Лекция 1 Вычисление определенных интегралов численными методами

План лекции:

1. Вычисление определенных интегралов методом левых, правых и средних прямоугольников.

2. Вычисление определенных интегралов методом трапеций.

Определенный интеграл от непрерывной функции f (х) ³ 0 в пределах от а до b представляет площадь криволинейной трапеции S, ограниченной кривой f (x), осью абсцисс и прямыми х = а, х = b (рисунок 1). Из курса высшей математики известно, что

где F (x) – первообразная для f(х) на отрезке [ а, b ], т. е. F ¢(x) = f (х)на отрезке [ a, b ]. Если f(х) < 0 на отрезке [ a, b ], то в формуле S < 0, но ç S çравно площади криволинейной трапеции, находящейся под осью абсцисс.

Однако на практике приведенной формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам: 1) вид функции f (x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях; 2) значения функции f (x) заданы только на фиксированном конечном множестве точек x_i, т. е. функция задана в виде таблицы. В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например многочленами нулевой (у = с), первой (у = сх + d) или второй (у = сx ² + dх + k) степени, а численные методы вычисления определенного интеграла, основанные на подобной аппроксимации, называются соответственно методами прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

Пусть требуется приближенно вычислить значение интеграла .В методе прямоугольников криволинейная трапеция разбивается на п частей, каждая из которых представляет собой прямоугольник, основание которого равно шагу интегрирования , а длины сторон соответственно Y ₀ = f (x ₀), Y ₁ = f (x ₁), Y_n = f (x_n), где x ₀ = a, x ₁, …, x_{n -1}, x_n = b – точки деления отрезка [ a, b ] на n равных частей.

Различают методы правых, левых и средних прямоугольников, в зависимости от месторасположения начальной точки x ₀ при вычислении площади элементарного прямоугольника. Если за высоту каждого прямоугольника принимается левая ордината (y₀, y₁, y₂…), то вычисление интеграла будет производиться по методу левых прямоугольников; если правая ордината (y ₁, y ₂, y ₃…), то по методу правых прямоугольников; если за высоту принимается середина интервала длиной h, то будет применяться метод средних прямоугольников. Основанием всех прямоугольников будет являться величина шага интегрирования h.

Тогда при методе левых прямоугольников:

,

при методе правых:

,

при методе средних:

.

Таким образом, первоначальное значение при методе левых прямоугольников , правых – , средних – . Последующие значения будут получаться через операцию присваивание = + h, а элементарные площади S 1, S 2… Sn будут вычисляться по формуле . Сумма этих площадей дает значение интеграла. Изложенное выше реализует алгоритм (рисунок 2), где - значения элементарных площадей, а их сумма S – значение интеграла.

Рисунок 2 – Схема алгоритма вычисления интеграла методом прямоугольников

Более точное значение интеграла получается при вычислении его методом трапеций, когда ординаты (y ₀, y ₁, y ₂… y_n) подынтегральной функции соединяют отрезками прямых и искомую площадь заменяют суммой площадей трапеций, высотой которых является шаг h, а основаниями и для S 1, и для S 2 (рисунок 3).

Тогда

где , а y ₀, y ₁, y ₂ … y_n равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента .

Поскольку , , и т. д., то схема алгоритма примет вид, приведенный на рисунке 3. В приведенном алгоритме блок 5 вычисляет значение элементарных площадей S 1, S 2,… Sn, в блоке 6 осуществляется их суммирование и блоком 7 изменяется на величину шага h.

Рисунок 3 – Схема алгоритма вычисления интеграла методом трапеций

Лекция 2 Решение нелинейных уравнений

Численными методами

При решении любое нелинейное уравнение, например , предварительно приводится к виду , т. е. , при этом функции могут быть алгебраическими, у которых над аргументом х выполняются лишь арифметические операции, и трансцендентными, которые содержат, кроме того, показательные, логарифмические, тригонометрические функции аргумента х. Такие уравнения далеко не всегда можно решить точно, а для практических расчетов точное решение не всегда является обязательным. Поэтому важное значение с развитием вычислительной техники приобрели способы приближенного вычисления корней и оценки их точности.

Данная процедура состоит из двух этапов: 1) отделение корней, т. е. выделение таких отрезков [ a, b ], в каждом из которых находится только один корень уравнения или нахождение первоначальных приближений корней; 2) уточнение корней, т. е. нахождение их на найденных отрезках с заданной степенью точности.

Простейшим способом отделения корней является графический. На графике функции определяются отрезки [ a, b ], в пределах которых лежат точки пересечения функции с осью 0 Х, являющимися приближенными значениями корней. Например, при решении уравнения сначала вычисляем значения функции , по заданным значениям аргумента х (таблица 1) и затем по полученным данным строим график (рисунок 4).

Таблица 1 – Результаты табулирования функции

Рисунок 4 – График функции

Как видно из графика, уравнение имеет 3 корня на отрезках [–2, –1], [–1, 0] и [1, 2].

Отделить корни можно также программным способом. Для составления алгоритма решения данной задачи рассмотрим поведение функции на интервале от х _нач до х _кон с шагом h (рисунок 5).

Рисунок 5 – График функции при наличии корней

Как видно из рисунка, корни уравнения находятся в точках А, В и С, где . Данные точки можно обнаружить, рассчитывая значения функции от х _нач до х _кон с шагом h и наблюдая за изменением ее знака. Так, в точке А значение функции изменяется с «-» на «+», а в точке В с «+» на «-» и т. д. Обнаружить изменение знака функции можно путем перемножения двух ее значений, вычисленных от аргументов х, находящихся в соседних точках на расстоянии h одно от другого. Для точки А, например, это будут значения функции D и F.

Отделение корней по программному методу реализует алгоритм, представленный на рисунке 6.

Рисунок 6 – Схема алгоритма отделения корней функции f(x) на отрезке [ х _нач, х _кон]

В блоке 2 вводятся начальное значение аргумента функции х _нач, конечное х _кон и шаг его изменения h.

В блоке 3 принимается текущее значение х за х _нач и количество корней m = 0, а в блоке 4 вычисляется первоначальное значение функции у ₁ при х = х _нач.

Блок 5 организует цикл по изменению х от х + h до х _кон с шагом h. В блоке 6 вычисляется очередное значение функции в точке (). Затем в блоке 7 проверяется, не пересекла ли функция ось ОХ. В случае отсутствия пересечения полученное значение у в блоке 10 запоминается как у ₁, а в блоке 5 значение х опять изменяется на величину шага h. Затем в блоке 6 снова вычисляется у и в блоке 7 проверяется функция на изменение знака. Так как в этом случае (точки D и F на рисунке 5), то в блоке 8 выводятся значения аргумента х - h и x, в пределах которых находится корень уравнения, а в блоке 9 фиксируется увеличение количества найденных корней на единицу.

Циклический процесс повторяется до принятого конечного значения аргумента х _кон. В результате будут найдены отрезки, на которых находятся корни нелинейного уравнения (около точек А, В, С на рисунке 5.).

Вопросы для самоконтроля

1. В чем сущность численных методов вычисления определенного интеграла?

2. От чего зависит точность вычисления интеграла?

3. В чем отличие метода трапеций от метода прямоугольников?

4. Чем объясняется более высокая точность при вычислении интеграла методом трапеций?

5. Из каких этапов состоит процесс решения нелинейных уравнений?

6. Чем характерна область, где находится корень уравнения?

7. Как в алгоритме и программе определяется область нахождения корня?

8. В чем сущность нахождения корня с необходимой точностью в заданной области?

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: