Тема 4: Линейное уравнение множественной регрессии

1. Для регрессионной модели зависимости среднедушевого денежного дохода населения (руб., у) от объема валового регионального продукта (тыс. р., х₁) и уровня безработицы в субъекте (%, х₂) получено уравнение . Величина коэффициента регрессии при переменной х₂ свидетельствует о том, что при изменении уровня безработицы на 1% среднедушевой денежный доход ______ рубля при неизменной величине валового регионального продукта.

изменится на (-1,67)

увеличится на 1,67

уменьшится на (-1,67)

изменится на 0,003

Решение:

Эконометрическая модель линейного уравнения регрессии имеет вид , где y – зависимая переменная, x_j – независимая переменная ( – номер независимой переменной в модели, k – общее количество независимых переменных в модели); a, b_j – параметры уравнения; – ошибка модели (учитывает влияние на зависимую переменную y прочих факторов, не являющихся в модели независимыми переменными). Коэффициентом регрессии является параметр b_j. Его величина показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная y, при изменении соответствующей независимой переменной x_j на 1 единицу измерения. Таким образом, при изменении уровня безработицы на 1% среднедушевой денежный доход изменится на (-1,67) рубля при неизменной величине валового регионального продукта.

2. В уравнении линейной множественной регрессии: , где – стоимость основных фондов (тыс. руб.); – численность занятых (тыс. чел.); y – объем промышленного производства (тыс. руб.) параметр при переменной х₁, равный 10,8, означает, что при увеличении объема основных фондов на _____ объем промышленного производства _____ при постоянной численности занятых.

на 1 тыс. руб. … увеличится на 10,8 тыс. руб.

на 1 тыс. руб. … уменьшится на 10,8 тыс. руб

на 1 тыс. руб. … увеличится на 10,8%

на 1% … увеличится на 10,8%

Решение:

В уравнении множественной линейной регрессии , параметр показывает среднее изменение результата y при увеличении фактора на одну единицу, при условии, что все остальные переменные останутся на постоянном уровне. В нашем случае, объем промышленного производства y характеризуется следующим уравнением , параметр равен 10,8, следовательно, при увеличении объема основных фондов на 1 тыс. руб. объем промышленного производства увеличится на 10,8 тыс. руб. при постоянной численности занятых.

3. Известно, что доля остаточной дисперсии зависимой переменной в ее общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет …

0,8

0,64

Решение:

Коэффициент детерминации равен доле дисперсии, объясненной регрессией, в общей дисперсии. Величина () показывает долю остаточной дисперсии в общей или дисперсию, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели факторов.
. Значит,

4. Построена эконометрическая модель для зависимости прибыли от реализации единицы продукции (руб., у) от величины оборотных средств предприятия (тыс. р., х₁): . Следовательно, средний размер прибыли от реализации, не зависящий от объема оборотных средств предприятия, составляет _____ рубля.

10,75

3,1

13,85

7,65

Решение:

Эконометрическая модель линейного уравнения парной регрессии имеет вид: , где y – зависимая переменная, x – независимая переменная; a, b – параметры уравнения; – ошибка модели (учитывает влияние на зависимую переменную y прочих факторов, не являющихся в модели независимыми переменными). Значение параметра а может быть рассчитано по формуле . Если , то ; в таком случае говорят, что среднее значение переменной y, не зависящее от величины переменной х, равно значению параметра а. Следовательно, средний размер прибыли от реализации, не зависящий от объема оборотных средств предприятия, составляет 10,75 рубля.

5. F -статистика рассчитывается как отношение ______ дисперсии к ________ дисперсии, рассчитанных на одну степень свободы.

факторной … остаточной

остаточной … факторной

факторной … к общей

остаточной … общей

Решение:

F -статистика рассчитывается как отношение факторной дисперсии на одну степень свободы к остаточной дисперсии на одну степень свободы.

Тема 5: Оценка параметров линейных уравнений регрессии

1. Для эконометрической модели уравнения регрессии ошибка модели определяется как ______ между фактическим значением зависимой переменной и ее расчетным значением.

разность

сумма квадратов разности

квадрат разности

сумма разности квадратов

Решение:

Одним из типов эконометрических моделей является уравнение регрессии, которое может быть записано в виде математического выражения , где y – зависимая переменная; x_j – независимая переменная (j = 1,…, k; k – количество независимых переменных); f – тип функциональной зависимости (математическая функция); – случайные факторы. При этом , тогда , где – фактическое значение зависимой переменной, – расчетное значение зависимой переменной, – ошибка модели. Выразим значение : . Поэтому правильный ответ – «разность».

2. Величина называется …

случайной составляющей

оценкой параметра

значением параметра

переменной

Решение:

Величина называется случайной составляющей, или возмущением, и включает в себя влияние факторов, неучтенных в модели, ошибок выборки и ошибок измерения.

3. В эконометрической модели уравнения регрессии величина отклонения фактического значения зависимой переменной от ее расчетного значения характеризует …

ошибку модели

величину коэффициента регрессии

значение свободного члена уравнения

нулевое значение независимой переменной

Решение:

Одним из типов эконометрических моделей является уравнение регрессии, которое может быть записано в виде математического выражения , где y – зависимая переменная; x_j – независимая переменная (j = 1,…, k; k – количество независимых переменных); f – тип функциональной зависимости (математическая функция); – случайные факторы. При этом , тогда , где – фактическое значение зависимой переменной, – расчетное значение зависимой переменной, – ошибка модели. Поэтому правильный ответ – «ошибку модели».

4. Известно, что доля объясненной дисперсии в общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет …

0,2

0,8

Решение:

Коэффициент детерминации равен доле дисперсии, объясненной регрессией, в общей дисперсии. Следовательно,

5. При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии определяются из условия ______ остатков .

Минимизации суммы квадратов

равенства нулю суммы квадратов

минимизации модулей

равенства нулю

Решение:

При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии определяются из условия минимизации суммы квадратов остатков .

Тема 6: Предпосылки МНК, методы их проверки

1. Для обнаружения автокорреляции в остатках используется …

статистика Дарбина – Уотсона

тест Уайта

критерий Гольдфельда – Квандта

тест Парка

Решение:

Для обнаружения автокорреляции остатков используется расчет статистик Дарбина – Уотсона. Тест Уайта, критерий Гольдфельда – Квандта, тест Парка применяются для обнаружения гетероскедастичности остатков.

2. Известно, что коэффициент автокорреляции остатков первого порядка равен –0,3. Также даны критические значения статистики Дарбина – Уотсона для заданного количества параметров при неизвестном и количестве наблюдений , . По данным характеристикам можно сделать вывод о том, что …

автокорреляция остатков отсутствует

статистика Дарбина – Уотсона попадает в зону неопределенности

есть положительная автокорреляция остатков

есть отрицательная автокорреляция остатков

Решение:

Дано, что коэффициент автокорреляции остатков первого порядка равен –0,3, . Рассчитаем статистику Дарбина – Уотсона по формуле . Нам известны критические значения статистики Дарбина – Уотсона для заданного количества параметров при неизвестном и количестве наблюдений , , которые разбивают отрезок от 0 до 4 на пять частей.

В интервале [0; 0,82] есть положительная автокорреляция остатков;

в интервале (0,82; 1,32] – зона неопределенности;

в интервале (1,32; 2,68] нет автокорреляции остатков;

в интервале (2,68; 3,12] – зона неопределенности;

в интервале (3,12; 4] есть отрицательная автокорреляция остатков.

В нашем случае значение статистики Дарбина–Уотсона d=2,6 попадает в интервал (1,32; 2,68]. Значит, можно сделать вывод, что нет автокорреляции остатков.

3. Значение критерия Дарбина – Уотсона можно приблизительно рассчитать по формуле , где – значение коэффициента автокорреляции остатков модели. Минимальная величина значения будет наблюдаться при ________ автокорреляции остатков.

положительной

отрицательной

нулевой

бесконечно малой

Решение:

Значение коэффициента автокорреляции остатков модели рассчитывается по аналогии с парным коэффициентом автокорреляции и изменяется в таких же пределах, то есть от –1 до +1. Подставим эти граничные значения в формулу для расчета значения критерия Дарбина – Уотсона: если , то ; если , то . Поэтому значение меняется от 0 до 4. Минимальное значение равно 0 для случая, когда , то есть для положительной автокорреляции остатков.

4. Из перечисленного условием выполнения предпосылок метода наименьших квадратов не является ____ остатков.

гетероскедатичность

случайный характер

нулевая средняя величина

отсутствие автокорреляции

Решение:

Условия, необходимые для несмещенных, состоятельных и эффективных оценок, представляют собой предпосылки МНК.

Исследования остатков предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

– случайный характер остатков;

– нулевая средняя величина остатков, не зависящая от ;

– гомоскедастичность остатков;

– отсутствие автокорреляции остатков;

– подчинение остатков нормальному закону распределения.

Гетероскедатичность остатков не является предпосылкой МНК.

5. Значение критерия Дарбина – Уотсона можно приблизительно рассчитать по формуле , где – значение коэффициента автокорреляции остатков модели. Максимальная величина значения будет наблюдаться при ________ автокорреляции остатков.

отрицательной

положительной

нулевой

бесконечно малой

Решение:

Значение коэффициента автокорреляции остатков модели рассчитывается по аналогии с парным коэффициентом автокорреляции и изменяется в таких же пределах, то есть от –1 до +1. Подставим эти граничные значения в формулу для расчета значения критерия Дарбина – Уотсона: если , то ; если , то . Поэтому значение меняется от 0 до 4. Максимальное значение равно 4 для случая, когда , то есть для отрицательной автокорреляции остатков.

Тема 7: Свойства оценок параметров эконометрической модели, получаемых при помощи МНК

1. Пусть – оценка параметра регрессионной модели, полученная с помощью метода наименьших квадратов; – математическое ожидание оценки . В том случае если , то оценка обладает свойством …

несмещенности

состоятельности

эффективности

смещенности

Решение:

Желательными свойствами оценок параметров регрессионной модели являются состоятельность, несмещенность и эффективность. Понятие несмещенности оценки формулируется следующим образом: «Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание »; где – истинное значение параметра, вычисленное для генеральной совокупности. Поэтому правильный ответ – «несмещенности».

2. Из несмещенности оценки параметра следует, что среднее значение остатков равно …

-1

Решение:

Желательными свойствами оценок параметров регрессионной модели являются состоятельность, несмещенность и эффективность. Понятие несмещенности оценки формулируется следующим образом: «Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание »; где – истинное значение параметра, вычисленное для генеральной совокупности. Математическое ожидание в том случае, если .

3. Несмещенность оценок параметров регрессии означает, что …

математическое ожидание остатков равно нулю

дисперсия остатков минимальная

точность оценок выборки увеличивается с увеличением объема выборки

дисперсия остатков не зависит от величины

Решение:

Несмещенность оценок параметров регрессии означает, что математическое ожидание остатков равно нулю.

4. Если оценка параметра является смещенной, то нарушается предпосылка метода наименьших квадратов о _________ остатков.

нулевой средней величине

нормальном законе распределения

случайном характере

гомоскедастичности

Решение:

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание остатков равно нулю. Если оценка параметров регрессии является смещенной, то математическое ожидание остатков отличается от нуля, и при большом количестве выборочных оцениваний остатки будут накапливаться.
Нарушается предпосылка о нулевой средней величине остатков.

5. Состоятельность оценок параметров регрессии означает, что …

точность оценок выборки увеличивается с увеличением объема выборки

математическое ожидание остатков равно нулю

дисперсия остатков минимальная

дисперсия остатков не зависит от величины

Решение:

Состоятельность оценок параметров регрессии означает, что точность оценок выборки увеличивается с увеличением объема выборки.

Тема 8: Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)

1. В случае нарушений предпосылок метода наименьших квадратов применяют обобщенный метод наименьших квадратов, который используется для оценки параметров линейных регрессионных моделей с __________ остатками.

автокоррелированными и/или гетероскедастичными

гомоскедастичными и некоррелированными

только автокоррелированными

только гетероскедастичными

Решение:

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет рассчитать такие оценки параметров линейной модели регрессии, для которых сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от ее модельных (теоретических) значений минимальна. Отклонение , посчитанное для i -го наблюдения, является ошибкой модели. Предпосылками МНК являются: случайный характер остатков, нулевая средняя величина, отсутствие автокорреляции в остатках, постоянная дисперсия (гомоскедастичность) остатков, подчинение нормальному закону распределения. Если остатки не удовлетворяют предпосылкам МНК о автокоррелированности и гетероскедастичности остатков, то применение обычного (традиционного) МНК нецелесообразно. Если остатки автокоррелированны и/или гетероскедастичны, то проводят преобразование переменных и расчет оценок параметров осуществляют с использованием обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК). Правильный вариант ответа – «автокоррелированными и/или гетероскедастичными».

2. При нарушении гомоскедастичности остатков и наличии автокорреляции остатков рекомендуется применять _____________ метод наименьших квадратов.

обобщенный

косвенный

двухшаговый

трехшаговый

Решение:

При нарушении гомоскедастичности остатков и наличии автокорреляции остатков рекомендуется вместо традиционного метода наименьших квадратов применять обобщенный метод наименьших квадратов.

3. Пусть y – издержки производства, – объем продукции, – основные производственные фонды, – численность работников. Известно, что в уравнении дисперсии остатков пропорциональны квадрату численности работников .
После применения обобщенного метода наименьших квадратов новая модель приняла вид . Тогда параметр в новом уравнении характеризует среднее изменение затрат …

на работника при увеличении производительности труда на единицу при неизменном уровне фондовооруженности труда

на работника при увеличении фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда

на единицу продукции при увеличении фондоемкости продукции на единицу при неизменном уровне трудоемкости продукции

на единицу продукции при увеличении трудоемкости продукции на единицу при неизменном уровне фондоемкости продукции

Решение:

Пусть y – издержки производства, – объем продукции, – основные производственные фонды, – численность работников. Известно, что в уравнении дисперсии остатков пропорциональны квадрату численности работников: .
Применим обобщенный метод наименьших квадратов, поделив обе части уравнения на После применения обобщенного метода наименьших квадратов новая модель приняла вид . Новая модель имеет дело с новыми переменными: – объем затрат на одного работника, – производительность труда, – фондовооруженность труда. В новой модели коэффициент регрессии показывает среднее изменение затрат на работника при увеличении производительности труда на единицу при неизменном уровне фондовооруженности труда .

4. Обобщенный метод наименьших квадратов не может применяться для оценки параметров линейных регрессионных моделей в случае, если …

средняя величина остатков не равна нулю

остатки гетероскедастичны

остатки автокоррелированны

дисперсия остатков не является постоянной величиной

Решение:

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет рассчитать такие оценки параметров линейной модели регрессии, для которых сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от ее модельных (теоретических) значений минимальна. Отклонение , посчитанное для i -го наблюдения, является ошибкой модели. Предпосылками МНК являются: случайный характер остатков, нулевая средняя величина, отсутствие автокорреляции в остатках, постоянная дисперсия (гомоскедастичность) остатков, подчинение нормальному закону распределения. Если остатки автокоррелированны и/или гетероскедастичны, то проводят преобразование переменных и расчет оценок параметров осуществляют с использованием обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК). При этом такая предпосылка как нулевая средняя величина остатков сохраняется. Поэтому обобщенный метод наименьших квадратов не может применяться, если средняя величина остатков не равна нулю.

5. Пусть y – издержки производства, – объем продукции, – основные производственные фонды, – численность работников. Известно, что в уравнении дисперсии остатков пропорциональны квадрату объема продукции .

Применим обобщенный метод наименьших квадратов, поделив обе части уравнения на После применения обобщенного метода наименьших квадратов новая модель приняла вид . Тогда параметр в новом уравнении характеризует среднее изменение затрат на единицу продукции при увеличении …

фондоемкости продукции при неизменном уровне трудоемкости продукции

трудоемкости продукции при неизменном уровне фондоемкости продукции

фондовооруженности труда при неизменном уровне производительности труда производительности труда при неизменном уровне фондовооруженности труда

Решение:

Пусть y – издержки производства, – объем продукции, – основные производственные фонды, – численность работников. Известно, что в уравнении дисперсии остатков пропорциональны квадрату объема продукции .

После применения обобщенного метода наименьших квадратов новая модель приняла вид . Новая модель имеет дело с новыми переменными – затраты на единицу продукции, – фондоемкость продукции, – трудоемкость продукции. В новой модели параметр показывает среднее изменение затрат на единицу продукции с увеличением на единицу фондоемкости продукции при неизменном уровне трудоемкости продукции .

Тема 9: Оценка тесноты связи

1. Для эконометрической модели вида показателем тесноты связи между переменными и является парный коэффициент линейной …

корреляции

детерминации

регрессии

эластичности

Решение:

Заданная регрессионная модель вида – это линейное уравнение парной регрессии, для которого показателем тесноты связи между переменными и является парный коэффициент линейной корреляции.

2. Самым коротким интервалом изменения коэффициента корреляции для уравнения парной линейной регрессии является …

[–1; 0]

[0; 1]

[–1; 1]

[–2; 2]

Решение:

Коэффициент корреляции для парной линейной регрессии в общем случае изменяется в пределах [–1, 1]. Однако так как значение коэффициента регрессии отрицательное, то и значение коэффициента корреляции для уравнения тоже будет отрицательным, значит, самым коротким интервалом изменения коэффициента корреляции для уравнения парной линейной регрессии будет [–1; 0].

3. Самым коротким интервалом изменения показателя множественной корреляции для уравнения множественной линейной регрессии , если известны парные коэффициенты корреляции , является интервал …

[0,7; 1]

[0; 1]

[0,6; 0,7]

[-1; 1]

Решение:

Показатель множественной корреляции изменяется в пределах [0; 1]. Однако величина индекса множественной корреляции должна быть больше максимального парного индекса корреляции или равна ему Следовательно, самым коротким интервалом изменения показателя множественной корреляции будет [0,7; 1].

4. Для регрессионной модели вида получена диаграмма

Такое графическое отображение называется …

полем корреляции

диаграммой детерминации

полем детерминации

коррелограммой

Решение:

Графическое отображение совокупности точек с координатами на плоскости для зависимости от называется полем корреляции, или диаграммой рассеяния. Поэтому верный ответ – «полем корреляции».

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: