|
|
КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМСтр 1 из 2Следующая ⇒ Лекция 9
КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ Волны де Бройля
При возрастании частоты света его волновые свойства обнаружить все труднее. Де Бройль предположил, что двойственная природа света характерна не только для света (поток фотонов), но и для всех элементарных частиц: электронов, протонов, нейтронов и др. Если импульс фотона рф = h/l, (3.1) имеет универсальный характер для любых волновых процессов, происходящих с частицами, то можно найти длину волны частиц (волну де Бройля) l = h/p = h/mv, (3.2) где m - масса частицы; v - ее скорость (v < c). Если частица имеет кинетическую энергию Wk = mv2/2 = p2/(2m), (3.3) то ее импульс Поэтому формула (8.2) принимает вид l = h / Например, для электрона (заряд |qe|) ускоренного в электрическом поле с разностью потенциалов Dj, согласно закону сохранения энергии, имеем mv2/2 =½qe½Dj. (3.6) С учетом этого длину волны электрона [формула (8.5)] можно найти по выражению l = h / Формула де Бройля была подтверждена в опытах Дэвиссона и Джермера, которые наблюдали дифракцию электронов при их рассеянии на монокристаллическом никеле (фольга) 2dsinq = nl, (3.8)
где d - период кристаллической решетки никеля; q - угол рассеяния электронов; n = 1, 2, 3,... - порядок дифракционного максимума; l - длина волны электрона. При Dj = 54 В [по формуле (3.7)] электрон имеет длину волны l = 1,67×10-10 м. При n = 1 [по формуле (3.8)] имеем l = 1,65×10-10 м, что подтверждает справедливость теории. При облучении пучком электронов тонких поликристаллических пленок (h = 10-7 м) на экране наблюдалась дифракционная картина в виде чередующихся концентрических колец максимумов и минимумов (рис. 3.1). Позднее наблюдали дифракцию нейтронов, протонов и др. элементарных частиц, что убедительно доказывает справедливость формулы де Бройля. Природа волн де Бройля При движении свободного электрона с длиной волны l он характеризуется энергией e = W = hn. (3.9) В векторной форме формулу де Бройля запишем в виде
где При наличии у среды дисперсии необходимо учитывать фазовую vф и групповую u скорости, связь между которыми определяется формулой
где Используя формулы W = hn, k = имеем для фазовой скорости частицы
где W - полная энергия частицы; v - скорость движения частицы; w = 2pn - циклическая частота. Следовательно, любые волны де Бройля испытывают дисперсию, т. к. vф ~l. Групповую скорость волн де Бройля найдем по формуле
Для свободной частицы формула
связывает полную энергию W частицы с ее импульсом p и массой m частицы. Следовательно, групповая скорость волн де Бройля
т. е. u = vф, (3.15) Установлено, что распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве электромагнитных волн, каких-либо других, известных ранее. Волны де Бройля (волны материи), связанные с движением частиц вещества, имеют квантовую природу, не знающую аналогов в классической физике. Ответ на вопрос о природе волн, вызванных движением частиц материи, можно найти из физического смысла амплитуды этих волн. Для этого рассматривают интенсивность J, которая пропорциональна квадрату модуля амплитуды, т. е. J ~ |A2|. (3.16) С волновой точки зрение наличие максимума частиц в некоторых направлениях (например, дифракция электронов), обусловлено наибольшей интенсивностью волн де Бройля. Следовательно, как показал Борн, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц (электронов) n, попавших в эту точку за единицу времени, т. е. J ~ |A2| ~ n. (3.17) Это положение послужило основанием для статистического, вероятностного истолкования существования волн де Бройля, а именно: квадрат модуля амплитуды (интенсивность) волн де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в данной точке. Энергии основного состояния атома водорода После вычисления получим r1» 5×10 -11 м. Для энергии основного состояния атома водорода получим W1 = – m qe4 / (8p2e02h2).
W1 = – 13,6 эВ или W1 = – 2,176 ×10 -18 Дж.
Пример 2. Энергия нулевых колебаний одномерного Гармонического осциллятора.
В качестве одномерного гармонического осциллятора рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник), который характеризуется потенциальной энергией Wр = k x2 / 2, представляющий собой, параболическую потенциальную яму. Для оценки минимально возможной полной энергии осциллятора применим соотношения неопределенностей Гейзенберга. Полная механическая энергия данного осциллятора W = Wк + Wр, где Wк = pх2 / (2m) – кинетическая энергия осциллятора; Wр = k x2 / 2. Следовательно, W = pх2 / (2m) + k x2 / 2. Согласно классической механике минимум полной энергии W = 0 соответствует х = 0 и рх = 0, т. е. пружинный маятник неподвижен. При рассмотрении квантового случая должны учесть, что одновременно точные значения координаты (х) и проекции импульса на ось х (рх) указать невозможно. Согласно, принципа неопределенностей Гейзенберга, имеем Dх × Dрх ³ h /(4p). Если положим, что Dх» х; Dрх » рх или по порядку величины х × рх» h / (2p), т. е. рх ~ h /(2px). При переходе к равенству рх = h /(2px) для полной энергии осциллятора будем иметь W = h2 /(8p2mx2) + k x2 / 2. Перейдем к условию минимума энергии:
dW /dx = – h2 /(4p2mx3) + k x = 0.
Корень этого уравнения запишем в виде
Тогда минимальное значение полной энергии рассматриваемого квантового осциллятора W0 = hw /(2p).
или W0 = hn, где
– собственная круговая частота осциллятора; w = 2pn. Данная оценка отличается от точного значения только численным множителем 1/2. Полная энергия квантового осциллятора называется энергией нулевых колебаний гармонического осциллятора.
Лекция 9
КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ Волны де Бройля
При возрастании частоты света его волновые свойства обнаружить все труднее. Де Бройль предположил, что двойственная природа света характерна не только для света (поток фотонов), но и для всех элементарных частиц: электронов, протонов, нейтронов и др. Если импульс фотона рф = h/l, (3.1) имеет универсальный характер для любых волновых процессов, происходящих с частицами, то можно найти длину волны частиц (волну де Бройля) l = h/p = h/mv, (3.2) где m - масса частицы; v - ее скорость (v < c). Если частица имеет кинетическую энергию Wk = mv2/2 = p2/(2m), (3.3) то ее импульс Поэтому формула (8.2) принимает вид l = h / Например, для электрона (заряд |qe|) ускоренного в электрическом поле с разностью потенциалов Dj, согласно закону сохранения энергии, имеем mv2/2 =½qe½Dj. (3.6) С учетом этого длину волны электрона [формула (8.5)] можно найти по выражению l = h / Формула де Бройля была подтверждена в опытах Дэвиссона и Джермера, которые наблюдали дифракцию электронов при их рассеянии на монокристаллическом никеле (фольга) 2dsinq = nl, (3.8)
где d - период кристаллической решетки никеля; q - угол рассеяния электронов; n = 1, 2, 3,... - порядок дифракционного максимума; l - длина волны электрона. При Dj = 54 В [по формуле (3.7)] электрон имеет длину волны l = 1,67×10-10 м. При n = 1 [по формуле (3.8)] имеем l = 1,65×10-10 м, что подтверждает справедливость теории. При облучении пучком электронов тонких поликристаллических пленок (h = 10-7 м) на экране наблюдалась дифракционная картина в виде чередующихся концентрических колец максимумов и минимумов (рис. 3.1). Позднее наблюдали дифракцию нейтронов, протонов и др. элементарных частиц, что убедительно доказывает справедливость формулы де Бройля. Природа волн де Бройля При движении свободного электрона с длиной волны l он характеризуется энергией e = W = hn. (3.9) В векторной форме формулу де Бройля запишем в виде
где При наличии у среды дисперсии необходимо учитывать фазовую vф и групповую u скорости, связь между которыми определяется формулой
где Используя формулы W = hn, k = имеем для фазовой скорости частицы
где W - полная энергия частицы; v - скорость движения частицы; w = 2pn - циклическая частота. Следовательно, любые волны де Бройля испытывают дисперсию, т. к. vф ~l. Групповую скорость волн де Бройля найдем по формуле
Для свободной частицы формула
связывает полную энергию W частицы с ее импульсом p и массой m частицы. Следовательно, групповая скорость волн де Бройля
т. е. u = vф, (3.15) Установлено, что распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве электромагнитных волн, каких-либо других, известных ранее. Волны де Бройля (волны материи), связанные с движением частиц вещества, имеют квантовую природу, не знающую аналогов в классической физике. Ответ на вопрос о природе волн, вызванных движением частиц материи, можно найти из физического смысла амплитуды этих волн. Для этого рассматривают интенсивность J, которая пропорциональна квадрату модуля амплитуды, т. е. J ~ |A2|. (3.16) С волновой точки зрение наличие максимума частиц в некоторых направлениях (например, дифракция электронов), обусловлено наибольшей интенсивностью волн де Бройля. Следовательно, как показал Борн, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц (электронов) n, попавших в эту точку за единицу времени, т. е. J ~ |A2| ~ n. (3.17) Это положение послужило основанием для статистического, вероятностного истолкования существования волн де Бройля, а именно: квадрат модуля амплитуды (интенсивность) волн де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в данной точке.   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. (3.4)
. (3.5)
. (3.7)
Рис. 3.1
, (3.10)
- вектор импульса электрона; 
- волновой вектор (модуль k = 
).
, (3.11)
.
, 
,
(3.12)
, т. е.
. (3.13)
(3.14)
,
.