|
|
Декартова система координат плоскости и пространстваСтр 1 из 4Следующая ⇒ Пусть О - произвольная фиксированная точка некоторой плоскости и (
Опр.20 Совокупность фиксированной точки О и ортонормированного базиса (
Легко увидеть, что декартова система координат на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми - осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной длины. Оси координат делят плоскость на четыре области – четверти или квадранты. Четверти нумеруются против часовой стрелки, как на рис.13.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Oxу (Рис.13). Радиус-вектором точки М по отношению к точке О называется вектор Координатами точки М в системе координат O Координаты точки могут быть найдены как проекции радиус-вектора на каждую из осей, х= ах=Прох
Обратно: если М(х; у), то
Как и на плоскости, точка О называется началом координат. Прямые Ох, Оу и Оz, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов Ox – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят пространство на восемь областей - октантов. Координатами точки М называются координаты радиус-вектора Обратно: если М(х; у; z), то
Прямоугольная система координат в пространстве дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел (их координатами), а на плоскости - между точками плоскости и упорядоченными парами чисел. В декартовой системе координат упорядоченная пара чисел одновременно задает как точку данной плоскости, так и радиус-вектор этой точки и целое множество равных ему векторов. Аналогично и в трёхмерном случае. В дальнейшем будем задавать векторы не двумя точками (начальной и конечной) а только конечной с указанием её координат. Считаем начальной точкой всех векторов (если противное не оговорено отдельно) точку О – начало координат.
Аналогично рассмотренным случаям n=2 и n=3 можно ввести понятие декартовой системы координат n-мерного пространства, которое можно обозначить R n. Точки такого пространства, как и векторы, задаются указанием упорядоченного набора n чисел Действия над векторами в координатной форме Пусть в декартовой системе координат Охуz даны векторы
т.е. Замечание: в дальнейшем будем считать все координаты точек и векторов декартовыми, если отдельно не оговорено противное. С такими векторами можно выполнить следующие действия: сравнение, сумма (разность), умножение на число, скалярное произведение, найти модуль вектора, угол между векторами и проверить векторы на коллинеарность. Рассмотрим их подробнее: Сравнение Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их одноименные координаты, Нарушение хотя бы одного равенства говорит о неравенстве векторов, Векторы различных размерностей несравнимы. Операции “ < “ и “ > ” на векторах не заданы; 7.2 Сумма и разность векторов: координаты суммы (разности) двух векторов равны сумме (разности) одноименных координат этих векторов,
(x1; y1; z1) ± (x2; y2; z2) = (x1±x2; y1±y2; z1±z2); 7.3 При умножении вектора на число на это число умножаются все его координаты, l× l×(x1; y1; z1)= (l×x1; l×y1; l×z1); 7.4 Скалярное произведение двух векторов в координатной форме: (8) т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений одноименных координат. Выведем эту формулу:
= х1x2× + y1x2× + z1x2× Векторы т.е. для них поэтому Модуль вектора При получим (9) | т.е. модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов его координат; 7.6 Косинус угла между векторами (при (10) cos( Если перпендикулярности ненулевых векторов, заданных координатами; Условие коллинеарности Пусть векторы х1=lx2, y1=ly2, z1=lz2. Получили, что если выполнено то векторы
Координаты вектора (без разделителей “; “) могут считаться строкой (или столбцом) числовой матрицы. При коллинеарности нескольких векторов матрица А, для которой такие векторы являются строками (или столбцами), имеет ранг r(A)=1 (наибольшее количество линейно независимых строк или столбцов). Все миноры для А порядков выше 1 являются нулевыми. Для двух векторов пространства Охуz:
– условие коллинеарности двух трехмерных векторов, заданных координатами. Для трех и более векторов либо при большей размерности аналогично составляются все возможные миноры второго порядка для матрицы А и приравниваются к нулю; 7.8 Координаты вектора Если известны координаты начальной точки (11)   Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
; 
) - один из ортонормированных базисов той же плоскости.
, соединяющий начало координат с данной точкой.
в базисе (
=(ах; ау).
Опр.21 Совокупность фиксированной точки О и ортонормированного базиса (
) называется декартовой (или прямоугольной) системой координат в пространстве размерности n=3.
- её декартовых координат.
=x1× 
=x2× 
(х1 = х2, y1=y2, z1=z 2 ).
+
+
+ z1y2× 
+ z1z2× 
× 
× 
= 
, | 
,
= 
.
,
=1 следовательно 
.
и конечной точки 
вектора 
и 
(из координат конечной точки вычитаются соответствующие координаты начальной точки),
;