Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть на плоскости дана непрерывная функция и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

Уравнение прямой по точке , принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид: , где , ( - угол наклона прямой). Из (рис.5.1) найдем тангенс угла наклона секущей : . Если точку приближать к точке , то угол будет стремиться к углу , т.е. при . Следовательно, .

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производная f′ (x ₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f′ (x) в точке х ₀, т.е. k= f′ (x ₀).

Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f (x) в точке х ₀ примет вид

16 вопрос Функция y=f (x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение Δ у в этой точке можно представить в виде ,

где А – некоторое число, не зависящее от , а α() – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при →0, т.е.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема. Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную

Связь - Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀,, то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема, вообще говоря, неверна, если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, функция y =│ х │ непрерывна в точке х₀ =0, ибо но, как было доказано ранее недифференцируема в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.

Замечание: Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке Х, то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функция допускает конечное число точек разрыва, то такая функция на данном промежутке называется кусочно гладкой.

17 вопро с Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

18 вопрос Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е.

.

□ Дадим независимой переменной х приращение Δх≠0. Тогда функция u= φ(x) и у=f(u) соответственно получат приращения Δu и Δy.

Предположим, что Δu≠0. Тогда в силу дифференцируемости функции у=f(u) можно записать где - f′(u) величина не зависящая от Δu.

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций где - бесконечно малая величина при Δu → 0, откуда

Это равенство будет справедливо и при Δu = 0, если полагать, что α(∆u=0)=0 (т.е. доопределить таким образом функцию α(∆u) при ∆u=0).

Разделив обе части последнего равенства на Δх≠0, получим

Так как по условию функция у=φ(х) дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при Δх → 0 Δu → 0 и α(∆u) → 0.

Поэтому, переходя к пределу при Δх → 0 в последнем соотношении, получаем ■