|
Подмножества R, мнимая единицаВ математике выполняются действия с числами, которые берутся из некоторых числовых множеств. Основными числовыми множествами являются множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных и действительных чисел: N – множество натуральных чисел, N ={1, 2, 3, …, n, n+1, … }; Z – множество целых чисел, Z ={0, Q – множество рациональных чисел, Q ={ x | Всякое рациональное число записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби, например 1 = 1,0000(0)…,
I – множество иррациональных чисел, элементы которого – бесконечные десятичные непериодические дроби, R – множество действительных чисел, ( Все перечисленные числовые множества являются подмножествами множества действительных чисел, N В результате сложения, вычитания, произведения и частного (при ненулевом знаменателе) для действительных чисел результат также принадлежит множеству действительных чисел. Применение же некоторых функций к действительным числам требует сужения множества R: квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, логарифм определён только для положительных чисел и т.д. Не всякий многочлен на множестве действительных чисел имеет действительные корни, например
Всязи с этим потребовалось расширить и множество действительных чисел, как введение нуля и отрицательных чисел исторически расширило множество натуральных чисел до множества целых чисел, которое в свою очередь расширилось до множества рациональных чисел. Опр.26 Мнимой единицей назовем число, квадрат которого равен – 1, обозначим такое число буквой i. На множестве действительных чисел нет чисел, квадрат которых равен отрицательному числу, следовательно Алгебраическая форма комплексного числа Опр.27 Комплексным числом называется число z вида (20) z = a+b ×i, где а b i – мнимая единица. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. Комплексные числа можно обозначать и парой действительных чисел, из которых первое является действительной частью, а второе является мнимой частью такого числа: z = (a; b). Множество комплексных чисел будем обозначать С.
Пример 11 Найти решения уравнения Решение: На множестве действительных чисел уравнение На множестве комплексных чисел найдем решение данного уравнения, воспользовавшись формулой нахождения корней квадратного уравнения:
Ответ: Замечание: Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то z = a является действительным числом т.е. все действительные числа являются при этом и комплексными (с нулевой мнимой частью). Множество действительных чисел вкладывается в множество комплексных чисел,
Если действительная и мнимая части комплексного числа нулевые, то число называется нулём и записывают это z = 0. Операции над комплексными числами В алгебраической форме К таким операциям относятся сравнение, умножение на действительное число, сумма и разность, сопряжение, произведение и деление комплексных чисел. Рассмотрим их подробнее вместе со свойствами.
Пусть даны два комплексных числа Сравнение комплексных чисел Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их действительные части и равны их мнимые части,
Нарушение хотя бы одного равенства говорит о неравенстве комплексных чисел, которое обозначается Операции “ < “ и “ > ” на комплексных числах, хотя бы одна из мнимых частей которых ненулевая, не заданы; Умножение на действительное число т.е. на это число умножается отдельно действительная часть и отдельно мнимая часть; Сумма и разность т.е. данные операции выполняются отдельно с действительными и отдельно с мнимыми частями; Сопряжение Сопряжение комплексного числа даёт комплексное число с такой же действительной частью и мнимой частью с противоположным знаком. Сопряжение комплексного числа обозначается чертой над ним, т.е. ![]() ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|