Влияние постоянной силы на свободные колебания

Пусть, кроме силы упругости, на точку действует некоторая постоянная сила F (рис. 3). В этом случае основное уравнение динамики примет вид:

_. (11)

Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, имеем: , где Δ_ст – статическая деформация пружины под действием силы F.

С учетом этого уравнение (11) примет вид: . Но , тогда получим или

, (12)

где .

Сравнивая уравнения (4) и (12) видим, что они совпадают. Следовательно, совпадают и их решения. Таким образом, постоянная сила не изменяет характер колебаний точки, она лишь смещает центр колебаний в направлении действия силы на расстояние, равное статической деформации пружины.

По формуле (10): , учитывая, что , имеем . Если постоянная сила является силой тяжести, то и период колебаний можно найти по формуле: .

Замена системы упругих элементов одним – эквивалентным

Упругий элемент называется эквивалентным данной системе упругих элементов, если под действием одной и той же силы перемещения ее точки приложения совпадают.

а) Параллельное соединение упругих элементов с жесткостями с₁ и с₂ изображено на рис. 4 слева.

В положении равновесия сила F уравновешивается двумя силами F_у1 = с₁ Δ и F_у2 = с₂ Δ.

F = F_у1 + F_у2 = с₁ Δ + с₂ Δ = Δ(с₁ + с₂) (13)

У эквивалентного данной системе упругого элемента (рис. 4 справа) с жесткостью с_Э сила F уравновешивается одной силой

F = F_у = с_Э Δ (14)

Приравняв правые части формул (13) и (14), получим: с_Э = с₁ + с₂.

Из этой формулы видно, что в случае параллельного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента больше жесткости любого из них.

б) Последовательноесоединение упругих элементов с жесткостями с₁ и с₂ изображено на рис. 5 слева.

Каждый из упругих элементов под действием силы F получит деформацию растяжения Δ₁ = F/ с₁ и Δ₂ = F/ с₂. Деформация эквивалентного упругого элемента под действием силы F равна Δ = F/с_Э. Жесткость эквивалентного упругого элемента найдем из условия равенства деформаций: Δ = Δ₁ + Δ₂, тогда F/ с_Э = F/ с₁ + F/ с₂. После несложных преобразований найдем

(15)

Из (15) видно, что в случае последовательного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента меньше жесткости любого из них.

Затухающие колебания

в реальных условиях материальная точка, совершающая колебания, испытывает сопротивление движению, поэтому кроме восстанавливающей силы на нее действует сила сопротивления среды, направленная в сторону противоположную движению материальной точки (рис. 6).

Сопротивление воздуха при малых скоростях движения пропорционально первой степени скорости: . Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: или . Отсюда получим

(16)

– это уравнение описывает движение точки под действием восстанавливающей силы с учетом сопротивления среды. Здесь обозначено , . Найдем корни характеристического уравнения , соответствующего уравнению (16):

. (17)

Если (случай малого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, и решение уравнения (16) имеет вид:

. (18)

В решении (18) обозначено: .

Взяв производную по времени от (18), и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С₁ и С₂.

Решение (18) можно записать в виде: . (19)

График функции (19) показан на рис. 7.

Из графика видно, что движение точки в этом случае носит колебательный характер. При этом максимальные отклонения точки от положения равновесия с течением времени убывают по экспоненте. Такие колебания называются затухающими. Функция (19) не является периодической, тем не менее, периодом колебаний в этом случае называют промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну сторону. Его можно найти по формуле

, (20)

где T – период соответствующих свободных колебаний. Из формулы (20) видно, что . Скорость убывания амплитуды колебаний характеризует коэффициент, называемый декрементом колебаний: . Этот коэффициент показывает, во сколько раз уменьшается максимальное отклонение точки от положения равновесия за один период.

13. Случай апериодического движения (n > k)

Если (случай большого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения (17) являются действительными и отрицательными. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

. (21)

Взяв производную по времени от (21) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С₁ и С₂.

Сценарии развития событий в этом случае показаны на рис. 8.

Из графиков видно, что движение точки в этом случае носит не колебательный характер и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия: _.

При этом кривая – 1 соответствует случаю, когда ; кривая 2 соответствует случаю, когда ; кривая 3 соответствует случаю, когда . Во всех трех примерах принято, что x₀ > 0.

14. Случай апериодического движения (n = k)

Если (это также случай большого сопротивления среды), то корень характеристического уравнения (17) , то есть является кратным, действительным и отрицательным. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

. (22)

Взяв производную по времени от (22) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С₁ и С₂. В этом случае, найдя предел по правилу Лопиталя, получим

.

Следовательно, и в этом случае движение точки носит неколебательный характер, и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия. Сценарии развития событий в этом случае такие же, как и на рис. 8.

Вынужденные колебания точки

Рассмотрим движение точки (рис. 9) под действием восстанавливающей и некоторой периодической силы: F = F₀∙ sin(ωt), сопротивление среды не учитываем.

Колебания точки под действием этих сил называются вынужденными. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид:

Разделив на массу и обозначив , получим уравнение вынужденных колебаний точки без учета сопротивления среды:

(23)

Уравнение (23) является неоднородным. Его общее решение x = x₁+ x₂, где: - общее решение соответствующего однородного уравнения; x₂ – частное решение уравнения (23). Частное решение ищем в виде Подставив это решение в уравнение (23), найдем А амплитуду вынужденных колебаний:

.

Общее решение уравнения (23):

. (24)

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ можно найти из начальных условий:

при . Коэффициент - называется коэффициентом динамичности (рис. 10) и показывает, во сколько раз амплитуда

вынужденных колебаний больше статического смещения точки под действием силы F₀.

Резонанс

Резонансом называется явление, возникающее в случае, когда частота свободных колебаний – k, совпадает с частотой возмущающей силы – ω. В этом случае коэффициент динамичности – η = , и функция (24) уже не является решением уравнения (23), так как амплитуда вынужденных колебаний равна бесконечности. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид (p = k = ω):

(25)

Наибольший интерес представляет частное решение уравнения (25), соответствующее вынужденным колебаниям, поскольку свободные колебания быстро затухают, даже при наличии малого сопротивления среды. Частное решение уравнения (25) ищем в виде . Взяв от x₂ вторую производную по времени, найдем . подставив и в (25), получим:

.

Два последних слагаемых в левой части равенства взаимно уничтожаются. Тогда, приравняв коэффициенты при , находим . В результате частное решение уравнения (25), описывающее вынужденные колебания при резонансе, примет вид . График этой функции показан на рис. 11.

Из рисунка видно, что амплитуда колебаний точки при резонансе нарастает с течением времени. Поэтому если рабочая частота выше собственной частоты колебаний, то стараются достичь ее как можно быстрее, чтобы при переходе через резонансную частоту не успели развиться слишком большие колебания.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: