Проверка адекватности и точности моделей

Независимо от способа построения модели вопрос о возможности ее применения для анализа и прогнозирования может быть решен только после установления ее качества. Качество модели оценивается адекватностью ее исследуемому процессу и точностью.

Адекватность модели, то есть выполнение некоторых статистических свойств, проверяется исследованием остаточной компоненты

, которая должна удовлетворять следующим свойствам:

· соответствию нормальному закону распределения

Случайность остаточной компоненты, т.е. независимость ее от времени, проверяется критерием поворотных точек. Точка

считается максимальной, если ее значение больше рядом стоящих, и минимальной, если ее значение меньше рядом стоящих:

(max),

(min). В обоих случаях

считается поворотной. Число точек поворота обозначим р. Математическое ожидание числа поворотных точек вычислим

, а дисперсию -

Критерием случайности

является выполнение условия:

Случайность остаточной компоненты можно проверить отсутствием тенденции в остаточном ряду с помощью знакового критерия тренда Кокса и Стюарта, или метода Фостера и Стюарта, рассмотренных ранее.

Свойство соответствия нормальному закону распределения остаточной компоненты можно проверить

-критерием:

где R - разность между максимальным и минимальным значениями остаточных компонент,

- максимальное значение остаточной компоненты,

- минимальное ее значение, S - среднеквадратическое отклонение:

Расчетное

сравнивают с табличным интервалом: если оно попадает в интервал, то для остаточных компонент выполняется свойство нормального распределения. Для

табличные значения верхней и нижней границ R/S-критерия равны [2.67; 3.69].

Равенство нулю математического ожидания проверяется на основании t -критерия Стьюдента. Вычисляется

по формуле:

где

- среднее арифметическое значение остаточных компонент,

- среднеквадратическое отклонение расчетных по модели значений от фактических, при условии, что

Если

с выбранной вероятностью, то

, т.е.(математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю).

Независимость остаточных компонент проверяется критерием Дарбина-Уотсона, согласно которому вычисляется

Если d >2, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции (зависимости) и перед сравнением его значение надо преобразовать

Расчетное d (или d^’) сравнивается с двумя табличными d₁ и d₂, и делается вывод о наличии автокорреляции в остаточном ряду.

Если d (или d^’) меньше d₁, то уровни

сильно автокоррелированы, т.е. свойство независимости не выполняется.

Если d2<d<2 (или d2<d^’ <2), то остаточные компоненты независимы. Если d1<d<d2 ( или d1<d^’<d2), то однозначного вывода сделать нельзя и необходимо использовать другие критерии.

Независимость (отсутствие автокорреляции) в остаточном ряду можно проверить на основе первого коэффициента автокорреляции:

Если

, то наличие автокорреляции в ряду остаточных компонент подтверждается. При

r_табл=0,36.

Точность модели, т.е. степень близости расчетных значений к фактическим, характеризуется среднеквадратическим отклонением расчетных значений наблюдений от фактических:

и средней относительной ошибкой аппроксимации:

Если

, то точность аппроксимирующей модели хорошая и ее можно использовать для прогнозирования. При большой ошибке (

) модель использовать не рекомендуется.

ПРИМЕР. Оценить качество построенных моделей - квадратичной модели кривой роста, адаптивной модели Брауна.

Для определения адекватности и точности квадратичной модели

все результаты расчетов сведем в таблицу 10. Поворотные точки остаточной компоненты выделены жирным шрифтом.

Таблица 10 – Проверка адекватности и точности модели кривой роста

Проверим свойство случайности. Число точек поворота p=5,

. Т.к.

, то условие 5>

выполняется, тогда остаточные компоненты случайны.

Проверим свойство соответствия нормальному закону распределения. R=5.57-(-9.46)=15.03, S=4.169, . Так как 2.67<3.605 <3.69, то остаточная компонента соответствует нормальному закону распределения.

Проверим свойство нулевого математического ожидания. Величина t-критерия Стьюдента

(для (n-3) степеней свободы), следовательно остаточная компонента имеет нулевое математическое ожидание.

Проверим свойство независимости. По критерию Дарбина-Уотсона d=2.23>2 => преобразуем =4-d =1.77 и для сравнения с табличными значениями используем 1,77. Табличный интервал для

: [0.95; 1.54]. Так как 1.77>1,54, то остаточная компонента является независимой величиной.

Точность кривой роста характеризуется величиной среднеквадратической ошибки

=4.13 и средней относительной по модулю ошибкой аппроксимации

=3.54%.

Вывод: квадратичная модель кривой роста (парабола) полностью адекватна, так как все свойства остаточной компоненты выполняются, модель достаточно точна, т.к. средняя относительная ошибка не превышает 5%.

Определим адекватность и точность адаптивной модели Брауна.

Таблица 11- Проверка адекватности и точности модели Брауна

Проверим свойство случайности. Число точек поворота p=8,

. Т.к.

, то условие

выполняется, тогда остаточные компоненты случайны.

Проверим свойство соответствия нормальному закону распределения. R=9.04+ 14.87=23.91, S=6.7,

. Так как 2.67<3.57 <3.69, то остаточная компонента соответствует нормальному закону распределения.

Проверим свойство нулевого математического ожидания. Величина t-критерия Стьюдента t=1,1,

(для (n-2) степеней свободы), следовательно остаточная компонента имеет нулевое математическое ожидание

Проверим свойство независимости. По критерию Дарбина - Уотсона d=2.075>2=> преобразуем d=4-d=1.925 и для сравнения с табличными значениями используем 1,925. Так как l.925 > d₂(1.54), то остаточные компоненты являются независимыми, т.е. автокорреляция в остаточном ряду отсутствует..

Вывод: адаптивная модель Брауна также полностью адекватна отображаемой динамике процесса, однако модель кривой роста несколько точнее, хотя и точность адаптивной модели Брауна удовлетворяет уровню хорошего качества.

2. Что включает в себя понятие адекватности математических моделей прогнозирования?

3. Что такое точность математических моделей?

4. Какую компоненту уровня временного ряда исследуют при оценке качества модели?

5. Какие свойства остаточной компоненты должны выполняться, чтобы построенная модель была адекватной исследуемому процессу?

Контрольное задание: оценить качество построенных моделей прогнозирования.

После построения двух моделей проводим окончательный выбор наилучшей аппроксимирующей кривой. Наилучшей из построенных кривых является та, для которой выполняются все статистические свойства адекватности модели, т.е. остаточная компонента удовлетворяет одновременно всем 4 свойствам, имеющая наибольшую точность, т.е. и

имеют минимальные значения.

Пример: выбрать из построенных моделей лучшую.

Поскольку обе модели полностью адекватны, то точность квадратичной модели кривой роста (параболы) более высокая, то в качестве наилучшей для построения прогнозных оценок выбираем квадратичную модель кривой роста.

1. Какая модель со статистической точки зрения является лучшей?

2. Может ли модель быть достаточно точной, но неадекватной?

Контрольное задание: выбрать лучшую со статистической точки зрения модель прогнозирования.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: