|
|
Теорема збіжності методу простої ітераціїЯкщо норма матриці коефіцієнтів при невідомих канонічної форми системи (11) строго менше одиниці
де
Відомо, що якщо визначник системи (3) відмінний від нуля (
Умова (13) являється достатньою умовою збіжності процесу ітерацій системи, записаної у вигляді (3). Якщо ж умова (13) не виконується (або виконується не для всіх рівнянь), то систему (3) можна привести до еквівалентної, але уже з виконаною умовою (13) для всіх діагональних коефіцієнтів. Цього добиваються шляхом підбору лінійних комбінацій рівнянь системи (3) і відповідною перестановкою рівнянь.
Приклад виконання лабораторної роботи. Завдання: розв’язати систему рівнянь:
за правилом Крамера, методом Жордана – Гаусса та методом простої ітерації. Порівняти значення, отримані за формулами Крамера, з результатами функції lsolve(А,В). Обчислити нев’язки в методі Жордана – Гаусса. Отримати розв’язок за методом простої ітерації з точністю Виконання: 1. Розв’яжемо систему рівнянь в середовищі програми MathCad, користуючись формулами Крамера. Знайдемо розв’язок цієї ж системи за допомогою вбудованої функції lsolve(А,В). Порівняємо отримані результати. Зауваження: а) Функція lsolve(А,В) знаходить розв’язок СЛАР (3), записаної у матричному вигляді. Для її використання потрібно попередньо задати матрицю системи А та стовпець вільних членів В. б) В середовищі Mathcad для заміни, наприклад, першого стовпчика матриці А елементами стовпця вільних членів В використаємо оператор Реалізація алгоритму в середовищі MathCad:
2. Розв’яжемо систему рівнянь методом Жордана - Гаусса в середовищі ЕТ Excel. Для цього створимо наступну таблицю:
На нульовому кроці (n =0) заповнимо таблицю даними із системи рівнянь, тобто коефіцієнтами при невідомих аij і значеннями вільних членів bi рівнянь системи. На наступних кроках виконаємо обчислення за алгоритмом методу Жордана – Гаусса (описаному в теоретичній частині). На першому кроці за розв’язуючий елемент візьмемо найбільший по модулю коефіцієнт a12 =6.
В режимі формул розрахунки мають такий вигляд:
Із розрахункової таблиці третього (останнього) кроку випишемо розв’язки нашої системи
Перевіримо точність за допомогою нев’язок, які розраховуватимемо по формулам
Результат має вигляд
Отже, ми отримали розв’язки з нульовою похибкою і вони співпадають з результатами, що були обчислені за формулами Крамера. 3. Знайти розв’язок системи методом простої ітерації з точністю а) В системі (14) переставимо перше і друге рівняння місцями. Отримаємо систему, що задовольняє умову (13)
б) Приведемо систему рівнянь до канонічної форми
в) Створимо в середовищі MathCad матрицю системи С та вектор вільних членів D по матричному рівнянню (канонічної форми системи) X=CX+D
г) Обчислимо норму матриці системи за допомогою вбудованої функції norme()
Норма матриці С менше одиниці (
д) Задамо початкове наближення
е) Проведемо розрахунки по ітераційним формулам
є) Обчислимо похибку. Наприклад, оцінимо на 9-тій ітерації.
Похибка менше заданої точності. Лабораторна робота №3 на тему: „Інтерполяція функцій”. Мета роботи: набути навичок побудови інтерполяційного полінома Лагранжа та використання його для обчислення наближених значень функції в заданих точках в середовищі MathCad. Теоретичні відомості. В загальному вигляді задача інтерполяції може бути поставлена так: дано ряд значень (дослідних даних), які розташовані в порядку збільшення аргументу (табл.1), що відображає залежність y від x. Необхідно знайти аналітичну залежність, що наближено відображує зв’язок між x та функцією y і визначити проміжні значення функції Табл. 1
Під інтерполяцією розуміється заміна заданої дискретної функції y=f(x) деякою функцією
Функція Основна умова інтерполяції – рівність вихідної дискретно заданої функції y=f(x) і інтерполяційної функції На практиці за інтерполяційну функцію часто використовують поліном Лагранжа:
Цей поліном За допомогою цього полінома можна обчислити значення функції в точках, які відрізняються від вузлів інтерполяції.
  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, то послідовність наближень за методом простої ітерації збігається до точного розв’язку системи. При цьому похибки наближень оцінюються за формулами
, (12)
, а 
), то її завжди можна (але не завжди просто) привести до канонічної форми (11), що задовольняє умовам теореми збіжності методу простої ітерації. Це легко зробити, якщо модулі діагональних коефіцієнтів 
системи (3) перевищують суму модулів інших коефіцієнтів відповідних рівнянь:
(13)
(14)
.
.
). Отже, виконується умова збіжності ітераційного процесу.
, де 
для якої виконуються наступні умови:
(15)
називається інтерполяційною функцією, відрізок 
- відрізком інтерполяції, а точки 
, 
в вузлах інтерполяції.
(16)
має степінь не вище n, тобто степінь полінома на одиницю менша за кількість вузлів інтерполяції, і в заданих вузлах 
, де