|
|
А) метод поділу відрізка навпіл (бісекцій)Нехай рівняння Якщо Б) метод Ньютона (дотичних) Метод використовується для рівняння Наближення до точного кореня знаходиться за формулою Ньютона, яка має вигляд:
Процес продовжується доти, поки не буде досягнута задана точність Зауваження: за початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку
В) метод простої ітерації Метод застосовується на відрізках, де існує один корінь рівняння Якщо для відрізка [a,b] виконується нерівність Для уточнення кореня методом простої ітерації використовується формула послідовних наближень
Оцінка похибки: якщо задана максимально допустима абсолютна похибка
де m – мінімальне значення похідної M – максимальне значення похідної Звідси Зауваження: зведення рівняння
рівносильне рівнянню
Приклад виконання лабораторної роботи. Завдання: нехай задана функція Виконання: 1. Відокремлюємо корені графічним способом, для цього використовують MathCad.
Ми бачимо, що на відрізку [-2, 0] функція має два корені, а на відрізку [0, 2] функція має один дійсний корінь. Будемо уточнювати корінь на відрізку [0, 2].
2. Уточнення кореня рівняння методом поділу відрізка навпіл будемо виконувати в Excel. Для цього створимо наступну таблицю:
2.1. У клітини A2 та С2 заносимо відповідні значення відрізка на якому будемо уточнювати корінь. 2.2. У клітину B2 вводимо формулу =(A2+C2)/2 2.3. У клітину D2 вводимо формулу =cos(2*A2)-0,5*A2 2.4. Копіюємо формулу з клітини D2 у клітини E2:F2 2.5. У клітину A3 вводимо формулу =ЕСЛИ(D2*E2<0;A2;B2) 2.6. У клітину C3 вводимо формулу =ЕСЛИ(D2*E2<0;B2;C2) 2.7. У клітину G2 вводимо формулу =ABS(C3-A3) 2.8. Копіюємо формулу з клітини B2 у клітину B3 2.9. Копіюємо формули з клітин A3:C3 у клітини A4:C4; D2:G2 в D3:G3 доти, поки у стовпчику G не буде досягнута задана точність.
Корінь Знайти корінь рівняння можна за допомогою функції root
Завдання: нехай задана функція 1. Відокремлюємо корені графічним способом, для цього використовують MathCad.
На відрізку [0,5] знаходиться єдиний корінь. 2. Визначаємо яка з точок буде братися за початкове наближення. Для цього знаходимо другу похідну і визначаємо її значення в точці
За початкове наближення беремо 3. Визначаємо першу похідну функції:
4. Уточнюємо корінь методом Ньютона в Excel.
Корінь
Завдання: нехай задана функція Виконання в MathCad. 1. Представляємо рівняння в канонічній формі:
2. Перевіряємо умову збіжності
Всі перевірки виконуємо в MathCad:
Точність досягнута, тому що Знайти корінь рівняння можна за допомогою функції root
Виконання в Excel. Нехай задана функція 1. Відокремлюємо корінь графічним методом
Будемо розглядати відрізок [2, 3]. 2. Представляємо рівняння в канонічній формі:
3. Перевіряємо умову збіжності
Всі перевірки виконуємо в MathCad:
4. Знаходимо мінімальне та максимальне значення похідної
m=10; M=25;
Корінь
Лабораторна робота №6 на тему: „Обчислення визначених інтегралів ”. Мета роботи: навчитись обчислювати визначені інтеграли використовуючи чисельні методи інтегрування, оцінювати похибку обчислень за правилом Рунге. Засвоїти методи: прямокутників, трапецій, Симпсона.
Теоретичні відомості. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] і відома її первісна F(x) (
Проте цією формулою важко і навіть практично неможливо скористатися тоді, коли первісну F(x) не можливо представити в елементарних функціях. У цих випадках особливе значення мають методи чисельного інтегрування функцій, в яких для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла використовуються значення підінтегральної функції та її похідних у скінченій кількості точок, що належать переважно проміжку інтегрування. Наближені методи обчислення визначеного інтеграла здебільшого ґрунтуються на геометричному змісті визначеного інтеграла: якщо функція Сутність методів чисельного інтегрування функцій зводиться до розбиття заданого інтегралу на множину менших інтегралів. Сумарна площа обчислюється як сукупність елементарних площин, отриманих в результаті розбиття.
При цьому чим менше інтервал розбиття, тим точніше буде інтегральна сума. Формула прямокутників. В цьому методі використовується заміна площі криволінійної трапеції сумою площ прямокутників. В цьому випадку підінтегральну функцію замінюють відрізками сталих. Існують формули лівих, правих і середніх прямокутників. а) формула лівих прямокутників Замінюємо підінтегральну функцію
б) формула правих прямокутників Замінюємо підінтегральну функцію
в) формула середніх прямокутників Замінюємо підінтегральну функцію
Формула трапецій. Сутність даного методу є заміна площі криволінійної трапеції площами трапецій, які утворені ламаними, що стягують кінці інтервалів розбиття та кроком розбиття. Тобто в цьому випадку підінтегральна функція
Формула Симпсона. Сутність даного методу є заміна площі криволінійної трапеції площами, що утворені подвійними інтервалом розбиття (2h) і частинами парабол, що проходять через відповідні три точки
Оцінка похибки. На практиці оцінку похибки при чисельному обчисленні інтегралів здійснюють за правилом Рунге. Для інтегралів, що були обчислені за формулами лівих і правих прямокутників похибка оцінюється:
де
Для інтегралів, що були обчислені за формулами середніх прямокутників та трапецій похибка оцінюється:
Для інтегралів, що були обчислені за формулами Симпсона похибка оцінюється за:
Завдання: обчислити інтеграл Приклад чисельного обчислення інтегралів в Excel:
Виконання в MathCad. Метод лівих трикутників: Метод правих прямокутників:
Метод середніх прямокутників: Метод трапецій:
Метод Симпсона:
Лабораторна робота №7 на тему: „Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ”. Мета роботи: вивчення методів чисельного диференціювання та набуття навичок рішення задачі Коші за допомогою ЕТ Excel та МП MathCad. Теоретичні відомості. Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо невідома функція є функцією однієї змінної, і диференціальним рівнянням в частинних похідних, якщо невідома функція є функцією багатьох змінних. Таким чином, звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння виду:
де x – незалежна змінна; y = y(x) – невідома функція; Розв’язком диференціального рівняння (38) на деякому інтервалі (a;b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = y(x), яка при підстановці в рівняння (38) перетворює його в тотожність по x на (a;b). Кожне диференціальне рівняння має безліч розв’язків. Щоб знайти частинний розв’язок рівняння необхідно, задати додаткові умови. Залежно від способу задання додаткових умов розрізняють два типи задач: задача Коші і крайова задача. Якщо додаткові умови задаються в одній точці, то така задача називається задачею Коші, а ці умови ¾ початковими умовами. Якщо додаткові умови задаються більш ніж в одній точці, то така задача називається крайовою задачею, а умови ¾ крайовими або граничними. В лабораторній роботі набудемо навичок рішення задачі Коші. Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) звичайного диференціального рівняння першого порядку
який задовольняє початкову умову
З погляду геометрії розв’язати задачу Коші ¾ це означає виділити з множини інтегральних кривих (розв’язків) ту, яка проходить через задану точку Для розв’язання задачі Коші широко використовують чисельні методи, які дають наближений розв’язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень. В основі цих методів лежить покроковий принцип визначення шуканої функції. Найпоширенішими є методи Ейлера та Рунге – Кутта. Метод Ейлера. При пошуку чисельного розв’язку задачі (39),(40) відрізок інтегрування [ x0, b ] розбивають на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює Наближене значення
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):
де – значення розв’язку в точці Метод Рунге – Кутта. Метод Рунге – Кутта четвертого порядку дає рішення задачі Коші більш точне ніж в попередньому методі. Відрізок інтегрування [ x0, b ] розбивається на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює Наближене значення
де
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):
де – значення розв’язку в точці
  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, що має на відрізку [a,b] один дійсний корінь. Позначимо через 
- точне значення кореня рівняння 
- його точність з якою будемо шукати цей корінь. Перевіряємо, щоб довжина відрізка [a,b] була більшою за 
і обчислюють 
. Якщо 
, то с – є точним значенням кореня. Якщо 
, тоді аналізуємо добуток 
. В тому випадку, коли 
, то корінь знаходиться на відрізку [a,с], тому що функція змінює знаки, тому відрізок зменшується вдвічі тобто точка b переміщується в точку с (b=c).
, то корінь знаходиться на відрізку [с,b], тоді точка 
. Отриманий відрізок знову поділяємо навпіл. Процес поділу здійснюється до тих пір, поки не буде досягнута задана точність, тобто 
.
неперервні і зберігають постійні знаки на відрізку [a,b].
(24)
.
, в якій 
.
- неперервна функція. Щоб знайти дійсні корені цього рівняння, замінено це рівняння його канонічною формою 
.
, то метод простої ітерації можна застосувати (процес ітерацій збігається).
(25)
не буде забезпечено виконання нерівності
(26)
; 
на відрізку [a,b];
(27)
. Потрібно знайти корінь рівняння з точністю 
методом поділу відрізка навпіл (бісекцій).
знайдений з точністю 
. Потрібно знайти корінь рівняння з точністю 
знайдений з точністю 
. Потрібно знайти корінь рівняння з точністю 
. Тому корінь х=2.094315
. Потрібно знайти корінь рівняння з точністю 
знайдений з точністю 
), то справедлива формула Ньютона – Лейбніца
(28)
, то інтеграл I дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою y=f(x) і прямими x=a, x=b, y=0. Ідея наближеного обчислення інтеграла полягає в тому, що задана крива y=f(x) замінюється новою лінією „близькою” до заданої. Тоді шукана площа наближено дорівнює фігурі, обмеженої зверху цією лінією.
(29)
. Тоді
(30)
. Тоді
(31)
. Тоді
(32)
(33)
. Тому кількість відрізків розбиття n повинно бути кратним двом.
(34)
(35)
- обчислення проведене при 2n відрізків розбиття інтервалу[a,b],
- обчислення проведене при n відрізків розбиття інтервалу[a,b].
(36)
(37)
при n=4 та n=8 відрізків розбиття методами прямокутників, трапецій, Симпсона. Оцінити похибки обчислень кожного методу за правилом Рунге.
, (38)
¾ відповідно похідні цієї функції порядку 1, 2,…, n.
, (39)
. (40)
.
. Точки розбиття будуть: 
, якщо відоме значення 
в точці 
.
в точці 
обчислюється за формулою:
(41)
, (42)
, отримане за методом Ейлера з кроком h, 
- значення розв’язку в тій же точці x, але отримане з кроком рівним 2h.
, якщо відоме значення 
, (43)
, (44)