I. Краткие теоретические сведения по изучению

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В трех частях

Часть 3

ДИНАМИКА

Учебно-методическое пособие

для студентов всех специальностей

очной и заочной формы обучения

С.Н.Разин, П.Н.Рудовский, Н.И.Коваленко

Кострома

КГСХА

УДК 531.1+378.147-322.1

ББК 22.23+74.58

Т33

Составители: сотрудники кафедры деталей машин ФГОУ ВПО

Костромская ГСХА д.т.н., профессор С.Н.Разин,

д.т.н., профессор П.Н. Рудовский,

к.т.н., доцент Н.И.Коваленко.

Рецензент: д.т.н., профессор кафедры теоретической механики и

сопротивления материалов КГТУ А.П.Соркин.

Рекомендовано к изданию методическими комиссиями факультета механизации сельского хозяйства протокол № от,

архитектурно-строительного факультета

протокол №

ФГОУ ВПО Костромская ГСХА

Т 33 Теоретическая механика. Динамика: учебное пособие (часть 3) для студентов направлений 110300 «Агроинженерия» и 270100 «Строительство»очной и заочной форм обучения/ сост. С.Н. Разин, П.Н. Рудовский, Н.И.Коваленко. – Кострома: КГСХА,2009. - с.62.

В издании изложен материал в виде кратких ответов на вопросы по динамике, выносимые на экзамен, и примеры решения типовых задач; приведены 4 задачи по основным разделам динамики.

Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов направлений 110300 «Агроинженерия» и 270100 «Строительство» очной и заочной форм обучения.

УДК 531.1+378.147-322.1

ББК 22.23+74.58

© ФГОУ ВПО Костромская ГСХА, 2009

©Составление, С.Н.Разин, П.Н. Рудовский,

Н.И.Коваленко

© Оформление, РИО КГСХА

Введение ……………………………………………………………………….….5

I. Краткие теоретические сведения по изучению

раздела «ДИНАМИКА» ………………………………………………………6

1.Закон инерции………………………………………………………………..6

2.Основной закон динамики…………………………………………………..6

3.Закон равенства действия и противодействия……………………………..6

4.Закон независимости действия сил…………………………………………7

5.Основное уравнение динамики в декартовых и естественных осях….......7

6.Решение первой задачи динамики…………………………………………..7

7.Решение второй задачи динамики…………………………………………..8

8.Дифференциальное уравнение относительного движения точки………...8

9.Свободные колебания………………………………………………………..9

10.Влияние постоянной силы на свободные колебания……………………..10

11.Замена системы упругих элементов одним – эквивалентным…………...11

12.Затухающие колебания……………………………………………………..12

13.Случай апериодического движения (n>k)…………………………………14

14. Случай апериодического движения (n=k)………………………………...15

15.Вынужденные колебания точки……………………………………………15

16.Резонанс……………………………………………………………………...16

17.Теорема об изменении количества движения точки……………………...17

18.Теорема об изменении момента количества движения точки…………...18

19.Элементарная работа силы. Работа силы на конечном перемещении.

Мощность……………………………………………………………………20

20.Работа силы тяжести………………………………………………………..21

21.Работа силы упругости……………………………………………………..22

22.Теорема об изменении кинетической энергии точки…………………….22

23.Внешние и внутренние силы………………………………………………23

24.Масса системы, центр масс, момент инерции системы точек

относительно оси……………………………………………………………24

25.Момент инерции однородного стержня…………………………………...25

26.Момент инерции однородного стержня…………………………………...25

27.Теорема Гюйгенса ……….............................................................................26

28.Теорема о движении центра масс………………………………………….27

29.Теорема об изменении количества движения системы…………………..28

30.Связь между количеством движения системы, массой системы

и скоростью ее центра масс…………………………………………….…..29

31.Применение теоремы об изменении количества движения системы

к сплошным средам……………………………………………………...…29

32.Теорема об изменении момента количества движения системы………..30

33.Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси ………………………………………………………...31

34.Теорема об изменении кинетической энергии системы………………….32

35.Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях движения….32

36.Дифференциальные уравнения поступательного и вращательного

движения твердого тела…………………………………………………...33

37.Дифференциальные уравнения плоского движения……………………...34

38.Принцип Даламбера для точки и системы………………………………...35

39.Главный вектор и главный момент сил инерции…………………………36

40.Приведение сил инерции для различных видов движения………………36

41.Принцип возможных перемещений………………………………………..37

42.Общее уравнение динамики………………………………………………..38

43.Уравнение Лагранжа II рода………………………………………………38

II.Методические указания по выполнению контрольной работы ………………………………………………………………………………40

Задача Д1……………………………………………………………………40

Задача Д4……………………………………………………………………44

Задача Д9……………………………………………………………………50

Задача Д10…………………………………………………………………..57

Список рекомендуемых источников ……………………………………...61

Введение

Возникновение и развитие механики как науки неразрывно связано с историей производительных сил общества, с уровнем производства и техники на каждом этапе.

Становление динамики начинается только в XV­ - XVI столетиях. Главные заслуги в создании основ динамики принадлежат гениальным исследователям Галилео Галилею (1564-1642) и Исааку Ньютону (1643-1727). В сочинении Ньютона «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году, и были изложены в систематическом виде основные законы классической механики (законы Ньютона).

В XVIII веке начинается интенсивное формирование в механике аналитических методов, т.е. методов, основанных на применении дифференциального и интегрального исчислений. Методы решения задач динамики точки и твердого тела путем составления и интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений были разработаны великим математиком и механиком Л. Эйлером (1707-1783). Из других исследований в этой области наибольшее значение для развития механики имели труды выдающихся французских ученых Ж. Даламбера (1717-1783) и Ж. Лагранжа (1736-1813).

В России на развитие исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя М.В. Ломоносова (1711-165), М.В. Остроградского (1801-1861), П.Л. Чебышева (1821-1894), С.В. Ковалевской (1850-1891), А.М. Ляпунова (1857-1918), И.В. Мещерского (1859-1935), А.Н. Крылова (1863-1945), Н.Е. Жуковского (1847-1921).

В наши дни перед отечественной наукой и техникой стоят важнейшие задачи по ускорению научно-технического прогресса. Для решения этой задачи имеет важное значение повышение качества подготовки инженерных кадров, расширение теоретической базы их знаний, в том числе в области одной из фундаментальных общенаучных дисциплин – теоретической механики.

I. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА «ДИНАМИКА»

Закон инерции

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока оно не будет выведено из этого состояния другими телами. Система отсчёта, в которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. В большинстве задач в качестве инерциальной можно принять систему отсчёта, связанную с Землёй.

Основной закон динамики

Ускорение, получаемое точкой под действием силы пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе точки.Направление ускорения совпадает с направлением силы.

или

Из формулы видно, что под действием одной и той же силы точка с большей массой получает меньшее ускорение. Свойство тела сохранять состояние своего движения называется инертностью. следовательно, тело с большей массой обладает большей инертностью.

И естественных осях

Свободные колебания

Свободными называются колебания точки, происходящие под действием только восстанавливающей силы. Сила называется восстанавливающей, если она все время стремится вернуть точку в положение равновесия. Примером восстанавливающей силы является сила упругости пружины. Если восстанавливающая сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия, то она называется линейной восстанавливающей силой.

Пусть на точку М массой m действует линейная восстанавливающая сила упругости (рис. 2): F_упр = сΔ, где с – жесткость пружины (физический смысл жесткости - это сила, необходимая для деформации пружины на единицу длины), в Н/м; Δ – деформация пружины, м.

На рис. 2 l₀ – длина недеформированной пружины. Выбрав начало координат в положении равновесия – т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: , или .

Отсюда получим (4)

Выражение (4) – это и есть уравнение свободных колебаний точки. Здесь называется круговой частотой колебаний (физический смысл: число колебаний за 2π секунд), с^-1. Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет вид:

. (5)

Взяв производную по времени, имеем

. (6)

Постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ найдем из начальных условий:

при . (7)

Подставив (7) в (5) и (6), находим .

С учетом этого решение (5) принимает вид:

. (8)

Решение (8) можно записать в виде:

, (9)

где - амплитуда колебаний, м; - начальная фаза колебаний, рад.

Из (9) видно, что свободные колебания являются гармоническими. Период колебаний можно найти по формуле:

. (10)

Затухающие колебания

в реальных условиях материальная точка, совершающая колебания, испытывает сопротивление движению, поэтому кроме восстанавливающей силы на нее действует сила сопротивления среды, направленная в сторону противоположную движению материальной точки (рис. 6).

Сопротивление воздуха при малых скоростях движения пропорционально первой степени скорости: . Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: или . Отсюда получим

(16)

– это уравнение описывает движение точки под действием восстанавливающей силы с учетом сопротивления среды. Здесь обозначено , . Найдем корни характеристического уравнения , соответствующего уравнению (16):

. (17)

Если (случай малого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, и решение уравнения (16) имеет вид:

. (18)

В решении (18) обозначено: .

Взяв производную по времени от (18), и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С ₁ и С ₂.

Решение (18) можно записать в виде: . (19)

График функции (19) показан на рис. 7.

Из графика видно, что движение точки в этом случае носит колебательный характер. При этом максимальные отклонения точки от положения равновесия с течением времени убывают по экспоненте. Такие колебания называются затухающими. Функция (19) не является периодической, тем не менее, периодом колебаний в этом случае называют промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну сторону. Его можно найти по формуле

, (20)

где T – период соответствующих свободных колебаний. Из формулы (20) видно, что . Скорость убывания амплитуды колебаний характеризует коэффициент, называемый декрементом колебаний: . Этот коэффициент показывает, во сколько раз уменьшается максимальное отклонение точки от положения равновесия за один период.

13. Случай апериодического движения (n > k)

Если (случай большого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения (17) являются действительными и отрицательными. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

. (21)

Взяв производную по времени от (21) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С ₁ и С ₂.

Сценарии развития событий в этом случае показаны на рис. 8.

Из графиков видно, что движение точки в этом случае носит не колебательный характер и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия: _.

При этом кривая – 1 соответствует случаю, когда ; кривая 2 соответствует случаю, когда ; кривая 3 соответствует случаю, когда . Во всех трех примерах принято, что x ₀ > 0.

14. Случай апериодического движения (n = k)

Если (это также случай большого сопротивления среды), то корень характеристического уравнения (17) , то есть является кратным, действительным и отрицательным. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

. (22)

Взяв производную по времени от (22) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С ₁ и С ₂. В этом случае, найдя предел по правилу Лопиталя, получим

.

Следовательно, и в этом случае движение точки носит неколебательный характер, и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия. Сценарии развития событий в этом случае такие же, как и на рис. 8.

Вынужденные колебания точки

Рассмотрим движение точки (рис. 9) под действием восстанавливающей и некоторой периодической силы: F = F ₀∙ sin(ωt), сопротивление среды не учитываем.

Колебания точки под действием этих сил называются вынужденными. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид:

Разделив на массу и обозначив , получим уравнение вынужденных колебаний точки без учета сопротивления среды:

(23)

Уравнение (23) является неоднородным. Его общее решение x = x ₁ + x ₂, где: - общее решение соответствующего однородного уравнения; x ₂ – частное решение уравнения (23). Частное решение ищем в виде Подставив это решение в уравнение (23), найдем А амплитуду вынужденных колебаний:

.

Общее решение уравнения (23):

. (24)

Постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ можно найти из начальных условий:

при . Коэффициент - называется коэффициентом динамичности (рис. 10) и показывает, во сколько раз амплитуда

вынужденных колебаний больше статического смещения точки под действием силы F ₀.

Резонанс

Резонансом называется явление, возникающее в случае, когда частота свободных колебаний – k, совпадает с частотой возмущающей силы – ω. В этом случае коэффициент динамичности – η = , и функция (24) уже не является решением уравнения (23), так как амплитуда вынужденных колебаний равна бесконечности. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид (p = k = ω):

(25)

Наибольший интерес представляет частное решение уравнения (25), соответствующее вынужденным колебаниям, поскольку свободные колебания быстро затухают, даже при наличии малого сопротивления среды. Частное решение уравнения (25) ищем в виде . Взяв от x ₂ вторую производную по времени, найдем . подставив и в (25), получим:

.

Два последних слагаемых в левой части равенства взаимно уничтожаются. Тогда, приравняв коэффициенты при , находим . В результате частное решение уравнения (25), описывающее вынужденные колебания при резонансе, примет вид . График этой функции показан на рис. 11.

Из рисунка видно, что амплитуда колебаний точки при резонансе нарастает с течением времени. Поэтому если рабочая частота выше собственной частоты колебаний, то стараются достичь ее как можно быстрее, чтобы при переходе через резонансную частоту не успели развиться слишком большие колебания.

Работа силы тяжести

Пусть точка переместилась из положения М₀ в положение М₁, как показано на рис.17. Силу тяжести на этом перемещении считаем постоянной.

Это можно сделать, если перемещение происходит вблизи поверхности земли. Для определения работы силы тяжести воспользуемся формулой (28).

Из рис. 17 видно, что: F_x = F_y = 0, а F_z = - G, тогда

Окончательно

Работа силы тяжести тела равна произведению силы тяжести на высоту. при этом работа положительна, если тело опускается вниз, и отрицательна, если тело поднимается. Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается точка, а зависит лишь от её начального и конечного положения. Работа силы тяжести на замкнутом перемещении равна нулю.

Работа силы упругости

Определим работу силы упругости на перемещении груза М из положения М₀ в положение М₁ (рис. 18). Силу упругости считаем пропорциональной деформации упругого элемента с жесткостью с, (Н/м). В этом случае силу упругости можно найти по формуле: F_упр= сx, где x – деформация упругого элемента в рассматриваемом положении, которая равна координате х груза М.

Для определения работы силы тяжести воспользуемся формулой (28).

.

Из рис.18 видно, что: F_x = -F_yпр = -сх, а F_у = F_z = 0, тогда

Внешние и внутренние силы

Внутренними называются силы, действующие между точками, входящими в рассматриваемую систему. Они обозначаются .

Внешними называются силы, действующие между точками системы и телами не входящими в нее. Они обозначаются . Например, для системы, состоящей из стола и тела, лежащего на нем, внутренними являются сила давления тела на стол и сила реакции стола на тело. Внешними для данной системы тел являются силы тяжести тела и стола, а также сила реакции пола на стол.

Согласно закону равенства действия и противодействия сумма внутренних сил, а также сумма моментов внутренних сил системы относительно произвольного центра равны нулю:

(32)

Следует иметь в виду, что несмотря на свойства внутренних сил (32), система точек под их действием может и не находиться в равновесии, т.к. эти силы приложены к различным точкам системы.

Точек относительно оси

Массой системы точек называется скалярная величина, равная сумме масс всех точек системы: .

Координаты центра масс системы (обозначается т. С) находятся по формулам, аналогичным формулам для определения координат центра тяжести:

, (33)

где m_k и – соответственно масса и радиус вектор точки с номером k; а – масса системы и радиус - вектор центра масс. Формула (33) векторная, координаты центра масс определяются по аналогичным формулам:

(33′)

Моментом инерции системы относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс точек на квадрат расстояния от точек до оси (рис. 20):

. (34)

Теорема Гюйгенса

Для системы точек, показанной на рис. 23, момент инерции относительно оси Оz можно найти по формуле (34).

Выберем ось Ox так, что бы она проходила через центр масс системы (т. С). Пусть расстояние между осями z и z ОС = d. Свяжем с т. С новую систему координат Сx₁y₁z₁. Очевидно, что координаты точек в системах Oxyz и Сx₁y₁z₁ связаны между собой соотношениями

x_k = x_1k+d, y_k = y_1k, z_k = z_1k,.

Тогда .

Но ; (см. (33′)), . С учетом этого

. (36)

Формула (36) связывает моменты инерции относительно параллельных осей и выражает теорему Гюйгенса: момент инерции системы точек относительно произвольной оси, параллельной центральной, складывается из центрального момента инерции и произведения массы системы на квадрат расстояния между осями.

И скоростью ее центра масс

взяв производную по времени от равенства (33) получим, учитывая, что : .

Но по определению , тогда

. (41)

К сплошным средам

Рассмотрим стационарный поток жидкости, т.е. такой, у которого в каждой точке скорость, давление и плотность остаются неизменными с течением времени. В случае ламинарного течения (жидкость перемещается слоями, без перемешивания) траектории частиц жидкости являются линиями тока.

Выделим в потоке жидкости (рис. 24) объем, ограниченный линиями тока и двумя сечениями 1 и 2.

Пусть за малое время dt этот объем переместился из положения 1-2 в положение 3-4. Тогда изменение его количества движения: . Но .

С учетом этого

. (42)

Обозначим секундный массовый расход жидкости М_С (масса жидкости, протекающая через сечение трубки тока за одну секунду), кг/м. Учитывая, что при ламинарном потоке ни одна частица жидкости не выходит за границы трубки тока, то по закону сохранения вещества расход жидкости в любом сечении трубки тока одинаков: , где

γ – объемная плотность жидкости, кг/м³; S и V – соответственно площадь произвольного сечения трубки тока и скорость жидкости в этом сечении.

тогда: и формула (42) принимает вид: . Подставив это выражение в теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме (39), получим

. (43)

Произведение - называют секундным количеством движения. Тогда разность секундных количеств движения жидкости в двух сечениях трубки тока равна сумме объемных и поверхностных сил, действующих на ее частицы, заключенные между этими сечениями.

Неподвижной оси

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z (рис. 25), можно рассматривать как систему точек. Момент количества движения этой системы относительно оси z называют кинетическим моментом твердого тела относительно оси вращения:

.

Учитывая, что при вращательном движении:

, а , получим

. По формуле (34) получим

(45)

– кинетический момент твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на его угловую скорость.

Вращательное движение

В этом случае . Тогда

– кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Плоское движение

Плоское движение в данный момент можно рассматривать, как вращательное вокруг мгновенного центра скоростей (т. Р, рис. 26).

Тогда . Но по теореме Гюйгенса (36)

.

Тогда . Но .

Окончательно получаем

.

Из этой формулы видно, что кинетическая энергия при плоском движении состоит из двух слагаемых, первое из которых соответствует поступательному движению тела вместе с центром масс, а второе – вращательному движению вокруг оси, проходящей через центр масс.

Общее уравнение динамики

Если к активным силам, действующим на систему с идеальными связями добавить силы инерции, то сумма работ этих сил на любом возможном перемещении будет равна нулю:

. (54)

Общее уравнение динамики является суммой двух принципов: принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. Действительно, если к неуравновешенной системе сил, действующей на механическую систему, добавить силы инерции, то согласно принципу Даламбера такая система сил будет уравновешенной и, следовательно, согласно принципу возможных перемещений

. (55)

Но, поскольку связи, наложенные на систему, являются идеальными, то сумма работ их реакций на любом возможном перемещении равна нулю: . С учетом этого формула (55) примет вид (54).

Уравнение Лагранжа II рода

Уравнение Лагранжа II рода имеет вид:

, i = 1,…, n. (57)

Здесь обозначено: T – кинетическая энергия системы; – соответственно обобщенная скорость и обобщенная координата. Скорость и координата называются обобщенными, поскольку могут быть как линейными, так и угловыми. - обобщенная сила (может быть как силой, так и моментом); n – число степеней свободы системы. число степеней свободы системы с геометрическими связями (геометрическими называют связи, которые налагают ограничения на положение точек системы) равно числу независимых координат, с помощью которых можно однозначно определить положение системы. В общем случае точка системы может иметь бесконечное число возможных перемещений, но всегда найдется несколько возможных перемещений, через которые можно линейно выразить все остальные. Именно они и называются независимыми. Например, любое перемещение точки на плоскости можно выразить через два перемещения, соответствующие координатам x и y. Таким образом, точка на плоскости имеет две степени свободы. Вращающееся тело имеет одну степень свободы, так как его положение можно однозначно определить, задав всего одно перемещение – угол поворота. Обобщенную силу находят по формуле:

,

где - работа сил, действующих на систему на возможном перемещении, при котором изменяется только обобщенная координата .

Например, для точки на рис. 28 обобщенные силы, соответствующие координатам x и y можно найти по формулам:

,

.

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость υ₀, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 – Д1.9, табл. Д1). На участке АВ, на груз кроме силы тяжести, действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила , проекция которой F _x на ось х задана в таблице. Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x = f(t), где x = BD.

Указания. Задача Д1 – на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. (Решение основной задачи механики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке AB, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t=0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменной х, учтя, что:

Таблица Д1

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действует сила тяжести и сила сопротивления ; движение от точки А, где υ₀=0, до точки В длится t₁ c. На наклонном участке ВС на груз действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу равен f) и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m =8кг, R =μυ², где μ=0,2 кг/м, υ₀=0, t₁ =2c, f =0.2, F_x=16 sin (4t), α =30˚.

Определить: x=f(t) – закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: