Предварительный выбор одной или нескольких функций, аппроксимирующих тенденцию исследуемого процесса

Прежде, чем строить модель прогнозирования исследуемого процесса, необходимо определить класс и порядок аппроксимирующей функции.

Аппроксимация - приближенное отображение сложной функции с помощью более простых. Аппроксимация исходной функции более простой часто значительно упрощает решение задачи. При этом уточняются структура и параметры рассматриваемой системы. В экономике целью аппроксимации часто является укрупнение характеристик моделируемых экономических объектов. Рассмотрим модели, основанные на одномерных временных рядах - кривые роста и адаптивные модели.

Кривые роста - математическая модель, в большей степени отражающая внутреннюю детерминацию системы. Благодаря простоте построения модели кривые роста часто используются в экономическом прогнозировании. В этом параграфе будут рассмотрены методы и модели, которые используются для описания СЭП, не содержащих сезонные и циклические колебания. Каждое наблюдение такого процесса является следствием сочетания закономерности и случайности, т.е. каждый член информационного временного ряда состоит только из двух компонентов тренда (тенденции среднего значения) и случайной компоненты. Наиболее распространены следующие типы кривых роста:

3) S – образные кривые (их внешний вид напоминает латинскую букву S)

Самый простой и поэтому распространенный метод определения формы аппроксимирующей функции - графический (или визуальный), который заключается в следующем: на график наносятся точки временного ряда, соединенные ломаной линией; по внешнему виду, и главное, по экономическому содержанию, определяется наиболее приемлемая кривая. Если тенденция не видна, то производят сглаживание исходного ряда и снова строят график, на котором тренд будет более четким.

Недостатком визуального метода является субъективность выбора наилучшей аппроксимирующей функции, основанного на интуиции. Более точным является метод конечных разностей или метод Тинтнера. Познакомимся с алгоритмом метода Тинтнера (метод конечных разностей).

1 этап. Последовательно вычисляют конечные разности:

где

- конечная разность k - го порядка. Обычно более 5-го порядка конечные разности не вычисляют.

2этап. Для каждого разностного ряда, включая исходный временной ряд, вычисляют дисперсии:

где

- биномиальный коэффициент, его табличные значения

3 этап. Сравнивают последовательные значения дисперсии

, если

, где

- заранее известное число, то в качестве наилучшей выбирают функцию (k - 1) порядка.

ПРИМЕР. а) определить форму аппроксимирующей функции с помощью графического метода для данного временного ряда. Построив график, предположим, что в качестве наилучшей можно взять параболу (полином 2-й степени): .

б) определить порядок аппроксимирующей кривой роста с помощью метода Тинтнера. Находим последовательно конечные разности 1,2,3 порядков. Результаты вычислений и вспомогательные вычисления запишем в таблицу.

Для каждого разностного ряда, включая исходный временной ряд, вычислим дисперсии по приведенным выше формулам D_o=375.011, D₁=44.56, D₂=20.92, D₃=21.11. Пусть . Сравниваем последовательные значения дисперсии:

Следовательно, в качестве наилучшей кривой выбираем полином 2-го порядка (параболу).

Адаптивные модели прогнозирования - это модели дисконтирования данных, способные быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. Они базируются на моделях экспоненциально-взвешенной скользящей средней, авторегрессии и т. д. Инструментом прогноза в адаптивных моделях, как и в кривых роста, является математическая модель с единственным фактором "время". Адаптивные модели имеют следующую общую схему построения:

1) По нескольким первым наблюдениям ряда оцениваются значения параметров модели.

2) По имеющейся модели дается прогноз на один шаг, причем его отклонение от фактических знамений ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии с принятой схемой корректировки параметров модели.

3) По модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и весь процесс повторяется вновь до исчерпания фактических членов ряда. Таким образом, модель постоянно "впитывает" новую информацию, адаптируется к ней и к концу периода отражает тенденцию развития.

4) Прогнозирование на будущее осуществляется с использованием параметров, определенных на последнем шаге по последним фактическим наблюдениям ряда.

Адаптивные модели прогнозирования в большей степени учитывают развитие процесса в конце периода наблюдений, а также могут быть использованы для описания и прогнозирования процессов, не имеющих тенденции.

Одной из адаптивных моделей является модель Брауна, основанная на модели скользящей средней. Прогноз по линейной модели Брауна получают по формулам:

, где

- корректирующиеся на каждом шаге параметры,

- оценка текущего t-го уровня;

- оценка текущего периода; k- интервал прогнозирования в период адаптации (обучения) модели k=1, после построения модели k изменяется в зависимости от периода (интервала) прогнозирования, а параметры остаются неизменными.

1 На какие классы делятся одномерные модели прогнозирования? Какие модели прогнозирования называются трендовыми?

2 Дайте характеристику моделей кривых роста.

3 На какие классы делятся модели кривых роста?

5 Чем отличаются модели кривых роста от адаптивных моделей прогнозирования?

6 Какую модель для анализа и прогнозирования экономического процесса можно построить, если она характеризутся временным рядом, не содержащим тренд?

7 Какую модель для анализа и прогнозирования экономического процесса можно построить, если она характеризуется временным рядом, содержащим тренд?

8 Как можно определить форму зависимости экономического показателя, характеризующего процесс, от времени?

9 В чем преимущество и недостаток визуального метода определения функциональной зависимости экономического показателя?

Контрольное задание. Определите форму аппроксимирующей функции с помощью визуального метода и метода Тинтнера (метода конечных разностей).

После определения порядка аппроксимирующей функции определяют количественные значения параметров с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Суть этого метода заключается в минимизации сумм квадратов разностей между фактическими и расчетными значениями наблюдении временного ряда, то есть

где

- фактическое значение экономического показателя в момент времени t;

- расчетное по выбранной модели значение экономического показателя в тот же момент времени t.

Для определения количественных значений параметров выбранной функции строится система нормальных уравнений в частных производных:

где k - количество параметров модели, р - параметр модели.

Если в качестве аппроксимирующей функции выбрана прямая, т.е. полином первой степени

,то система нормальных уравнений будет следующей:

Для полинома второй степени (параболы)

система нормальных уравнений имеет вид:

Особенности систем нормальных уравнений для определения параметров функций:

· число уравнений равно числу параметров модели;

· матрица коэффициентов при неизвестных параметрах симметрична
относительно главной диагонали;

· коэффициенты при неизвестных представляют собой суммы различных степеней натуральных чисел от 1 до п и могут быть вычислены по формулам:

Решив систему нормальных уравнений, подставляем в модель значения параметров.

ПРИМЕР.С помощью МНК определить параметры аппроксимирующей функции полинома второго порядка – параболы.

Подставим найденные суммы из таблицы 8 в систему нормальных уравнений для определения значений параметров полинома второго порядка:

Решив эту систему, получим следующие значения параметров параболы:

. Модель кривой роста втоpoгo порядка (параболы) имеет следующий вид:

Рассмотрим подробней этапы построения адаптивной модели Брауна.

1. По первым пяти точкам временного ряда оцениваются значения

параметров модели с помощью метода наименьших квадратов для линейной аппроксимации:

2. С использованием параметров

по модели Брауна находим прогноз на первый шаг:

3. Расчетное значение

исследуемого показателя сравнивают с фактическим

и находят величину отклонения:

. Для всех oстальных членов ряда отклонение (остаточная компонента) находится по формуле:

, которое используют для корректировки параметров модели в соответствии с принятой схемой.

4. Корректируют параметры модели a_t и b_t по следующим формулам:

где B - коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия более поздним наблюдениям 0 < В < 1. Оптимальное значение В находится итеративным путем, т.е. многократным построением модели при разных В и выбором наилучшей, или по формуле: , где

- длина временного ряда, используемого для построения исходной модели Брауна.

5. По модели со скорректированными параметрами

находят прогноз на следующий момент времени:

, сравнивают с фактическим значением ряда, находят остаточную компоненту и корректируют компоненту по принятой схеме. Для прогнозирования на будущее используют модель, полученную при t=n. Точечный прогноз рассчитывают по формуле:

, где

6. Интервальный прогноз строится как для линейной модели кривой роста.

ПРИМЕР. Построить адаптивную модель Брауна, аппроксимирующую динамику изменения процентных ставок по кредитным операциям в зависимости от времени в рассматриваемый период.

По первым пяти значениям временного ряда найдем параметры а₀ и b_o с помощью MНK: а₀=134, b₀=-10.4,

Определим значение коэффициента дисконтирования В

находим по модели Брауна значение исследуемого показателя на следующий момент времени т.д. Все результаты сведем в таблицу 9. Таким образом, адаптивная модель Брауна для прогнозирования имеет вид:

1. С помощью какого метода можно определить параметры модели кривых роста?

3. Какова схема построения адаптивных моделей?

Контрольное задание: Для исследуемого процесса построить модель кривой роста и адаптивную модель Брауна. Построить графики полученных функций и исходного временного ряда в одной координатной плоскости.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: