ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

Приближение числа. Погрешности приближённых значений чисел

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Пусть X - точное значение некоторой величины, x - наилучшее приближение этой величины.

Определение: Абсолютной погрешностью е_х приближенного значения числа Х называется модуль разности между точным числом Х его приближенным значением х, т.е.

е_х = ½ Х - х ½.

Определение: Число х называется приближённым значением точного числа Х с точностью до Dх, если абсолютная погрешность приближённого значения a не превышает Dх, т.е. ½ Х - х ½£ Dх. (1)

Определение: Число Dх называется границей абсолютной погрешности приближённого значения числа х.

Число Dх на практике стараются подобрать как можно меньше и простое по записи. Из неравенства (1) найдём границы, в которых заключено точное значение числа Х:

х - Dх £ Х £ х + Dх.

НГ_х= х - Dх - нижняя граница приближения величины Х.

ВГ_х= х +Dх - верхняя граница приближения величины Х.

Определение: Относительной погрешностью приближенного числа х числа Х называется отношение абсолютной погрешности Dх этого приближения к числу х, т.е.

Если первая значащая цифра в относительной погрешности меньше 5, то граница относительной погрешности определяется из неравенства , где n - количество верных цифр.

Погрешности арифметических действий

х; у	∆(х; у)	δ (х; у)
х+у	x+ y
х-у	x+ y
ху
х/у

Погрешности значений функций

f(x)


а*х
sin x
cos x
tg x
ln x
lg x

arcsin x
arccos x
arctg x

Вычисление погрешностей со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей. В таблице приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей и в предположении, что исходные данные a и b имеют предельные абсолютные погрешности , т.е. у a и b все цифры верны.

Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры; значения погрешностей для удобства округляются (всегда в сторону увеличения значения погрешности) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе.

Пример. Вычислить значение функции , а = 2,156, b = 0,927.

а	b			+		a+	ln(a+ )	A
2,156	0,927	8,637	0,9628	9,600	0,860	3,016	1,104	8,70
а	b	()	()	( + )	()	(a+ )	ln(a+ )	A
0,0005	0,0005	0,0049	0,00027	0,0054	0,0016	0,0021	0,00076	0,016

Используя калькулятор, имеем .

При вычислении предельных абсолютных погрешностей используем соотношение .

Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой: и вносим его в таблицу.

При этом возникает погрешность округления: 8,637-8,63652=0,00048.

Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044+0,00048=0,0049), которую так же вносим в таблицу.

Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а так же округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: А = 8,7 0,1.

Вычисления по методу строго учёта предельных абсолютных погрешностей можно выполнить на компьютере с помощью программы. Если не производить пооперационного учёта движения вычислительной ошибки, то достаточно вычислить значение предельной абсолютной погрешности окончательного результата, а затем произвести его округление.

З а д а н и е 1. 1 Вычисление приближенного значения числа по заданной формуле

Вычислить приближенное значение величины F, используя метод строгого учета границ абсолютных погрешностей заданных значений параметров a, b, c.

Необходимые для расчета данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер варианта	F	a	b	c
		3,433	6,22	0,149
		4,05	6,723	0,3254
		0,7219	1,347	0,013
		3,672	4,63	0,0278
		1,2473	0,346	0,51
		11,7	0,937	5,081
		1,75	1,21	0,199
		18,0354	3,7251	0,071
		0,113	0,1056	89,4
		0,0399	4,83	0,072
		1,574	1,40	1,1236
		12,72	0,34	0,0290
		3,49	0,845	0,0037
		0,0976	2,371	1,15874
		0,11587	4,25	3,00971
		0,112	1,22	5,084
		12,3	0,43	0,029
		4,151	2,659	0,851
		14,85	0,87	10, 431
		2,119	5,431	1,679
		0,087	1,342	1,367
		11,831	0,341	1,971
		0,874	1,986	4,567
		1,75	1,21	0,041
		1,2451	2,346	0,517
		3,272	5,63	1,0278
		0,813	0,1056	1,94
		0,399	3,83	0,72
		0,991	0,85	0,722
		1,932	4,83	0,79