Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии

Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии

Синусоидальный ток (напряжение) и его параметры.

Гармоническое воздействие описывается выражением:

– начальная фаза колебания [рад]. Графическое изображение синусоидального тока показано на рис.5.1.

Под средним значением синусоидальной величины понимают её среднее значение за половину периода:

Действующим (эффективным) значением гармонического тока (I_Д) называется такое значение постоянного тока, которое за время периода колебания (Т), выделяет в сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный ток с периодом Т. Определим связь I_m и I_Д:

, с другой стороны

│

. Приравняв

значения Q, сократив одинаковые множители, после извлечения корня получим соотношение -

Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Сущность метода заключается в переходе от дифференциальных уравнений состояния ЭЦ относительно мгновенных значений токов и ЭДС к алгебраическим уравнениям, составленным относительно, так называемых комплексов тока и ЭДС.

Символический метод (метод комплексных амплитуд), подобно логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, называемыми изображениями или символами.

5.2.1. Изображение гармонических величин векторами на плоскости комплексного переменного. Комплексная амплитуда, комплекс действующего значения.

Согласно формуле Эйлера комплексное число е ^jα = cosα +jsinα, где j= есть мнимая единиц. На плоскости комплексного переменного это число можно представить в виде вектора длиной 1 [так как модуль │е^jα│=1 ] расположенного под углом α к вещественной оси (рис.5.2). Домножим теперь правую и левую части формулы Эйлера на величину амплитуды тока I_m и будем полагать, что угол α меняется во времени по закону α =ωt+ +φ₀, в результате получим соотношение:

I_m е ^j^(ω^t⁺^φ⁰⁾ =I_m cos(ωt+ φ₀) + jI_m sin(ωt+ φ₀), (5.2)

где I_m cos(ωt+ φ₀)= Re[I_m е ^j^(ω^t⁺^φ⁰⁾] – вещественная часть комплексного числа, I_m sin(ωt+ φ₀) =

=Im[I_m е ^j^(ω^t⁺^φ⁰⁾] – мнимая часть комплексного числа. Из этих выражений следует, что гармоническое колебание можно представить как мнимую часть комплексного числа или в геометрическом представлении, как проекцию вращающегося вектора на мнимую ось. Принято изображать вектор в момент t =0, тогда

Таким образом, произошла замена гармонического колебания (синусоидального переменного тока) на некий символ

, называемый комплексной амплитудой. Таким же образом можно определить комплекс действующего значения

Такое представление позволяет заменить громоздкие тригонометрические вычисления суммы или разности синусоидальных функций времени одной и той же частоты, но разной фазы, алгебраическими вычислениями с комплексными числами (либо простыми геометрическими построениями).

Определить вид гармонического колебания, являющегося суммой двух токов: i₁ = 1 sin (ωt + 60⁰), i₂ = 2 sin (ωt - 30⁰).

₁ = е ^j⁶⁰= cos60⁰ +jsin60⁰ = 0,5 + j0,87;

₂ = е^- ^j³⁰= cos(-30⁰) +jsin(-30⁰)= 1,74 - j1

Операции дифференцирования и интегрирования в символической форме.

Полагаем, что ток в ЭЦ описывается гармонической функцией i(t) = I_m sinωt, тогда напряжение на индуктивном элементе u(t) = = ωLI_m cosωt= ωLI_m sin(ωt + ) или в символической форме , т.е операция дифференцирования эквивалентна умножению на jω ( ). Напряжение на емкостном элементе u(t)= I_m cosω=- sin(ωt + ) или в символической форме , т.е операция интегрирования эквивалентна делению на jω ( ).

Схема ЭЦ показана на рис.5. 18. Согласно I закона Кирхгофа состояние цепи описывается выражением:

где Z= – полное комплексное сопротивление цепи, модуль (полное сопротивление) и аргумент (фаза) которого равны соответственно:

Графики зависимостей (5.9) показаны на рис.5.21.

На рис.5.19 изображена векторная диаграмма комплексов тока и напряжений ЭЦ, причем комплексы тока и напряжения на резистивном элементе в данном случае приняты вещественными величинами, т.е. векторы их совпадают с вещественной осью ( = , = ). На рис.5.20 отображены временные диаграммы реальных токов в ЭЦ. Как видно из рисунков, также как и в предыдущем случае, напряжение на входе цепи опережает ток в цепи на угол φ.

Схема ЭЦ показана на рис.5.22. Согласно II закона Кирхгофа состояние цепи описывается выражением

где Z – полное комплексное сопротивление цепи, модуль (полное сопротивление) и аргумент (фаза) которого равны соответственно:

Графики зависимостей модуля и аргумента показаны на рис.5.25. На рис.5.23 изображена векторная диаграмма комплексов тока и напряжений ЭЦ, причем комплексы тока и напряжения на резистивном элементе в данном случае приняты вещественными величинами, т.е. векторы их совпадают с вещественной осью ( = , = ). На рис.5.24 изображены временные диаграммы тока и реальных падений напряжения в ЭЦ. Как видно из рисунков, напряжение на входе цепи отстает от тока в цепи на угол φ.

Схема ЭЦ показана на рис.5.26. Согласно I закона Кирхгофа состояние цепи описывается выражением = + =

= , где полное комплексное сопротивление цепи -

Z = ; его модуль (полное сопротивление) и аргумент (фаза) равны соответственно:

Графики зависимостей модуля и аргумента показаны на рис.5.29. На рис.5.27 изображена векторная диаграмма комплексов тока и напряжений ЭЦ, причем комплексы тока и напряжения на резистивном элементе в данном случае приняты вещественными величинами, т.е. векторы их совпадают с вещественной осью ( = , = ). На рис.5.28 изображены временные диаграммы тока и реальных падений напряжения в ЭЦ. Как видно из рисунков, напряжение на входе цепи отстает от тока в цепи на угол φ.

Схема ЭЦ показана на рис.5.30. Согласно II закона Кирхгофа состояние цепи описывается выражением

Графики зависимостей модуля и аргумента показаны на рис.5.32. На частоте

сопротивление цепи чисто резистивное и фазовый сдвиг между током в цепи и входным напряжением отсутствует. На других частотах, согласно векторной диаграмме рис. 5.31, фазовый сдвиг имеет место. На частотах ω< ω₀ полное сопротивление последовательной цепи носит ёмкостный характер, а при ω> ω₀- индуктивный.

Схема ЭЦ показана на рис.5.33. Согласно I закона Кирхгофа состояние цепи описывается выражением

где Y – полная комплексная проводимость. Перейдем к полному комплексному сопротивлению цепи:

модуль и аргумент которого равны соответственно:

Графики зависимостей модуля и аргумента показаны на рис.5.34. На частоте

сопротивление цепи чисто резистивное и фазовый сдвиг между входным током и входным напряжением отсутствует. На других частотах, согласно векторной диаграмме рис. 5.35, фазовый сдвиг имеет место. На частотах ω< ω₀ полное сопротивление последовательной цепи носит индуктивный характер, а при ω> ω₀- ёмкостный.

Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии

Синусоидальный ток (напряжение) и его параметры.

Гармоническое воздействие описывается выражением:

– начальная фаза колебания [рад]. Графическое изображение синусоидального тока показано на рис.5.1.

Под средним значением синусоидальной величины понимают её среднее значение за половину периода:

, с другой стороны

│

. Приравняв

значения Q, сократив одинаковые множители, после извлечения корня получим соотношение -

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: