|
|
Свойства параллельных проекций.Стр 1 из 7Следующая ⇒ Рассмотрим некоторые свойства параллельных проекций. Точка в натуре проецируется в точку на плоскость проекций. Это свойство вытекает из правил построения в методе проекций. Прямая в натуре, в общем случае, проецируется в прямую на плоскость проекций. Если прямая направлена вдоль проецирующего луча, то ее проекцией будет точка. Для того, чтобы спроецировать прямую, необходимо взять все ее точки и каждую спроецировать на плоскость проекций. Множество полученных проекций точек будет представлять собой проекцию прямой. Возьмем на прямой АВ (рис. 1.7) точки С1, С2 и С3 и спроецируем их на плоскость ПN параллельно некоторому заданному направлению. Образовавшееся множество лучей представляет собой плоскость, так как все лучи пересекают прямую АВ и остаются параллельными некоторому направлению.
Инцидентность – взаимная принадлежность. Если точка лежит на прямой, то проекции точки лежат на проекциях прямой. Доказательство: пусть на прямой АВ (рис. 1.7) даны точки С1, С2 и С3. Проецирующие лучи, проходящие через эти точки, лежат в проецирующей плоскости Σ и пересекаются с проекцией прямой АN BN в точках Эти три свойства относятся также и к центральной системе проецирования. Деление отрезка в данном отношении. Если точка делит отрезок в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении. Доказательство: пусть точка С1 (рис. 1.7) делит отрезок АВ в отношении Проецирующие лучи ААN, С1С Проекции параллельных прямых. Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции также параллельны (рис. 1.8). Доказательство: прямые АВ и CD проецируются с помощью проецирующих плоскостей Σ и Т, но Σ ║ Т, т. к. АВ ║ CD по условию и ААN ║ ССN - по построению. Известно, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то образуются параллельные прямые. Здесь две параллельные плоскости Σ и Т пересекаются плоскостью проекций ПN и образуются параллельные прямые (АNВN ║ CNDN).
Так же доказывается теорема относительно любой плоской кривой и любой плоской фигуры. Частный случай проецирования прямого линейного угла. Если плоскость угла не параллельна плоскости проекций, то в общем случае угол проецируется с искажением.
Пусть АВ проецируется с помощью плоскости Σ, а ВС - с помощью плоскости Т, тогда: 1) ВС 2) ВNСN 3) ВNСN 1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры. Это геометрические фигуры, образованные проецирующими лучами. Проецирующими геометрическими фигурами могут быть: - прямые - проецируют точки; - плоскости - проецируют прямые линии и плоские фигуры; - цилиндрические поверхности в параллельной системе проецирования и конические поверхности в центральной системе проецирования - проецируют пространственные кривые линии и пространственные фигуры. Основное свойство проецирующей геометрической фигуры заключается в том, что точки, прямые или кривые линии, плоские и пространственные фигуры, расположенные на проецирующей геометрической фигуре, проецируются на линию пересечения этой фигуры с плоскостью проекций. Эта линия называется следом данной проецирующей геометрической фигуры или ее главной проекцией. На рис. 1.11 показаны проецирующие геометрические фигуры в ортогональной системе проецирования: проецирующая прямая а, проецирующая плоскость Σ и проецирующая цилиндрическая поверхность Ф.
1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа. Ранее было показано, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве. Для того, чтобы чертеж был полным и обратимым, т.е. для того, чтобы по чертежу можно было представить положение точки в пространстве, применяются разные способы. Способ числовых отметок. Около проекции точки ставится число, выражающее в некоторых линейных единицах расстояние данной точки от плоскости проекций. На рис. 1.12 даны проекции различных геометрических фигур с числовыми отметками.
Около проекции точки А стоит цифра 20. Это означает, что точка А отстоит от плоскости проекций на расстоянии 20 линейных единиц. Концы отрезка ВС отстоят от плоскости на расстояниях 15 и 30, вершины треугольника DEF - на расстояниях соответственно 0, 10 и 25. Кривая поверхность задана кривыми линиями, принадлежащими поверхности и параллельными плоскости проекций (горизонталями, если плоскость ПN горизонтальна). Около каждой горизонтали стоит число, выражающее ее расстояние от плоскости ПN. С помощью горизонталей изображается рельеф земной поверхности на топографических картах и сложные кривые поверхности, в том числе поверхности манекена и обувной колодки. Способ применения двух плоскостей проекций. Точка проецируется на две плоскости проекций П1 и П2 (рис. 1.13). При ортогональном проецировании принято располагать плоскости проекций перпендикулярно друг другу (П1
Линия пересечения плоскостей проекций обозначается буквой х, около которой ставятся индексы плоскостей, линией пересечения которых она является, т.е. х12. Вторая плоскость проекций П2 является дополнением однокартинного чертежа на П1. Если даны проекции точек А1 и А2 на П1 и П2, то всегда можно определить положение точки в пространстве на пересечении перпендикуляров, восстановленных к плоскостям проекций из этих точек. Таким образом, проекции точки на две взаимноперпендикулярные плоскости проекций дают полное представление о положении точки в пространстве. Способ дополнения однокартинного чертежа с помощью второй плоскости проекций в настоящее время принят в технике как основной.   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Плоскость, образованная проецирующими лучами, называется проецирующей. Обозначим ее буквой Σ. При пересечении плоскостей Σ и ПN образуется прямая АN BN, которая является проекцией прямой АВ.
, 
и 
, так как АN BN также лежит в плоскости Σ.
. Из рисунка видно, что прямая АВ и ее проекция АN BN лежат в одной проецирующей плоскости Σ и пересекаются.
и ВВN параллельны. Известно, что параллельные прямые отсекают на пересекающихся прямых пропорциональные части, следовательно 
.
Проекции геометрических фигур, параллельных плоскости проекций. Если данная геометрическая фигура - прямая, кривая линия или плоская фигура (треугольник, многоугольник, эллипс, окружность и т. п.) лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на плоскость проекций в натуральную величину. Доказательство: дано Σ ║ ПN и АВ 
Σ (рис. 1.9). Требуется доказать, что АВ ║ АNВN и АВ = АNВN. Так как Σ ║ ПN , то отрезки ААN и ВВN равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник АВВNАN является параллелограммом и АВ ║ АNВN, АВ = АNВN.
В частном случае для ортогонального проецирования имеет место следующее: если одна сторона прямого линейного угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется в натуральную величину ( рис. 1.10 ). При этом плоскость угла не параллельна плоскости проекций. Доказательство: дано АВ 
ВС; ВС ║ ПN; АВ ╫ ПN. Требуется доказать, что ВNСN 
Прямая а, плоскость Σ и образующие цилиндрической поверхности Ф перпендикулярны плоскости проекций ПN . Их главные проекции аN , ΣN и ФN включают в себя проекции всех точек данной проецирующей геометрической фигуры.
Проекция точки на каждой плоскости проекций обозначается той же буквой, что и сама точка, но с индексом данной плоскости проекций. Так, проекция точки А на плоскость П1 обозначается А1.