Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Декартова система координат плоскости и пространства





Пусть О - произ­вольная фиксированная точка некоторой плоскости и ( ; ) - один из ортонормированных базисов той же плоскости.

 
 

 


Опр.20 Сово­купность фиксированной точки О и ортонормированного базиса ( ; ) называется декартовой (или прямо­угольной) системой координат на плоскости. Точка О назы­вается началом координат. Прямые Ох и Oу, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов и (Рис.13), называются осями координат: Ox - ось абсцисс, Оу - ось ординат. Систему координат будем обоз­начать O или хOу, а плоскость с соответствующей систе­мой координат будем называть плоскостью Оху.

 

Легко увидеть, что декартова система координат на плоскости задается двумя взаимно перпенди­кулярными прямыми - осями, на каждой из которых вы­брано положительное направление и задан отрезок еди­ничной длины. Оси координат делят плоскость на четыре области – четверти или квадранты.

Четверти нумеруются против часовой стрелки, как на рис.13.

 

 

Рассмотрим произвольную точку М плоско­сти Oxу (Рис.13). Радиус-вектором точки М по отношению к точ­ке О называется вектор , соединяющий начало координат с данной точкой.

Координатами точки М в системе координат O называются координаты радиус-вектора в базисе ( ; ). Если =(х; у), то коор­динаты точки М записывают так: М(х; у), число х назы­вается абсциссой точки М, у - ординатойточки М.

Координаты точки могут быть найдены как проекции радиус-вектора на каждую из осей, х= ах=Прох и у=ау=Проу , =(ах; ау).

 

Обратно: если М(х; у), то =(х; у).

Опр.21 Совокупность фиксированной точ­ки О и ортонормированного базиса ( ; ; ) называется декартовой (или прямоугольной) системой координат в пространстве размерности n=3.



 

Как и на плоскости, точка О называется нача­лом координат. Прямые Ох, Оу и Оz, проходящие через начало координат в направле­нии базисных векторов , , (Рис. 14), называются осями координат:

Ox – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят пространство на восемь областей - октантов. Координатами точкиМ называются координаты радиус-вектора в базисе ( ; ; ), при этом если =(х; у; z), то пишут М(х; у; z), где х - абсцисса, у - ордината, z - аппликата точки М.

Обратно: если М(х; у; z), то =(х; у; z).

 

Прямоугольная система координат в пространстве дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел (их координатами), а на плоскости - между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

В декартовой системе координат упорядоченная пара чисел одновременно задает как точку данной плоскости, так и радиус-вектор этой точки и целое множество равных ему векторов. Аналогично и в трёхмерном случае. В дальнейшем будем задавать векторы не двумя точками (начальной и конечной) а только конечной с указанием её координат. Считаем начальной точкой всех векторов (если противное не оговорено отдельно) точку О – начало координат.

 

Аналогично рассмотренным случаям n=2 и n=3 можно ввести понятие декартовой системы координат n-мерного пространства, которое можно обозначить Rn. Точки такого пространства, как и векторы, задаются указанием упорядоченного набора n чисел - её декартовых координат.


Действия над векторами в координатной форме

Пусть в декартовой системе координат Охуz даны векторы

=x1× +y1× +z1× и =x2× +y2× +z2× ,

т.е. =( x1; y1; z1) и =( x2; y2; z2) .

Замечание: в дальнейшем будем считать все координаты точек и векторов

декартовыми, если отдельно не оговорено противное.

С такими векторами можно выполнить следующие действия:

сравнение, сумма (разность), умножение на число, скалярное произведение, найти модуль вектора, угол между векторами и проверить векторы на коллинеарность. Рассмотрим их подробнее:

Сравнение

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их одноименные координаты , = ( х1 = х2 , y1=y2 , z1=z 2 ).

Нарушение хотя бы одного равенства говорит о неравенстве векторов, .

Векторы различных размерностей несравнимы.

Операции “ < “ и “ > ” на векторах не заданы;

7.2 Сумма и разность векторов:

координаты суммы (разности) двух векторов равны сумме (разности)

одноименных координат этих векторов,

± =(x1× +y1× +z1× ) ± ( x2× +y2× +z2× )= (х1±х2 +(y1±y2 +( z1±z2 ,

(x1; y1; z1) ± (x2; y2; z2) = (x1±x2 ; y1±y2 ; z1±z2);

7.3 При умножении вектора на число на это число умножаются все его

координаты, l× =l×( x1 +y1 +z1 )=(lх1 +(ly1 +(lz1 ,

l×( x1; y1; z1)= (l×x1; l×y1; l×z1);

7.4 Скалярное произведение двух векторов в координатной форме:

(8) × 1×x2+y1×y2+ z1×z2 ,

т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных

произведений одноименных координат.

Выведем эту формулу:

× =( x1 +y1 +z× )×( x2 +y2 +z× )=

= х1x2× 2 + x1y2× × + x1z2× +

+ y1x2× × + y1y2× 2 + y1z2× +

+ z1x2× + z1y2× + z1z2× 2.

Векторы , , ортонормированны,

т.е. для них × = × = = = = = 0, 2= 2= 2=1 ,

поэтому × 1x2×1+y1y2×1+ z1z2×1;


Модуль вектора

При = формула (8) примет вид × = 2= x12+y12+z12,

получим (9) | |= , | |= ,

т.е. модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному

корню из суммы квадратов его координат;

7.6 Косинус угла между векторами (при ¹0, ¹0)

(10) cos( ^ )= = .

Если ^ , то × =0 и, следовательно х1х2+y1y2+z1z2=0условие

перпендикулярности ненулевых векторов, заданных координатами;

Условие коллинеарности

Пусть векторы и коллинеарны, тогда =l ,

х1=lx2, y1=ly2, z1=lz2 .

Получили, что если выполнено ,

то векторы и коллинеарны.

 

Координаты вектора (без разделителей “ ; “ ) могут считаться строкой (или столбцом) числовой матрицы. При коллинеарности нескольких векторов матрица А, для которой такие векторы являются строками (или столбцами), имеет ранг r(A)=1 (наибольшее количество линейно независимых строк или столбцов). Все миноры для А порядков выше 1 являются нулевыми. Для двух векторов пространства Охуz :

=1 следовательно .

условие коллинеарности двух трехмерных

векторов, заданных координатами .

Для трех и более векторов либо при большей размерности аналогично составляются все возможные миноры второго порядка для матрицы А и приравниваются к нулю;

7.8 Координаты вектора

Если известны координаты начальной точки и конечной точки вектора , то координаты такого вектора (после переноса начальной точки в начало координат О) находятся как разность векторов и (из координат конечной точки вычитаются соответствующие координаты начальной точки),

(11) ;









Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.