Приближение числа. Погрешности приближённых значений чисел

Пусть X - точное значение некоторой величины, x - наилучшее приближение этой величины.

Определение: Абсолютной погрешностью е_х приближенного значения числа Х называется модуль разности между точным числом Х его приближенным значением х, т.е.

Определение: Число х называется приближённым значением точного числа Х с точностью до Dх, если абсолютная погрешность приближённого значения a не превышает Dх, т.е. ½ Х - х ½£ Dх. (1)

Определение: Число Dх называется границей абсолютной погрешности приближённого значения числа х.

Число Dх на практике стараются подобрать как можно меньше и простое по записи. Из неравенства (1) найдём границы, в которых заключено точное значение числа Х:

НГ_х= х - Dх - нижняя граница приближения величины Х.

ВГ_х= х +Dх - верхняя граница приближения величины Х.

Определение: Относительной погрешностью приближенного числа х числа Х называется отношение абсолютной погрешности Dх этого приближения к числу х, т.е.

Если первая значащая цифра в относительной погрешности

меньше 5, то граница относительной погрешности определяется из неравенства

, где n - количество верных цифр.

Вычисление погрешностей со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей. В таблице приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей и в предположении, что исходные данные a и b имеют предельные абсолютные погрешности

, т.е. у a и b все цифры верны.

Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры; значения погрешностей для удобства округляются (всегда в сторону увеличения значения погрешности) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе.

Пример. Вычислить значение функции

, а = 2,156, b = 0,927.

При вычислении предельных абсолютных погрешностей используем соотношение

Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой:

и вносим его в таблицу.

При этом возникает погрешность округления: 8,637-8,63652=0,00048.

Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044+0,00048=0,0049), которую так же вносим в таблицу.

Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а так же округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: А = 8,7

0,1.

Вычисления по методу строго учёта предельных абсолютных погрешностей можно выполнить на компьютере с помощью программы. Если не производить пооперационного учёта движения вычислительной ошибки, то достаточно вычислить значение предельной абсолютной погрешности окончательного результата, а затем произвести его округление.