IV. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Изучение электрических и магнитных явлений было проведено в XIX в. Эти явления связаны с особой формой существования ИЭДЯ теории - электрическими и магнитными полями с их взаимодействием. Электромагнитные взаимодействия не только объясняют все электромагнитные явления, но и обеспечивают силы, обусловливающие существование вещества на атомном и молекулярном уровнях как целого. Важность теории электромагнитного поля связана с тем, что она включает в себя всю оптику, так как свет представляет собой электромагнитное излучение. Основой теории электромагнитного поля является теория Максвелла. Уравнения Максвелла установили тесную связь между этими явлениями, которые раньше рассматривались как независимые. Максвелл сформулировал такое важнейшее понятие физики, как электромагнитное поле.

Приступая к изучению этого раздела, студент должен уделить особое внимание закону электродинамики - закону Ампера. Знать и уметь применять закон Био-Савара-Лапласа для расчета магнитной индукции или напряженности магнитного поля прямолинейного и кругового токов, а также закон полного тока (циркуляция вектора магнитной индукции) для расчета магнитного поля тороида и длинного соленоида. При изучении вопроса, связанного с действием магнитного поля на движущиеся заряды, нужно уметь применять силу Лоренца для определения направления движения заряженных частиц в магнитном поле, представлять себе принцип действия циклических ускорителей заряженных частиц, а также определять работу перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.

При изучении явления электромагнитной индукции необходимо усвоить, что механизм возникновения ЭДС индукции имеет электронный характер. Изучив основной закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла, студент на его основе должен уметь вывести и применять для расчетов формулы ЭДС индукции, энергии магнитного поля.

Изучение магнитных свойств вещества в основном носит описательный характер. Студент при этом должен уяснить, что исходя из выражения циркуляции вектора магнитной индукции магнитное поле в отличие от электрического является вихревым.

При изучении темы «Колебания» следует параллельно рассматривать механические и электромагнитные колебания, что способствует выработке у студента единого подхода к колебаниям различной физической природы. Здесь следует четко уяснить понятия фазы, разности фаз, амплитуды, частоты, периода колебаний, и там, где это необходимо, использовать графический метод представления гармонического колебания. Нужно уяснить, что любые колебания линейной системы всегда можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными частотами, амплитудами и начальными фазами.

Изучение темы «Волны» целесообразно начинать с механических волн, распространяющихся в упругих средах. Здесь следует обратить внимание на картину мгновенного распределения смещений и скоростей в бегущей волне, различие между бегущей и стоячей волнами, зависимость фазовой скорости от частоты колебаний, найти связь между групповой и фазовой скоростями и показать их равенство в отсутствие дисперсии волн. Особое внимание студент должен уделить условию интерференции волн, энергетическому соотношению при интерференции волн, понять и объяснить перераспределение энергии при образовании минимумов и максимумов интенсивности. Переходя к изучению электромагнитных волн, студенту следует ясно представить себе физический смысл уравнений Максвелла (в интегральной форме) и, опираясь на них, рассмотреть свойства этих волн. Нужно четко представлять, что переменные электрическое и магнитное поля взаимосвязаны, они поддерживают друг друга и могут существовать независимо от источника, их породившего, распространяясь в пространстве в виде электромагнитной волны. Другими словами, электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Под энергией электромагнитного поля следует подразумевать сумму энергий электрического и магнитного полей. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является колеблющийся электрический диполь. Следует помнить, что если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Контрольная работа № 4 представлена набором таких задач, которые помогут студенту проверить свои знания по таким вопросам, как применение закона Био-Савара-Лапласа для расчета магнитной индукции (или напряженности) магнитного поля, создаваемого проводниками с током различной конфигурации, научиться применять принцип суперпозиции при определении индукции или напряженности простейших полей, определять траекторию движения заряженной частицы, ее удельный заряд и силу, действующую на движущуюся частицу в магнитном поле, вычислять работу, совершаемую силами как при движении прямолинейного проводника стоком, так и при вращении контура с током различной конфигурации в магнитном поле, находить намагниченность, энергию и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида и тороида.

Задачи на гармонические колебания охватывают такие вопросы, как определение амплитуды, скорости, ускорения, энергии при механических колебаниях, периоды, электроемкости, индуктивности, силы тока, напряжения, энергии при электромагнитных колебаниях. Волновые процессы представлены задачами, в которых определяются период, длина, скорость распространения, энергия и объемная плотность энергии механических и электромагнитных волн.

Механический момент, действующий на контур с током, помешенный в магнитное поле

Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

Магнитная индукция в цент ре кругового тока

поля, созданного бесконечно длинным прямым проводником с током

поля, созданного отрезком проводника с током

поля бесконечно длинного соленоида и тороида

Сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников с током

Напряженность магнитного поля, создаваемого движущимся зарядом

Магнитный поток однородного магнитного поля

Работа по перемещению кон тура с током в магнитном поле

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при возникновении в нем индукционного тока

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L

Объемная плотность энергии магнитного поля

Период электромагнитных колебаний в контуре (формула Томсона)

Скорость распространения электромагнитных волн в среде

Полная энергия при гармоническом колебании

1. Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной длиной 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными к кольцевому (рис. 6,а). Найти индукцию в центре кольца. Силы токов в проводниках равны 2 А. Влияние подводящих проводов не учитывать.

Дано: l = 0,2 м, r₀= 0,1 м, β₁ = β₂ = 45°, l₁= l₂= l = 2А.

Решение. Индукция dB в точке поля от элемента проводника dl с током I (проводник имеет произвольную конфигурацию) определяется по закону Био-Савара-Лапласа:

где r - модуль радиус-вектора, проведенного из элемента в точку, где определяется индукция: α - угол, составленный векторами dl и r; μ₀ - магнитная постоянная. Направление вектора индукции перпендикулярно плоскости, содержащей dl и r, и определяется правилом правого винта. Например, в центре окружности (см. рис. 6, а) векторы индукции от всех элементов перпендикулярны плоскости окружности и направлены на нас. Интегрируя выражение (1), получаем индукцию в центре окружности радиуса r₀:

Индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ прямого проводника на расстоянии r₀ от него (рис. 6,б), равна

Эту же формулу в некоторых случаях, удобнее записать в виде

Вектор индукции в точке М перпендикулярен плоскости, в которой лежат проводник АВ и r₀, и совпадает по направлению с B₁.

По условию задачи β₁ = β₂ = 45°, и индукция от двух сторон угла составляет

Так как направления векторов индукции полей, создаваемых проводниками, совпадают, то результирующая индукция в центре кольца равна сумме В = В₁ + В₃, или

2. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками в случаях: 1) проводники параллельны и токи текут в одном направлении (рис. 7, a); 2) проводники перпендикулярны, направления токов показаны на рис. 7, б.

Решение. Результирующая индукция магнитного поля в данной точке равна векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности: В = В₁+ В₂ (1), где B₁ и В₂ - индукции полей, создаваемых соответственно токами l₁ и l₂. Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении, то, применив правило правого винта, определяем направления В₁ и В₂. Как видно из рис. 7, а, B₁ и В₂ направлены в противоположные стороны, поэтому векторная сумма (1) в данном случае может быть заменена алгебраической:

Индукции полей, создаваемых бесконечно длинными проводниками, находим по формуле

где r₁ и r₂ - соответственно расстояния от проводников до точки, где определяется индукция магнитного поля. Согласно условию задачи, r₁= r₂= r и тогда

В случае, когда проводники перпендикулярны (рис. 7,б), результирующая индукция в точке, лежащей посередине между проводниками, равна

3. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории r = 2 см. Определить удельный заряд электрона.

Решение. Удельным зарядом частицы называется величина, равная отношению заряда к массе, т. е. е/m.

В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью v перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца F_Л= Вev. Под действием этой силы заряд перемещается по дуге окружности. Так как при этом сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, то согласно второму закону Ньютона можно записать

Кинетическую энергию, равную

, электрон приобретает за счет работы А сил электрического поля (

), поэтому имеем

Преобразуя последние два соотношения и исключив из них скорость, получим формулу для определения удельного заряда электрона

4. Виток радиусом 2 см, по которому течет ток силой 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент

, (1) где

- магнитный момент витка; В - индукция магнитного поля; α - угол между векторами p_m и В. В начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, векторы p_m и В совпадают по направлению, т.е. α = 0 и М = 0. При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в исходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является переменным и зависит от угла поворота α:

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

А = 10А · 3,14 · 4 · 10^{-4 м2} · 1,5 Тл = 18,84 · 10^-3 Дж = 0,02 Дж.

5. По соленоиду течет ток силой 5 А, длина соленоида 1 м, число витков 500. В соленоид вставлен железный сердечник. Найти намагниченность и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида. Зависимость В = f (Н) дана на рис. 8.

Решение. Намагниченность определяется отношением магнитного момента к объему магнетика и связана с напряженностью магнитного поля соотношением

(1), где

- магнитная восприимчивость среды. Поле соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля вычисляется по формуле Н = In, (2) где I - сила тока, текущего по обмотке соленоида; n = N/l - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Тогда Н = IN/l. (3)

Связь между магнитной восприимчивостью

и магнитной проницаемостью μ среды выражается формулой

. (4)

Определим напряженность магнитного поля соленоида по (3)

По графику на рис. 8 находим, что напряженности

соответствует индукция магнитного поля В = 1,6 Тл. Используя соотношение

находим

Согласно формуле (4) имеем

= 500 – 1 = 499. Определим намагниченность по формуле (1)

Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по формуле

6. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания с периодом 1 с. Начальная фаза колебаний 30°. Определить амплитуду колебаний, максимальные скорости ускорение колеблющейся точки, если максимальная кинетическая энергия равна 0,02 Дж.

Решение. Полная энергия колеблющейся точки - это сумма потенциальной и кинетической энергии; она равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии. Полная энергия зависит от массы колеблющейся точки, амплитуды и круговой частоты колебаний:

Зная амплитуду, запишем уравнение гармонических колебаний, совершаемых материальной точкой:

где

- смещение точки относительно положения равновесия; 0,32м = A - амплитуда; 2 πc^-1 = w - круговая частота; π/6 = φ₀ - начальная фаза колебаний.

Скорость точки определяется как первая производная от смещения по времени:

Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по времени:

Максимальную скорость можно найти из уравнения

, откуда

7. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется со временем по закону

. Электроемкость конденсатора 0,5 мкФ. Определить период собственных колебаний, индуктивность, энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности.

Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону

, где

- амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора;

- собственная циклическая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением

. Отсюда находим

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона

, откуда

Энергия контура - это сумма электрической

и магнитной

энергий и равна максимальной энергии поля конденсатора

или максимальной энергии катушки индуктивности

Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности:

8. Колеблющиеся точки удалены от источника колебаний на расстояние 0,5 и 1,77 м в направлении распространения волны. Разность фаз их колебаний равна 3π/4. Частота колебаний источника 100 с^-1. Определить длину волны и скорость ее распространения. Написать уравнение волны для заданных точек, если амплитуды колебаний их равны 1 см.

Решение. Из уравнения бегущей волны по разности фаз

и расстоянию

от источника колебаний до колеблющейся точки можно определить λ. Имеем

где

- смещение колеблющейся точки;

- время колебания;

- круговая частота.

В уравнении (2) выражение

является фазой колебаний. Запишем фазы для каждой из заданных точек:

Подставляя числовые значения в уравнение (1), получаем соответственно для первой и второй точек:

9. Определить энергию, переносимую плоской синусоидальной электромагнитной волной, распространяющейся в вакууме, за 1 с сквозь поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны 5 мВ/м. Период волны Т

Решение. Плотность потока энергии (или интенсивность излучения) электромагнитных волн, т. е. количество энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, определяется вектором Пойнтинга

, где Е, Н - векторы напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне. Учитывая, что Е┴Н, получим для модуля вектора Р

Так как величины Е и H в каждой точке электромагнитной волны меняются во времени по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение величины Р равно

Таким образом, величина Р является функцией времени. Согласно определению вектора плотности потока энергии, имеем

где dW - энергия, переносимая волной через площадку S за время dT. Из выражений (2) и (1) имеем

Для определения dW необходимо знать величину

, которая может быть найдена из соотношения

По условию задачи

, поэтому

и членом

можно пренебречь. Тогда

1. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, расположенным параллельно друг другу на расстоянии 10 см, текут токи силой 0,5 и 10 А. Определить магнитную индукцию поля в точке, удаленной на 10 см от каждого проводника. Рассмотреть все возможные случаи. Решение пояснить рисунком.

2. По кольцевому проводнику радиусом 10 см течет ток силой 4 А. Параллельно плоскости кольцевого проводника на расстоянии 2 см над его центром проходит бесконечно длинный прямолинейный проводник, по которому течет ток силой 2 А. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в центре кольца. Рассмотреть все возможные случаи. Решение пояснить рисунком.

3. По двум круговым виткам, имеющим общий центр, текут токи силой 5 и 4 А. Радиусы витков соответственно равны 3 и 4 см. Угол между их плоскостями 30°. Определить индукцию и напряженность в центре витков. Рассмотреть все возможные случаи. Решение пояснить рисунком.

4. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, расположенным параллельно друг другу на расстоянии 10 см, текут токи в одном направлении. Напряженность поля в точке, удаленной на 10 см от каждого проводника, 16,33 А/м. По одному из проводников течет ток силой 0,5 А. Определить силу тока, текущего по другому проводнику. Решение пояснить рисунком.

5. Два круговых витка с током лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Радиус большего витка 12 см, меньшего 8 см. Напряженность поля в центре витков равна 50 А/м, если токи текут в одном направлении, и нулю, если в противоположном. Определить силы токов, текущих по круговым виткам. Решение пояснить рисунком.

6. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам текут токи силой 4 и 6 А. Расстояние между проводниками 15 см. Определить геометрическое место точек, в которых индукция магнитного поля равна нулю. Решение пояснить рисунком.

7. По круговому проводнику радиусом 0,12 м течет ток силой 0,2 А. Перпендикулярно плоскости кругового проводника проходит бесконечно длинный проводник, по которому течет ток силой 0,1 А. Индукция магнитного поля в центре кругового проводника

. Определить, на каком расстоянии от центра кругового проводника находится прямолинейный проводник. Решение пояснить рисунком.

8. Проводник длиной 1 м согнут в виде квадрата. Определить' индукцию магнитного поля и напряженность в точке пересечения диагоналей квадрата, если по проводнику течет ток силой 4 А. Решение пояснить рисункам.

9. Прямой проводник согнут в виде прямоугольника со сторонами длиной 0,2 и 0,3 м. Какой силы ток нужно пропустить по этому проводнику, чтобы напряженность поля в точке пересечения диаг6:-налей была 19 А/м. Решение пояснить рисунком.

10. Прямой проводник длиной 90 см согнут в виде равностороннего треугольника. Какой силы ток нужно пропустить по этому проводнику, чтобы индукция магнитного поля в точке пересечения высот треугольника равнялась 1,24·10^-6 Тл. Решение пояснить рисунком.

11. Как нужно расположить алюминиевый проводник, имеющий площадь поперечного сечения 3,78·10^{-9 м2}, по которому проходит ток силой 1 А, относительно горизонтально расположенного проводника с током силой 5 А, чтобы алюминиевый провод находился в равновесии?

12. Рассчитать радиус дуантов циклотрона, индукция магнитного поля в котором 1 Тл, если он предназначен для ускорения протонов до энергии 10 МэВ.

13. Электрон, имеющий начальную скорость 105 м/с, влетает в пространство, в котором созданы два взаимно перпендикулярных магнитных поля, индукции которых 0,3 и 0,4 мкТл. Определить траекторию движения электрона, если векторы индукции магнитных полей перпендикулярны вектору скорости электрона.

14. Частица, обладающая энергией 16 МэВ, движется в однородном магнитном поле с индукцией 2,4 Тл по окружности радиусом 24,5 см. Определить заряд этой частицы, если ее скорость 2,72 · 10⁷ м/с.

15. Определить площадь поперечного сечения прямолинейного алюминиевого проводника, движущегося с ускорением 0,4 м/с² в однородном магнитном поле с индукцией 2,2 · 10⁴ Тл. По проводнику течет ток силой 5 А, его направление движения перпендикулярно вектору индукции.

16. Каким образом нужно расположить прямолинейный алюминиевый проводник в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией 0,04 Тл и какой силы ток пропустить по нему, чтобы он находился в равновесии. Радиус проводника 1 мм.

17. Определить напряженность однородного горизонтального магнитного поля, в котором в равновесии находится незакрепленный прямолинейный медный проводник с током силой 10 А. Диаметр проводника 4 мм.

18. Внутри длинного соленоида перпендикулярно его оси расположен проводник длиной 5 см, по которому проходит ток силой 10 А. Какая сила действует на проводник, если соленоид имеет 25 витков на сантиметр длины и по его обмотке течет ток силой 5 А?

19. Электрон, обладающий энергией 0,5 кэВ, пролетает в вакууме сквозь однородное магнитное поле напряженностью 1 кА/м перпендикулярно полю. Определить скорость электрона, силу Лоренца и радиус траектории его движения.

20. Какова должна быть скорость электрона, чтобы его траектория была прямолинейной при движении во взаимно перпендикулярных магнитном и электрическом полях. Поля однородны и имеют соответственно напряженности 100 А/м и 500 В/м.

21. В однородном магнитном поле индукцией 125,6 мТл вращается стержень с постоянной частотой 10с^-1 так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям индукции, а ось вращения проходит через один из его концов. Индуцируемая на концах стержня разность потенциалов равна 0,1 мкВ. Определить длину стержня.

22. Сила тока в соленоиде равномерно возрастает от 0 до 10 А за 1 мин, при этом соленоид накапливает энергию 20 Дж. Какая ЭДС индуцируется в соленоиде?

23. В однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл под углом 30° к полю расположена медная квадратная рамка со стороной длиной 0,5 м. Диаметр провода 0,2 мм. Рамку повернули перпендикулярно полю. Какое количество электричества индуцировалось в рамке?

24. Какой длины нужно взять проволоку диаметром 1 мм, чтобы изготовить однослойный соленоид с индуктивностью 0,01 Гн? Площадь поперечного сечения соленоида 7,5 см². Сердечник отсутствует.

25. По соленоиду, имеющему 1000 витков, проходит ток силой 1 А. Какова индуктивность соленоида, если магнитный поток, создаваемый током, равен 0,5 мВб?

26. В однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл движется прямолинейный проводник длиной 10 см со скоростью 10 м/с. Направление вектора индукции перпендикулярно проводнику и вектору скорости его. Концы проводника соединены гибким проводом вне поля. Общее сопротивление цепи 10 Ом. Определить мощность, необходимую для движения проводника.

27. С какой скоростью движется перпендикулярно магнитному полю напряженностью 1 кА/м (μ = 1) прямой проводник длиной 20 см и сопротивлением 0.1 Ом, если при замыкании проводника по нему идет ток силой 0,05 А. Сопротивление замыкающего провода не учитывать.

28. По соленоиду течет ток силой 1 А. Магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение сердечника, равен 2 мкВб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет 500 витков.

29. Найти индуктивность соленоида, если при скорости изменения силы тока 20 А/с среднее значение возникающей э. д. с. самоиндукции 0,04 В.

30. Виток радиусом 1 см находится в магнитном поле напряженностью 20 кА/м. Плоскость витка перпендикулярна линиям индукции поля. Каково сопротивление витка, если при уменьшении напряженности поля до нуля по нему протекает заряд 1 мКл?

31. Рамка в виде кольца с током силой 1 А и радиусом 2 см находится в воздухе в однородном магнитном поле, напряженность которого равна 75 А/м. Плоскость рамки составляет угол 10° с вектором напряженности поля. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть рамку перпендикулярно полю?

32. Прямолинейный проводник с током силой 5 А и длиной 1м вращается со скоростью 50 с^-1 в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, относительно оси, проходящей через конец проводника. Напряженность магнитного поля 50 А/м. Определить работу, совершаемую сторонними силами при вращении проводника за 5 мин.

33. Определить работу внешних сил, совершаемую при перемещении проводника за 30 мин, если проводник движется со скоростью 30 км/ч перпендикулярно магнитному полю, напряженность которого 15 А/м (μ = 1). Длина проводника 20 см, по нему течет ток силой 0,5 А.

34. Определить индуктивность соленоида с железным сердечником, магнитный поток и энергию в нем, если по соленоиду длиной 30 см идет ток силой 3 А, диаметр соленоида 6 см и на каждый сантиметр длины приходится 10 витков. Зависимость индукции от напряженности магнитного поля показана на рис. 8.

35. Соленоид без сердечника с обмоткой из проволоки диаметром 1 мм имеет длину 1 м и поперечное сечение 40 см². Какой силы ток течет по обмотке при напряжении 25 В, если за время 0,001 с в обмотке выделяется столько же теплоты, какова энергия поля соленоида?

36. В соленоид длиной 30 см, имеющий число витков 900, вв

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: