ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

1. Прочитав задачу, сделать краткую запись условия.

2. Сделать схематический чертёж, показать все силы, действующие на интересующие нас тела.

3. Выбрать систему координат. Координатные оси выбирают так, чтобы проекции сил на них выражались, возможно, более простым образом. Записать второй закон Ньютона для каждого тела в отдельности в векторной форме, затем в проекциях на оси координат.

4. Если движение тел взаимосвязаны, то найти уравнения для кинематических величин, отражающую эту связь. Полученная система уравнений решается относительно искомых величин.

5. В задачах, где учитывается сила трения, нужно находить силу реакции опоры, определяющую силы трения. Для этого составляется уравнение на основе того, что вдоль координатной оси, перпендикулярной скорости тела, ускорение равно нулю, и поэтому сумма проекций сил на эту ось равна нулю.

При решении задач с применением закона сохранения импульса необходимо сначала установить, является ли данная система тел замкнутой. Сделать схематический чертёж и обозначить на нём все известные скорости тел. Выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы проекции скоростей на координатные оси выражались по возможности проще.

Если система тел замкнутая, то составляются уравнения на основании того, что сумма проекций импульсов всех тел системы на любую ось сохраняется неизменной.

Если система не замкнута, но есть такое направление, что сумма проекций всех внешних сил на него равна нулю, то сумма проекции импульсов всех тел системы на это направление остаётся постоянной.

Если число неизвестных больше числа составленных уравнений, то нужно добавить к ним уравнения, связывающие кинематические величины, и решить полученную систему уравнений.

Задачи на применение закона сохранения энергии в механике решаются по следующему плану: сделать схематический чертёж; выбрать уровень отсчета потенциальной энергии; изобразить на чертеже силы, действующие на тела, скорости тел и высоты тел над уровнем отсчёта потенциальной энергии в начальном и конечном положениях.

Если система замкнута, то составляется равенство

где Т₁ и П₁ - соответственно кинетическая и потенциальная энергия системы в начальном состоянии, Т₂ и П₂ - кинетическая и потенциальная энергия системы в конечном состоянии.

Если при переходе системы тел из начального состояния в конечное на тела действовали внешние силы, то составляется равенство

Если количество неизвестных величин больше числа составленных уравнений, то к ним следует добавить уравнения, составленные на основе вто-

рого закона Ньютона, закона сохранения импульса или кинематические уравнения. Затем система уравнений решается относительно искомых величин.

Если в задаче задано уравнение гармонических колебаний, то величины, характеризующие колебания (амплитуда, частота, фаза, начальная фаза, период) могут быть найдены путём сопоставления данного уравнения с общим уравнением гармонических колебаний.

Следует обратить внимание на то, что уравнение гармонических колебаний может быть записано как в виде Х = Х₀ cos(w t +

), так и в виде Х = Х₀ sin(w t +

) в зависимости от выбора начальной фазы.

В задачах о математическом маятнике необходимо учитывать, что если точка подвеса маятника движется ускоренно, то период его колебания будет отличаться от периода колебаний такого же маятника с неподвижной точкой подвеса.

Если маятник приобретает ускорение

в некотором направлении вследствие изменения силы натяжения нити, то полное ускорение

, сообщаемое грузу маятника этой силой, равно

= -

Найдя модуль этого ускорения, можно найти период колебаний маятника с учетом движения точки подвеса.

Кинематика. Динамика. Работа и энергия. Механические колебания.

1. На участке дороги с ограничением скорости

км/ч водитель тормозит. Тормозной путь 12м, коэффициент трения 0,6. Были ли нарушены правила движения?

2. Тело массой 1кг брошено под углом к горизонту. За время полета его импульс изменился на 10 Н.с. Определить наибольшую высоту подъема тела.

3. Самолет летит на высоте 4 км со сверхзвуковой скоростью. Звук дошел до наблюдателя через 10 с после того, как над ним пролетел самолет. Определить скорость самолета. Скорость звука считать неизменной и равной 320 м/с.

4. Самолет при взлете, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за пятую секунду пробежал по взлетной полосе 18 м. Найти ускорение самолета.

5. Дальность полета снаряда равна максимальной высоте. Под каким углом к горизонту произведен выстрел?

6. Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью

, вторую половину пути – со скоростью

Определить среднюю скорость движения велосипедиста.

7. Тело брошено со скоростью

под углом

к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) высоту h подъема тела; 2) дальность полета (по горизонтали) s тела; 3) время его движения.

8. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением

. Определить: 1) через сколько времени после начала движения ускорение а тела будет равно 2м/с²; 2) среднее ускорение

тела за этот промежуток времени.

9. Кинематическое уравнение движения двух материальных точек имеют вид

где

. Определить момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

10. Зависимость пройденного телом пути s от времени t выражается уравнением

Записать выражения для скорости и ускорения. Определить для момента времени

после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

11. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r=3м задается уравнением

Определить для момента времени t=1 с после начала движения ускорения: 1) нормальное; 2) тангенциальное; 3) полное.

12. Зависимость модуля скорости частицы

от пройденного частицей пути s определяется функцией

(s)=

13. Первоначально покоившаяся частица прошла за время

с полторы окружности радиуса R=5,00м с постоянным тангенциальным ускорением. Вычислить соответствующие этому промежутку времени значения:

14. Велосипедист проезжает 200м равномерно, а затем до остановки едет равнозамедленно с ускорением 0,5м/с? При какой скорости равномерного движения на первом участке общее время движения будет минимально?

15. Скорость самолета в момент касания полосы 280км/ч. При пробеге самолет до полной остановки проделал путь 2,1км. Определить среднее значение ускорения самолета при пробеге.

16. Поезд метрополитена во время разгона в течение 12 с набирает скорость, равную 72 км/ч, и продолжает двигаться с этой скоростью 2 минуты после чего на участке торможения в течение 20 с скорость падает до нуля. Определить расстояние между станциями метрополитена и среднюю скорость поезда.

17. Тело бросили под углом

к горизонту со скоростью 10 м/с. С какой высоты надо бросить тело горизонтально с той же скоростью, что бы оно упало в том же месте?

18. Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?

19. С вышки брошен камень в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Через сколько секунд скорость камня увеличится в два раза? Какой угол с вертикалью будет составлять вектор скорости в этот момент?

20. Диск радиусом R=10см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением

(В=1 рад/с, С=1 рад/с², D=1 рад/с³). Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение

; 2) нормальное ускорение

; 3) полное ускорение

21. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии 1 м друг от друга, вращается с частотой 1800 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска. Отверстие во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на

. Определить скорость пули.

22. Колесо вращается равноускоренно вокруг неподвижной оси. Ускорение точки, лежащей на ободе колеса, через 1 с составляет угол

с направлением скорости этой точки. Найти угловое ускорение колеса.

23. Колесо радиусом 1 м вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению

.Найти нормальное и касательное ускорение точек, лежащих, на ободе колеса, через 1 с после начала движения.

24. Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол

с вектором ее линейной скорости.

25. Велосипедное колесо радиусом 30 см вращается с постоянным угловым ускорением

. Определить угловую скорость и полное ускорение для точек, лежащих на ободе колеса, через 10 с после начала движения. Найти полное число оборотов колеса.

26. Частота вращения маховика равномерно изменилась с 300 об/мин до 200 об/мин за 30 с. Сколько оборотов он сделал за это время?

27. Маленькое тело скатывается по полусферической поверхности радиусом 2 м, лежащей на земле. На какой высоте от земли тело оторвется от поверхности?

28. Линейная скорость точек на ободе вращающегося диска равна 3 м/с, а у точек, находящихся на 10 см ближе к оси вращения, 2 м/с. Сколько оборотов делает диск в минуту?

29. Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на который наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки при подъеме ведра с глубины 10 м за 20 с?

30. К концам нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массами 50 и 100 г. Найти показание динамометра, на котором висит блок. Массой блока и трением пренебречь.

31. Линейка массы m=0,1200 кг и длины l=1,000 м лежит на гладком столе. По точке, отстоящей от центра линейки на расстоянии а=40,0 см, наносится удар, при котором линейке сообщается импульс

. Считая удар «мгновенным» и пренебрегая трением:

а) найти расстояние х от центра линейки до точки О, которая не «почувствует» удара.

б) определить, как движется линейка непосредственно после удара.

32. Диск массы m и радиуса R первоначально вращается вокруг своей оси с угловой скоростью

. Под действием внешних сил диск останавливается. Чему равна работа А внешних сил?

33. Однородный цилиндр массы m и радиуса R вращается вокруг своей оси. Угловая скорость цилиндра изменяется за время t от значения

до значения

. Какую среднюю мощность

развивают силы, действующие на цилиндр?

34. Горизонтальная платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На платформе стоит человек. Масса человека 80 кг, масса платформы 100 кг, диаметр платформы 5 м. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет по ее краю со скоростью 2 м/с относительно платформы?

35. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках, вытянутых вдоль туловища, гантели по 5 кг. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если он поднимает гантели и будет руки держать горизонтально? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5

. В начальном положении гантели отстоят от вертикальной оси на 20см, в конечном положении (когда руки вытянуты)- на 90 см.

36. Диск массой 1,5 кг и радиусом 6 см вращается, делая 300 об/мин. С какой силой надо прижимать тормозную колодку по направлению к центру диска, чтобы он остановился за 5с? Коэффициент трения между колодкой и диском 0,4.

37. Груз массой 120 г висит на нити, намотанной на диск массой 0,8 кг и радиусом 5 см. Через какое время после отпускания груз пройдет расстояние 2 м?

38. В вершинах куба, сделанного из невесомых стержней длиной 20 см, находятся одинаковые небольшие грузы массой по 0,3 кг. Найти кинетическую энергию этой системы при ее вращении относительно главной диагонали куба с частотой 5 об/с.

39. На краю карусели, имеющей вид диска массой 200 кг и радиусом 2 м, вращающейся с частотой 1 об/с, стоят пять человек, каждый массой по 60 кг. Найти частоту вращения и угловую скорость карусель, если все они сместятся к ее центру на расстояние, равное половине радиуса. Считать, что по сравнению с размерами карусели люди представляют собой точечные массы.

40. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого

вращается с частотой n=240об/мин. Через t=1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

41. Пуля, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в шар, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити, и застревает в нем. Масса пули 5 г, масса шара 0,5 кг. При какой длине нити шар после столкновения опишет четверть окружности?

42. Ракета, массой которой вместе с топливом равна 500 г, взлетает вертикально и достигает максимальной высоты 200 м. Масса топлива 100 г. Найти скорость истечения газов из сопла ракеты, предполагая, что сгорание топлива происходит мгновенно.

43. Снаряд массой 50 кг, летевший со скоростью 800 м/с, попадает в неподвижную платформу с песком под углом

к вертикали и застревает в песке. Найти скорость платформы после попадания снаряда, если ее масса 16 т.

44. Человек стреляет из ружья с движущейся лодки по направлению ее движения. Какую скорость имела лодка, если она остановилась после двух быстро следующих друг за другом выстрелов? Масса лодки 130 кг, масса человека 70 кг, масса заряда 20 г. Скорость вылета пули и пороховых газов 500 м/с.

45. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, в верхней точке своей параболической траектории разорвался на два осколка равной массы. Один осколок под влиянием взрыва возвращается к исходной точке по прежней траектории. Во сколько раз расстояние до места падения второго осколка будет больше, чем расстояние до места, где упал бы не разорвавшийся в полете снаряд?

46. В неподвижный шар ударяет боком (не по линии центров) другой шар такой же массы. Под каким углом разлетятся шары, если они абсолютно гладкие?

47. С поверхности Земли вертикально в верх произведен пуск ракеты. На какую высоту поднимется ракета, если ее начальная скорость 5 м/с?

48. На орбиту, находящуюся на высоте 1000 км над поверхностью Земли, необходимо доставить полезный груз массой 5 т. Определить работу и запас топлива для осуществления данной операции. Среднее значение теплоты сгорания топлива 40МДж/кг.

49. Луна движется вокруг Земли со скоростью около 1 км/с. Среднее расстояние от Земли до Луны 3,8*

км. Определить массу Земли.

50. Во сколько раз кинетическая энергия искусственного спутника Земли, движущегося по круговой траектории, меньше его гравитационной потенциальной энергии?

51. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо. Ось колеса совпадает с осью скамьи. Частота вращения колеса 10 об/с. Момент инерции человека со скамьей 5 кг*

, момент инерции колеса 1 кг*

. Найти угловую скорость скамьи после поворота оси колеса вокруг горизонтальной оси на

52. Однородный стержень верхним концом закреплен на горизонтальной оси. В нижний конец стержня попадает пуля, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с. После абсолютно неупругого удара стержень отклонился на

. Определить массу стержня. Длина стержня 1 м, масса пули 9 г.

53. Шарик массой 100 г, подвешенный на нити длиной 40 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность, причем угол между нитью и горизонтом составляет

. Найти кинетическую энергию шарика.

54. Пуля массой 9г, летящая со скоростью 200 м/с, попадает в груз массой 4 кг, висящий на длиной нити. Найти отношение углов отклонения груза при абсолютно упругом ударе пули (отскоке) и абсолютно неупругом ударе пули (застревании).

55. С какой минимальной высоты можно скатить шарик радиусом 0,5 см, что бы он описал в вертикальной плоскости «мертвую петлю» радиусом 10 см?

56. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль прямой, проходящей через их центры. Масса и скорость первого шара равна 4,00 кг и 8,00 м/с, второго шара 6,00 кг и 2,00м/с. Как будут двигаться шары после абсолютно неупругого соударения?

57. Столб высоты h=3,00 м и массы m=50,0 кг падает из вертикального положения на Землю. Определить модуль момента импульса М столба относительно точки опоры и скорость

верхнего конца столба в момент удара о Землю.

58. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24Дж. Определить кинетическую энергию Т₁ поступательного и Т₂ вращательного движения диска.

59. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε=0,4 рад/с². Определить кинетическую энергию маховика через время t₂ =25с после начала движения, если через t₁=10с после начала движения момент импульса L₁ маховика составлял 60кг·м²/с.

60. Нейрон (масса m₀) ударяется о неподвижное ядро: а) атома углерода (m=12m₀); б) атома урана (m=235m₀). Считая удар центральным и упругим, найти, какую часть скорости υ потеряет нейтрон при ударе.

61. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на 10 см. Определить длину шага мальчика, если при ходьбе по доске со скоростью 3,6 км/ч она наиболее сильно раскачивается.

62. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой 7.07 м. В некоторый момент времени смещение точки 5м, скорость 20 м/с. Найти круговую частоту колебаний точки.

63. Два математических маятника с периодами колебаний 6 с и 5 с одновременно начинают колебания в одинаковых фазах. Через какое минимальное время фазы их колебаний снова будут одинаковыми?

64. Определить частоту колебаний диска радиусом 0,5 м около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

65. На пружину жесткостью 800 Н/м подвесили груз массой 200 г. Затем пружину с грузом растянули и отпустили без начальной скорости. Определить максимальную скорость и максимальное значение груза. Записать кинематическое уравнение движения груза.

66. Физический маятник в виде однородного стержня длиной 1 м и массой 1 кг подвешен за верхний конец и совершает затухающие колебания. Известно, что за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент колебаний и время, в течении которого амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза.

67. Точка совершает гармонические колебания. Найти отношение времени прохождения первой и второй половины амплитуды.

68. Через какое время (в долях периода) после начала движения кинетическая энергия пружинного маятника станет равной его потенциальной энергии?

69. Точка движется вдоль оси х, причем координата х изменяется по закону:

. Найти:

а) выражения для проекций на ось х скорости

и ускорения а точки,

б) путь

, пройденный точкой за промежуток времени от t=0 до t=T/8,

в) путь

, пройденный точкой за промежуток времени от t=T/8 до t=T/4,

г) путь s, пройденный точкой за промежуток времени от t=0 до t=T.

70. Роль физического маятника выполняет тонкий стержень, подвешенный за один из его концов.

а) При какой длине

стержня период колебаний этого маятника будет равен 1 с?

б) Чему равен период колебаний Т при длине стержня в 1 м?

71. Шарик массы m=50,0 г подвешен на пружине с коэффициентом жесткости k= 49,0 Н/м. Шарик поднимают до такого положения, при котором пружина не напряжена, и отпускают без толчка. Пренебрегая трением и массой пружины,

а) Найти период Т и амплитуду А возникших колебаний,

б) Направив ось х вниз и совместив точку х=0 с начальным положением шарика, написать уравнение движения шарика.

72. За 10 с амплитуда свободных колебаний уменьшается в 10 раза. За какое время

амплитуда уменьшится в 100 раз?

73. За время, за которое система совершает N=100 колебаний, амплитуда уменьшается в 5,00 раз. Найти добротность системы Q.

74. Добротность некоторой колебательной системы Q=2,00, частота свободных колебаний

=100

. Определить собственную частоту колебаний системы

75. Под действием вынуждающей силы

система совершает установившиеся колебания, описываемые функцией х=

cos (

б) Показать, что работа силы трения за период

76. Точка совершает гармонические колебания с периодом Т=6 с и начальной фазой, равной нулю. Определить, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

77. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением

. Записать зависимость смещения этой точки от времени.

78. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению

в какой то момент времени смещение точки

см. при возрастании фазы колебаний в два раза смещение

оказалось равным 24 см. Определить амплитуду А колебаний.

79. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой

Гц, в момент времени t=0 проходит положение, определяемое координатой

, со скоростью

. Определить амплитуду колебаний.

80. Материальная точка массой m=50г совершает гармонические колебания согласно уравнению

м. Определить: 1) возвращающую силу F для момента времени t=0,5с; 2) полную энергию Е точки.

81. Какую продольную скорость

нужно сообщить стержню для того, чтобы его длина стала равной половине длины, которую он имеет в состояние покоя?

82. а) Чему равно относительное приращение длины стержня

, если ему сообщить скорость

=0,1С в направлении, образующим с осью покоившегося стержня угол

83. Неподвижное тело произвольной формы имеет обьем

. Чему равен объем V того же тела, если оно движется со скоростью

=0,866С?

84. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего форму куба, равна

. Чему равна поверхность S того же тела, если оно движется в направлении одного из своих ребер со скоростью

=0,968с?

85. Собственное время жизни некоторой частицы оказалось равным

с. Чему равен интервал

между рождением и распадом этой частицы?

86. С какой скоростью

должна лететь частица относительно системы отсчета К для того, чтобы промежуток собственного времени

был в 10 раз меньше промежутка

, отсчитанного по часам системы К?

87. Найти скорость

релятивистской частицы массы m=0,911*

кг (масса электрона), импульс которой

кг*м/с.

88. Энергия покоя частицы равна

. Чему равна полная энергия частицы в системе отсчета, в которой импульс частицы равен р?

89. При какой скорости частицы

ее кинетическая энергия равна энергии покоя?

90. Найти импульс р релятивистской частицы массы m, кинетическая энергия которой равна Т.

91. При скорости частицы

импульс частицы равен

а) Во сколько раз

нужно увеличить скорость частицы для того, чтобы ее импульс удвоился?

в) Получить приближенное выражение

для значений

, близких к С.

92. Над частицей массы

кг, двигавшейся первоначально со скоростью

=0,1с. была совершена работа

Дж. Как изменились в результате этого скорость, импульс и кинетическая энергия частицы? (

93. При какой относительной скорости

движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25%?

94. Какую скорость

должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза?

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: