|
|
Одноканальные системы массового обслуживания.Найдем сначала среднюю длину очереди и вероятность появления очереди заданной длины на единственной станции обслуживания. Предположим, что скорость поступления и обслуживания случайны и не зависят от неограниченной длины очереди. Модель 1. Обозначим Рn – вероятность образования очереди из n заказов (включая и находящийся в обслуживании) в произвольный момент времени, l – средняя скорость появления заказов, m – средняя скорость обслуживания одного заказа. Вероятность Рn имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время наличия очереди длиной n при функционировании системы в стационарном режиме. Например, если Р0 = 1/2, то это означает, что в среднем половину рабочего времени очереди нет (оборудование простаивает). Справедливы следующие формулы: Рn = hn(1 – h). (2.6.1)
Для
Для
Пример 2.6.2. Пусть заказы на обслуживание поступают со средней интенсивностью l = 5 заявок в час. Продолжительность выполнения одной заявки в среднем равна 10 мин., т.е. m =60/10=6 з/ч. Поскольку h=l/m= 5/6< 1, система может функционировать в стационарном режиме. Найдем среднее время ожидания обслуживания Р0 + Р1 + Р2 + …+ Рw ≥ 0.8, где w – подлежащее определению число мест. Используя (2.6.1) (1 – h) + h(1 – h) +…+ hw(1 – h) ≥ 0.8. учитывая, что (1 – h) + h(1 – h) +…+ hw(1 – h) =(1 – h)(1 + h +…+ hw) = 1 –hw+1, получаем hw+1 ≤ 0.2 и окончательно w ≥ ln(0.2)/ln(5/6) – 1 = 7.8 ≈ 8. Таким образом, для одновременного размещения, по крайней мере, 80% прибывающих клиентов минимальное число сидячих мест должно быть в два раза больше среднего числа ожидающих обслуживания клиентов. Важной характеристикой является также доля времени, в течение которого станция обслуживания простаивает. Вероятность такого события Р0 =1 – h ≈ 0.17. Вероятности того, что на станции обслуживается ровно один клиент (или два – один обслуживается, второй ждет) равны соответственно: Р1 =h(1 – h) ≈ 0.139, Р2 =h 2(1 – h) ≈ 0.116. Модель 2. Рассмотрим случай ограниченной очереди, когда при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не принимается либо сам клиент отказывается присоединиться к очереди из-за отсутствия места в блоке ожидания. Формулы для параметров такой системы массового обслуживания: Рn = hn(1 – h)/(1 – hN+1), n ≤ N (2.6.5) Рn = 0, n > N. Следует отметить, что в этой модели параметр h= l/m не обязательно должен быть меньше единицы, поскольку число допускаемых в систему требований ограничено, и для h = 1 Рn=1/(N +1). Выражение для среднего числа находящихся в системе заявок принимает следующий вид
N/2, для h=1. Поскольку вероятность того, что заказ не имеет возможности попасть в очередь, равняется РN, доля заказов, поступающих в систему, равняется 1– РN (относительная пропускная способность системы). Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) определяется величиной А=l(1– РN). Отсюда характеристики системы имеют вид: Для
для
Пример 2.6.3. Пусть в условиях примера 2.6.2 станция располагает пятью местами для ожидающих клиентов. В данном примере N =5+1=6, h=5/6, а РN =(5/6)6(1 – 5/6)/(1 – (5/6) 7) = 0.0774, N = 6. Отсюда следует, что частота случаев, когда клиент не попадает на станцию равняется lРN =5×0.0774=0.387 заявки в час, т.е. при 8-часовом режиме работы станция теряет за день 8·0,387=3 клиента. Относительная пропускная способность системы будет 1–0.0774=0.9226, абсолютная пропускная способность А=5×0.9226=4.613. Применяя (2.6.6) – (2.6.8), получаем
Таким образом, при введении ограничения на количество мест для ожидания (N=6), среднее время ожидания обслуживания сократилось на полчаса. Это было достигнуто за счет «потери» в среднем 3 клиентов в день из-за недостаточности мест для ожидания. Вычислим вероятность того, что в системе обслуживаются 0, 1 или 2 клиента: Р0 =(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.231, Р1 =(5/6)(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.193, Р2 =(5/6)2(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.160.   Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Величина h = l/m называется интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки станции. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Найдем n – среднее число заявок, находящихся в системе
n = l/(m – l). (2.6.2)
– среднее время ожидания обслуживания, справедливо
– средняя длина очереди
n = h(1 – (N+1)hN + NhN+1)/(1 – h)/(1 – hN+1), для h ≠1, (2.6.6)
n = (5/6)(1 – 7(5/6)6 + 6(5/6)7)/(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7)= 2.29,