|
|
Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками»Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U (х) = соnstи ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. Энергия свободной частицы может принимать любые значения, т. е. ее энергетический спектр является непрерывным. Свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля, и все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.
∞, х < 0 U (x) = {0, 0 ≤ х ≤ l }(33.11) ∞, х > 1 где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис.33.1). Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде
По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х =0 и х=l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид Ψ(0)=Ψ(l)=0. (33.13) В пределах «ямы» уравнение Шредингера сведется к уравнению
Стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еп зависящих от целого числа п. Еп= Следовательно, энергия Еп частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еп - называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еп, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п. Частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная Туннельный эффект Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис.33.2.а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U ширины l можем записать 0, х < 0(для области 1), U (x) = { U, 0 ≤ х ≤ l }(для области 2), (33.15) 0, х > 1(для области 3),
имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>l, т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из уравнения Шредингера, описывающего микрочастицы при условиях данной задачи. Таким образом, квантовая механика приводит к специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Для описання туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Решение уравнения Шредингера для прямоугольной потенциального барьера дает формулу для коэффициента прозрачности: D = D 0 exp(- где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барьера, D 0— постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из этого выражения следует, что D сильно зависит от массы частицы, ширины барьера и от (U - Е); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы. С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е<U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса Δ р на отрезке Δ х=l составляет Δ p>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия может сказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы сказалась больше потенциальной. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, a -распад, протекание термоядерных реакций).   Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к свободной частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» (рис.33.1). Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)
+ 
(Е- U)Ψ = 0. (33.12)
,(n= 1, 2, 3, …).(33.15)
.
При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е> U), либо отразится от него (при Е< U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при Е> U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При Е< U Рис.33.2.
), (33.16)