11. Х.Э.Крыньский Математика для экономистов, M.Статистика 70г  
12. Л.Г.Корсакова Высшая математика для менеджеров, Калининград, КГУ, 97г.  

 


 







Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.