|
|
Электро-магнитная волна (ее уравнение).Задача 2. Показать, что уравнение плоской волны Hz=Hо·соs(ωt-kx+φо) является решением волнового уравнения. Анализ: По волновой теории свет является электромагнитной волной. Электромагнитной волной называются колебания электрического и магнитного полей (т.е. векторов напряженностей электрического Е и магнитного Н полей), распространяющиеся в пространстве. Электромагнитная волна является непосредственным следствием уравнений Максвелла. Можно показать (см. литературу), что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электрическое и магнитное поля, векторы напряженностей Е и Н переменных электрического и магнитного полей удовлетворяют волновому уравнению:
, n – показатель преломления среды,
а eо и mо - соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и μ - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды; В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света. Так как для произвольного вещества ε∙μ > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме. Если вектор Е направить вдоль оси у, Н – вдоль z, а υ – вдоль х, то уравнения (1.1 и 1.2) можно переписать в виде (1.3, 1.4), где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают то, что вектора Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z. Полученные волновые уравнения для одномерного случая (распространение волны вдоль оси х), имеют вид:
Решением данных уравнений являются уравнения волны, распространяющейся вдоль оси х, такую волну называют плоской: Еу = Ео соs(ωt-kx+φо) (1.5) Hz = Hо соs(ωt-kx+φо) (1.6) Еу = Ео sin(ωt-kx+φо) (1.5’) Hz = Hо sin(ωt-kx+φо) (1.6’) где Ео и Hо – соответственно амплитуды (максимальные значения) напряженностей электрического и магнитного полей волны, ω – круговая частота волны, k – волновое число, х – координата, расстояние от источника волны (света) до точки, в которой происходит наблюдение волны, t - время, через которое, после начала излучения волны, происходит ее наблюдение, φо - начальная фаза колебаний в точках с координатой х=0 и t=0 (при рассмотрении волны начало отсчета координаты и времени обычно выбирают так, чтобы φо стала равной нулю, φо=0). От начальной фазы зависит по какому закону будут происходить колебания Е и Н: по 1.5 и 1.6 или 1.5’ и 1.6’. В уравнениях (1.5 и 1.6) φо одинаково, поскольку колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой. Решение: Для проверки того, что данное уравнение Hz = Hо соs(ωt-kx+φо) является решением волнового уравнения Дифференцируя дважды по координате х, получим:
и по времени t, получим:
Подставив в волновое уравнение:
получаем: k 2 = ω 2/ υ 2. Учитывая, что k = 2π/λ; ω = 2πν и λν = υ, видно, что выражение k 2 = ω 2/ υ 2 является тождеством, и, следовательно, данное уравнение плоской волны для Н (данное в условии задачи) является решением волнового уравнения.
Задача 3. Найти компоненты напряженностей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны и величину ее интенсивности на расстоянии Х = 1,75 λ (длины волны) от источника через t = 3,75Т (периода) после начала испускания волны, если Н0 = 0.04 А/м. Считать, что колебания Н происходят по закону косинуса и по оси У. Дано: Х = 1,75 λ; t = 3,75 Т; Н0 = 0,04 А/м Найти: Е, Н, I Анализ: По волновой теории свет является электромагнитной волной. Электромагнитной волной называются колебания электрического и магнитного полей (т.е. векторов напряженностей электрического Е и магнитного Н полей), распространяющиеся в пространстве. Вектора Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны перпендикулярны вектору скорости υ распространения волны, и три вектора Е, Н и υ образуют правовинтовую систему (см. рис. 5-2а). Е Y
υ Х Н Z Рис. 5-2а Рис. 5-2б Сопоставляя рисунки 5-2а и 5-2б (рис. 5-2б - правая тройка для координат XYZ), видно, что если скорость направлена по оси Х, а колебания магнитного поля (Н) по оси Y, то колебания электрического поля должны происходить по оси Z в отрицательном направлении оси. Решение: Уравнение для напряженности магнитного поля электромагнитной волны имеет вид: Hу = Hосоs(ωt-kx+φо) где Н0 – амплитудное значение напряженности магнитного поля электромагнитной волны; ω – циклическая частота имеет соотношение с периодом: ω=2π/Т; k - волновое число определяется через длину волны λ соотношением: k = 2π/λ; φо - начальная фаза, которую можно считать равную нулю (φо=0). Используя данное уравнение, можем найти значение Н в данный момент времени и в данной точке пространства, т.е. Н = 0,04 соs (2π · 3,75 + 2π · 1,75) = - 0,04 (А/м). Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся соотношением Н и Е для электромагнитной волны: где εо и μо - электрическая и магнитная постоянные соответственно; ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости, для вакуума (воздуха) равны единице (ε = 1 и μ = 1). Отсюда: Подставим значения: Величина интенсивности электромагнитной волны определяется через вектор Умого – Пойтинга где Е0 и Н0 – амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей. Для нашего случая I = 0,04 · 15,07/2 = 0,3 (Вт/м2). Ответ: Е = -15,07 (В/м); Н = - 0,04 (А/м); I = 0,3 (Вт/м2).
  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
(1.1)
(1.2)
где u - фазовая скорость, скорость распространения фазы, т.е. скорость распространения волны с одной определенной частотой или длинной волны. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением: 
, где с скорость света в вакууме
- оператор Лапласа.
(1.3)
(1.4)
;
.
,
,
- 15,07 (В/м)
. Подставляя величину вектора Умого – Пойтинга и беря интеграл, получим 
,