Положение центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2).
Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD. Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е. в середине каждой полоски), следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB, увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD.
Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD, получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане.
Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1:2 от основания. Следовательно, центр тяжести треугольника расположен на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3). Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда y_C = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x. Определим координату центра тяжести x_C.

Разобьем дугу АВ на элементарные части l_i, одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

x_C =Σ(l_ix_Ci)/Σl_i.

Дугу l_i вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника OD_iC_i и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

L_i/Δy_i = R/x_Ci или l_ix_i = RΔy_i.

Тогда:

x_C =Σ(l_ix_Ci)/Σl_i = Σ(RΔy_i)/l = RΣΔy_i/l = R×AB/l,

поскольку RΣΔy_i = AB, а Σl_i = l – длина дуги АВ. Но АВ = 2R sinα, а l = 2Rα, следовательно,

x_C = (R sinα)/α.

При α = π/2 рад (полуокружность), x_C = 2R/π.

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3а). Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда y_C = 0.

Определим x_C, для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги l_i можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R. Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги.
Очевидно, что

x_C = 2 R sinα/(3α).

При α = π/2 рад (полукруг): x_C = 4R/(3π).

***

Пример решения задачи на определение центра тяжести

Задача:
Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4.

Решение.
Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. x_C = 0.
По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения: А₁ = 15,2 см²; y₁ = 22/2 = 11 см.
Для швеллерного сечения: А₂ = 12 см²; y₂ = 22 + d – z₀ = 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см,
где d – толщина стенки швеллера; z₀ – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

y_C = Σ(A_iy_i)/ΣA_i,

тогда:

y_C = (A₁y₁ +A₂y₂)/(A₁ +A₂) = (15,2×11 + 12×21,07)/(15,2 + 12) = 15,4 см.

Задача решена.

Теоретический материал.

Сила, с которой тела притягиваются к Земле, называется силой тяжести.

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли (рис.). Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.

Любое тело состоит из большого количества элементарных частиц.

Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (кольцо, цилиндр с отверстием).

Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра параллельных сил: ; ; ; где - координаты центра тяжести тела, – координаты частицы.

Очень часто приходится определять центры тяжести геометрических плоских фигур сложной формы. Координаты центра тяжести вычисляются по формулам: ; . Координаты центра тяжести обозначаются:

Для вычисления координат центра тяжести геометрических плоских фигур используются следующие методы:

1. метод симметрии:

· если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на оси симметрии;

· если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит в точке их пересечения;

· центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на минимальное количество простых частей, положение центров тяжести которых, легко определить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: