|
|
Что такое алгебра логики?Стр 1 из 4Следующая ⇒ Лекция 5. Логические основы компьютеров
Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний. Что же такое логическое высказывание?
Так, например, предложение “ 6 — четное число ” следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение “ Рим — столица Франции ” тоже высказывание, так как оно ложное. Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения “ ученик десятого класса ” и “ информатика — интересный предмет ”. Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие “ интересный предмет ”. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла. Предложения типа “ в городе A более миллиона жителей ”, “ у него голубые глаза ” не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание “ площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км ” в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если..., то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными. Так, например, из элементарных высказываний “ Петров — врач ”, “ Петров — шахматист ” при помощи связки “ и ” можно получить составное высказывание “ Петров — врач и шахматист ”, понимаемое как “ Петров — врач, хорошо играющий в шахматы ”. При помощи связки “ или ” из этих же высказываний можно получить составное высказывание “ Петров — врач или шахматист ”, понимаемое в алгебре логики как “ Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ”. Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний. Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание “ Тимур поедет летом на море ”, а через В — высказывание “ Тимур летом отправится в горы ”. Тогда составное высказывание “ Тимур летом побывает и на море, и в горах ” можно кратко записать как А и В. Здесь “ и ” — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — “ истина ” или “ ложь ”, обозначаемые, соответственно, “1” и “0” Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение: (1) Операция, выражаемая словом “ не ”, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком щ). Высказывание (2) Операция, выражаемая связкой “ и ”, называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "•" (может также обозначаться знаками Щ или &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание “10 делится на 2 и 5 больше 3” истинно, а высказывания “10 делится на 2 и 5 не больше 3”, ложны. (3) Операция, выражаемая связкой “ или ” (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание “10 не делится на 2 или 5 не больше 3” ложно, а высказывания “10 делится на 2 или 5 больше 3”, истинны. (4) Операция, выражаемая связками “ если..., то ”, “ из... следует ”, “ ... влечет... ”, называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком ®. Высказывание А ® В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно. Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “ данный четырёхугольник — квадрат ” (А) и “ около данного четырёхугольника можно описать окружность ” (В). Рассмотрим составное высказывание А ® В, понимаемое как “ если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность ”. Есть три варианта, когда высказывание А ®В истинно: 1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность; 2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника); 3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность. Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность. В обычной речи связка “ если..., то ” описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться “бессмысленностью” импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: “если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы”, (5) Операция, выражаемая связками “ тогда и только тогда ”, " необходимо и достаточно ”, “... равносильно...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком «или ~. Высказывание А «В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”, истинны, а высказывания “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”, ложны. Высказывания А и В, образующие составное высказывание А «В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “ три больше двух ” (А), “ пингвины живут в Антарктиде ” (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “ три не больше двух ” (), “ пингвины не живут в Антарктиде ” (). Образованные из высказываний А, В составные высказывания A«B и «истинны, а высказывания A«и «B — ложны. Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания. Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация.   Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. “ Луна — спутник Земли ” (А); “ Луна — не спутник Земли ” (