|
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда: если f '' (x) > 0 для любого x если f '' (x) < 0 для любого x Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x 0 существует вторая производная f '' (x 0), то f '' (x 0) = 0. 24 вопрос Асимптотой графика функции Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и наклонные (рис. 6.6 в) асимптоты. На рис. 6.6а изображена вертикальная асимптота. На рис 6.6б – горизонтальная асимптота. На рис. 6.6в – наклонная асимптота. Теорема 1. В точках вертикальных асимптот (например,
Теорема 2. Пусть функция
Тогда прямая Теорема 3. Пусть функция Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда 25 вопрос Общая схема исследования функции 1. Найти область определения 2. Исследовать функцию на четность – нечетность. 3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть). 4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть). 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки. 7. Схематично построить график. Подробная схема исследования функции 1. Найти область определения a. Если у b. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным (больше либо равно нулю). c. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным. 2. Исследовать функцию на четность – нечетность. a. Если b. Если c. Если не выполнено ни 3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть). a. Вертикальная асимптота может возникнуть только на границе области определения функции. b. Если 4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть). a. Если b. Если c. Если пределы, указанные в п. a, b, существуют только при одностороннем стремлении 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. a. Найти производную b. Найти критические точки c. На числовой оси отметить область определения d. На каждом из полученных числовых интервалов определить знак производной e. По знакам производной сделать вывод о наличии экстремумов у f. Найти экстремальные значения g. По знакам производной сделать вывод о возрастании и убывании 6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки. a. Для того, чтобы найти точки пересечения графика b. Точка пересечения графика 8. Схематично построить график. 26 вопрос Эластичность функции у = f(x) показывает относительное изменение значения функции у в расчете на единицу относительного изменения аргумента х. 28 вопрос Пусть имеется Переменные Функцию двух переменных будем обозначать как Определение. Графиком функции двух переменных Линией уровня функции двух переменных Вопрос В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом: График функции z = x ² + xy + y ². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1 Следует обратить внимание, что обозначение Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке 30 вопрос Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку». Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной. Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами Вектор с компонентами
31 вопрос Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) Производные fxx '', fxy '', fyx '' и fyy '' называются частными производными второго порядка. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка:
32 вопрос Функция Пример. Можно заметить, что если для функции Теорема. Если
Из данной теоремы следует, что, если Совокупность всех первообразных функции Таким образом: где Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции. ![]() ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|