Влияние постоянной силы на свободные колебания

Пусть, кроме силы упругости, на точку действует некоторая постоянная сила F (рис. 3). В этом случае основное уравнение динамики примет вид:

Выбрав начало координат в положении равновесия – т. О, имеем:

, где Δ _ст – статическая деформация пружины под действием силы F.

С учетом этого уравнение (11) примет вид:

. Но

, тогда получим

или

Сравнивая уравнения (4) и (12) видим, что они совпадают. Следовательно, совпадают и их решения. Таким образом, постоянная сила не изменяет характер колебаний точки, она лишь смещает центр колебаний в направлении действия силы на расстояние, равное статической деформации пружины.

По формуле (10):

, учитывая, что

, имеем

. Если постоянная сила является силой тяжести, то

и период колебаний можно найти по формуле:

Замена системы упругих элементов одним – эквивалентным

Упругий элемент называется эквивалентным данной системе упругих элементов, если под действием одной и той же силы перемещения ее точки приложения совпадают.

а) Параллельное соединение упругих элементов с жесткостями с ₁ и с ₂ изображено на рис. 4 слева.

В положении равновесия сила F уравновешивается двумя силами F_у1 = с₁ Δ и F_у2 = с₂ Δ.

У эквивалентного данной системе упругого элемента (рис. 4 справа) с жесткостью с _Э сила F уравновешивается одной силой

Приравняв правые части формул (13) и (14), получим: с_Э = с ₁ + с ₂.

Из этой формулы видно, что в случае параллельного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента больше жесткости любого из них.

б) Последовательное соединение упругих элементов с жесткостями с ₁ и с ₂ изображено на рис. 5 слева.

Каждый из упругих элементов под действием силы F получит деформацию растяжения Δ₁= F/ с₁ и Δ₂= F/ с₂. Деформация эквивалентного упругого элемента под действием силы F равна Δ = F/с_Э. Жесткость эквивалентного упругого элемента найдем из условия равенства деформаций: Δ = Δ₁ + Δ₂, тогда F/ с_Э = F/ с₁ + F/ с₂. После несложных преобразований найдем

Из (15) видно, что в случае последовательного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента меньше жесткости любого из них.

в реальных условиях материальная точка, совершающая колебания, испытывает сопротивление движению, поэтому кроме восстанавливающей силы на нее действует сила сопротивления среды, направленная в сторону противоположную движению материальной точки (рис. 6).

Сопротивление воздуха при малых скоростях движения пропорционально первой степени скорости:

. Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x:

или

. Отсюда получим

– это уравнение описывает движение точки под действием восстанавливающей силы с учетом сопротивления среды. Здесь обозначено

. Найдем корни характеристического уравнения

, соответствующего уравнению (16):

Если

(случай малого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения

являются комплексно-сопряженными, и решение уравнения (16) имеет вид:

Взяв производную по времени от (18), и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С ₁ и С ₂.

Из графика видно, что движение точки в этом случае носит колебательный характер. При этом максимальные отклонения точки от положения равновесия с течением времени убывают по экспоненте. Такие колебания называются затухающими. Функция (19) не является периодической, тем не менее, периодом колебаний в этом случае называют промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну сторону. Его можно найти по формуле

где T – период соответствующих свободных колебаний. Из формулы (20) видно, что

. Скорость убывания амплитуды колебаний характеризует коэффициент, называемый декрементом колебаний:

. Этот коэффициент показывает, во сколько раз уменьшается максимальное отклонение точки от положения равновесия за один период.

Если

(случай большого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения (17)

являются действительными и отрицательными. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

Взяв производную по времени от (21) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С ₁ и С ₂.

Сценарии развития событий в этом случае показаны на рис. 8.

Из графиков видно, что движение точки в этом случае носит не колебательный характер и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия:

При этом кривая – 1 соответствует случаю, когда

; кривая 2 соответствует случаю, когда

; кривая 3 соответствует случаю, когда

. Во всех трех примерах принято, что x ₀ > 0.

Если

(это также случай большого сопротивления среды), то корень характеристического уравнения (17)

, то есть является кратным, действительным и отрицательным. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:

Взяв производную по времени от (22) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С ₁ и С ₂. В этом случае, найдя предел по правилу Лопиталя, получим

Следовательно, и в этом случае движение точки носит неколебательный характер, и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия. Сценарии развития событий в этом случае такие же, как и на рис. 8.

Рассмотрим движение точки (рис. 9) под действием восстанавливающей и некоторой периодической силы: F = F ₀∙ sin(ωt), сопротивление среды не учитываем.

Колебания точки под действием этих сил называются вынужденными. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид:

Разделив на массу и обозначив

, получим уравнение вынужденных колебаний точки без учета сопротивления среды:

Уравнение (23) является неоднородным. Его общее решение x = x ₁ + x ₂, где:

- общее решение соответствующего однородного уравнения; x ₂ – частное решение уравнения (23). Частное решение ищем в виде

Подставив это решение в уравнение (23), найдем А амплитуду вынужденных колебаний:

Постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ можно найти из начальных условий:

при

. Коэффициент

- называется коэффициентом динамичности (рис. 10) и показывает, во сколько раз амплитуда

вынужденных колебаний больше статического смещения точки под действием силы F ₀.

Резонансом называется явление, возникающее в случае, когда частота свободных колебаний – k, совпадает с частотой возмущающей силы – ω. В этом случае коэффициент динамичности – η =

, и функция (24) уже не является решением уравнения (23), так как амплитуда вынужденных колебаний равна бесконечности. Уравнение движения точки в этом случае имеет вид (p = k = ω):

Наибольший интерес представляет частное решение уравнения (25), соответствующее вынужденным колебаниям, поскольку свободные колебания быстро затухают, даже при наличии малого сопротивления среды. Частное решение уравнения (25) ищем в виде

. Взяв от x ₂ вторую производную по времени, найдем

. подставив

в (25), получим:

Два последних слагаемых в левой части равенства взаимно уничтожаются. Тогда, приравняв коэффициенты при

, находим

. В результате частное решение уравнения (25), описывающее вынужденные колебания при резонансе, примет вид

. График этой функции показан на рис. 11.

Из рисунка видно, что амплитуда колебаний точки при резонансе нарастает с течением времени. Поэтому если рабочая частота выше собственной частоты колебаний, то стараются достичь ее как можно быстрее, чтобы при переходе через резонансную частоту не успели развиться слишком большие колебания.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: