|
|
Применение теории погрешностей к равноточным измерениямЗакономерности (свойства) случайных погрешностей. Их выявляют многократными измерениями какой-либо одной величины, истинное значение которой известно. Вычисленные по (1.5) случайные погрешности Δ имеют следующие свойства: 1) при определенных условиях они не превышают по модулю определенного предела Δпр; 2) положительные погрешности появляются приблизительно так же часто, как и равные им по модулю отрицательные; 3) малые по модулю погрешности появляются чаще больших. Из этих свойств вытекает следствие: при неограниченно большом числе измерений одной и той же величины случайные погрешности компенсируются, а их среднее арифметическое стремится к нулю, т. е.
lim(Δ1+Δ2+…+Δn)/n= lim(1/ n)∑ Δ i= 0, i =1,2,…, n (1.6) n→∞ n→∞ i Из формулы видно, что среднее арифметическое из бесконечно большого числа измерений стремится к истинномузначению измеряемой величины. Но так как на практике измеряют одну и же величину лишь несколько раз (2; 4; 9), среднее арифметическое из результатов измерений будет не истинным, а близким к нему, вероятнейшим значением измеренной величины. Вычисляют среднее арифметическое по формуле L=(l1+ l2+…+ l п)/ п=(1/n) ∑ li i =1,2,…, n (1.7) где l1, l2,… l п результаты 1, 2,..., п-го измерений; п - число измерений.
Истинная и вероятнейшая погрешности. Поправки к измерениям. В связи с тем, что есть различие между истинным и вероятнейшим значениями измеряемой величины, погрешности также подразделяют на два вида: истинную и вероятнейшую. Разность между измеренным и истинным значениями величины, вычисленную по (1.5) называют истинной погрешностью, а разность между измеренным l и вероятнейшим (средним арифметическим) L значениями величины v = l - L (1.8) - вероятнейшей погрешностью. Величины Х - l = w1 и L - l. = w2 называют поправками к измеренным величинам. Поправка равна погрешности, взятой с обратным знаком. Рассмотрим одно из важнейших свойств вероятнейших погрешностей. Для этого напишем и просуммируем почленно уравнения, по которым вычисляют каждую из погрешностей ряда
v1 = l1 – L v2 = l2 – L ………… vn = l n– L -------------- ∑ v = ∑ l - n L . Согласно (1.7) nL =∑ l Следовательно, ∑ v = О. Это свойство используют для контроля правильности вычисления арифметического среднего. Если сумма вероятнейших погрешностей равна нулю, вероятнейшее значение измеренной величины вычислено верно. Абсолютная и относительная погрешност и. Как истинная, так и вероятнейшая погрешности могут быть выражены в абсолютных или относительных величинах. Вычисленные по.(1.5) и (1.8) Δ и v- абсолюТнЫе погрешности. Их выражают в тех же единицах меры, что и измеренные величины. Относительной погрешностью называют отношение соответствующей абсолютной погрешности к полученному значению измеренной величины. Ее обычно выражают в виде дроби с числителем, равным единице. Относительными погрешностями часто характеризуют точность измерения расстояния, площади и объема. Если, например, измеряя длину просеки, в прямом направлении получили 1002,9 м и в обратном 1003,6 м, то относительная погрешность (Dпр - DОбр)/Dср=0,7 M/l003,2 м= 1/1400. Знаменатель относительной погрешности обычно округляют до двух значащих цифр с нулями.
θ=±(| Δ1|+| Δ2|+…+| Δ n|)/ n=±(1/ n)∑| Δ|
Однако предпочитают оценивать точность ряда равноточных измерений по средней квадратической погрешности m одного (отдельного) измерения, которую вычисляют по формуле К.Ф.Гаусса:
Оценка по средней квадратической погрешности более показательна, чем по средней: во-первых, на величину средней квадратической погрешности главное влияние оказывают большие по абсолютной величине случайные погрешности, тогда как при вычислении средней погрешности эти отклонения уравновешиваются малыми; во-вторых, средняя квадратическая погрешность обладает достаточной устойчивостью, поэтому даже при относительно небольшом числе измерений ее величину получают с большой достоверностью Теоретическими расчетами и опытом установлено, что 67 % случайных погрешностей в данном ряду измерений не превышают по абсолютной величине среднюю квадратическую погрешность т, 95 % - 2т, а 99,7 % - 3т. Поэтому по средней квадратической погрешности судят о допустимости той или иной случайной погрешности. Если случайная погрешность 3т, ее считают предельной, а свыше 3т - грубой. Выполненные с такими погрешностями измерения в обработку не принимают. По (1.9) оценивают точность измерений, если известно истинное значение измеренной величины; обычно же оно неизвестно. Многократным измерением находят среднее арифметическое значение величины, а затем и вероятнейшие погрешности каждого результата. При этом условии среднюю квадратическую погрешность одного измерения вычисляют по формуле Бесселя:
Точность определения самого среднего арифметического оценивают по формуле
M=±m/√n (1.11),
показывающей, что средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, полученного из равноточных измерений, в √n раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения. Часто рядом с вероятнейшим значением величины записывают и ее среднюю квадратическую погрешность М, например 70005' ± 1'. Это означает, что точное значение угла может быть больше или меньше указанного на 1'. Однако эту минуту нельзя ни добавить к углу, ни вычесть из него. Она характеризует лишь точность получения результатов при данных условиях измерений.
  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Критерии оценки точности измерений. Средняя квадратическая погрешность. Если известен ряд случайных погрешностей измерений какой-либо величины, можно оценить точность измерений. Для этого достаточно вычислить среднюю погрешность θ, получив ее как среднее арифметическое из модулей погрешностей:
(1.9)
(1.10)