|
|
Метод Гаусса решения систем уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Под названием «метод Гаусса» фигурирует группа методов, объединенных идеей последовательного исключения неизвестных. Наиболее популярным является метод, основанный на так называемой схеме единственного деления; этот метод имеет также и ряд модификаций. Сам по себе метод Гаусса относится к точным методам. Это означает, что если точно выполнять все требуемые действия, получено точное решение, поскольку погрешность метода в данном случае равна нулю. Будем считать матрицу системы (2.7) невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю. Рассмотрим алгоритм, который получил название схемы единственного деления. Подвергнем систему (3.1) следующим преобразованиям. Считая, что Используя это уравнение, легко исключить неизвестное x Над остальными уравнениями системы совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений неизвестное Повторяя этот процесс, получим систему с треугольной матрицей:
Из системы последовательно находим значения неизвестных Отметим, что последовательное исключение неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. Нахождение значений неизвестных – обратным ходом. Пример: Решить систему линейных уравнений:
Решение: Запишем расширенную матрицу системы:
Так как,
Теперь элементы второй строки разделим на 19,685. И умножая их на (-0,938), вычтем из элементов третьей строки.
Элементы третьей строки, разделим на 29,732.
Получаем треугольную матрицу. Решая ее, начиная с последней строки, найдем значения неизвестных:
Так как в процессе решения выполнялись округления, то решение содержит вычислительную ошибку. Определение: Значение разностей между свободных элементов исходной системы и результатами подстановки в уравнения системы найденных значений неизвестных называется невязками. В рассмотренном примере невязки имеют следующие значения:
Следует заметить, что по величине невязок нельзя судить о погрешностях результатов, но можно уточнить решение системы, вычислив поправки для найденных значений неизвестных. Задание 4.1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса Таблица коэффициентов перед неизвестными х1, х2, х3 (аi1, аi2, аi3, здесь индекс i – номер уравнения в системе из 3 – х линейных алгебраических уравнений) и свободные члены - bi
Пример. Найти неизвестные х1, х2, х3 системы линейных алгебраических уравнений с помощью программы из пакета SciLab. 0.06х1+ 0.99х2+ 1.01х3= 0.92 0.01х1+ 0.02х2+ 0.03х3= 0.07 0.99х1 -0.82х2+ 0.66х3= -0.98 Матрица коэффициентов и свободных членов - А- имеет следующий вид А= 0.06 0.99 1.01 0.92 0.01 0.02 0.03 0.07 0.99 -0.82 0.66 -0.98
Листинг программы, в котором записана матрица А. n=3 a=[0.06 0.99 1.01 0.92;0.01 0.02 0.03 0.07; 0.99 -0.82 0.66 -0.98] //a=[…] A=a //организация цикла n1=n+1;for k=1:n, k1=k+1; s=a(k,k); j=k; //проверка условия for i=k1:n, r=a(i,k); if abs(r)>abs(s) then s=r; j=i; end //if end //next i line 240 if s==0 then disp('Det=0'); return end if j<>k then for i=k:n1, r=a(k,i); a(k,i)=a(j,i); a(j,i)=r; end end //расчет for j=k1:n1, a(k,j)=a(k,j)/s; end //next j line 280 for i=k1:n, r=a(i,k); for j=k1:n1, a(i,j)=a(i,j)-a(k,j)*r; end //next j line 300 end //next i end //next k from line 4//погрешность for i=n:-1:1, s=a(i,n1); for j=i+1:n, s=s-a(i,j).*x(j); end x(i)=s;endx //результаты (x1, x2, x3) Результат выполнения программы: //свободные члены уравнения ans = 24.895323 17.213808 - 17.44098 -->//свободные члены уравнения-->b=A(:,1:3)*x-правые части уравнений b = 0.92 0.07 - 0.98Раздел 5. Требования к оформлению курсовой работы Общие сведения Многие инженерные и научные задачи, возникающие в инженерной деятельности, требуют решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, матричных вычислений, решения дифференциальных уравнений и т.д. В настоящее время активное применение ЭВМ в математике связано с направлением, которое реализует численные методы средствами вычислительной техники и называется вычислительной математикой. Для решения инженерных задач на ЭВМ с использованием численных методов чаще всего применяется готовое специализированное программное обеспечение (MS Excel, Mathcad, Scilab и др.) или создаются программы, реализующие численные методы, на базе языков программирования высокого уровня. Эффективной формой учебного процесса при изучении дисциплин "Основы научных исследований", «Вычислительные методы и прикладные программы» является курсовая работа, способствующая закреплению, углублению, обобщению и прикладному применению получаемых знаний при решении инженерных задач.   Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
(ведущий элемент), разделим на 
коэффициенты первого уравнения: 
из остальных уравнений системы (достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (1), умноженное на соответствующий коэффициент при x 
.
, разделим элементы первой строки на 2,34. Затем из элементов второй строки вычтем элементы первой, умноженные на 8,04, а из элементов третьей - вычтем элементы первой, умноженные на 3,92.
.
.
.
,
