Собственные частоты и формы колебаний системы с двумя степенями свободы. Главные координаты.

Системы с 2-мя степенями свободы:

1. Два тела по 1 степени свободы.

1. одно тело с двумя степенями свободы.

Собственные колебяния(для первого рисунка):
;

=>

-главные колебания

;

Если положение системы, от которого отсчитываются перемещения является положением устойчивого равновесия, то все корни Ур-я действительны и положительны. Таким образом, система с 2 степенями свободы имеет 2 частоты собственных колебаний(). В общем случае все корни, а значит и все собственные частоты различные.
T1: - действительные:

Т2 >0; (d+a)/2=p>0; Q=d(a-b)=df>0

1-й тон колебаний

2-й тон колебаний

Каждой собственной частоте соответствует определённая форма колебания, т.е. определённое соотношение между всеми амплитудными перемещениями

Произвольно задав одно из амплитудных перемещений из уравнения можно найти второе.
Пусть - опорные коэф-ты (как масштаб)

- коэф-т формы.

Собственные формы колебаний показывают отношение м/д максимальными амплитудами при главных колебаниях при заданной частоте.

Собствен. Форма- величина безразмерная

А1 задаёт масштаб.

Главные нормальные координаты – координаты в которых кинемат. И потенц. Энергия представлены квадратичными формами в канонич.виде.

Переход к главным нормальным координатам.

Т.О главных формах колебаний. Переход к ГНК осуществляется заменой переменных:

Док-во:

=>

Основной параметрический резонанс в уравнении Матье. Границы области неустойчивости, решение и с.д.у. для амплитуды и фазы решения в первом приближении.

В некоторых случаях при периодически изменяющихся параметрах возникают нарастающие колебания системы, имеет место параметрический резонанс.

- основной параметрический резонанс.

- резонанс второго порядка..

и т.д.

- уравнение Матье.

-Коэф при ; -при ; -всё остальное.

; ;

найдём д.у и решения амплитуды и фазы.

/2

Граница области неустойчивости =0; =0

=>

Замена Боголюбова

=>

1)

2)

;a(t)->∞ При t→∞ t пропорционально линейному закону, причина в том,что мы взяли только первое приближение.

3)

Колебания систем с двумя степенями свободы. Случай нулевых и кратных собственных частот.

Случай нулевых частот

; ; ;

1) ; ;

;

2) ; ; ;

Наличие нулевой собственной частоты говорит о том, что система может двигаться как жесткое целое.

Имеется КА состоящий из 2-х отсеков, соединенных фермой.

; ;

;

;

;

Случай кратных частот

2 степени свободы.

Возможны 2 независимых движения: по ОХ и по ОУ.

;

;

; ;

;

;

если bd=0 b=0 d=0

a=f

Метод последовательных приближений.

(1) малый параметр

(2) – асимптотический ряд

; n – номер приближения

невозмущенное движ-е

Симпатические маятники

; i=1,2

;

(1) - (2):

(1) + (2):

; ;

; пусть

;

н.у. t=0

; ; ; ; ;

; ; ;

Метод Пуанкаре на примере уравнения Матье в первом приближении.

(метод исследования параметрических колебаний)

α – частотная расстройка

Рассмотрим метод Пуанкаре на примере уравнения Матье:

Уравнение (*):

Коэффициенты при резонансных слагаемых:

При :

При :

Возведём в квадрат и сложим:

Пусть , подставляем в ур-е (*). Все резонансные слагаемые обнуляются. В итоге получим:

Тогда

17.Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы.Амплитудно-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика системы с двумя степенями свободы.

Метод Релея.Метод Ритца.На примере балки постоянного сечения.

Метод Релея и метод Ритца относятся к приблежённым методам исследования колебания.

Метод Релея:

, где - необходимо задать такую, чтоб она удовлетворяла кинематическим граничным условиям.

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

В результате получаем:

Теорема Релея:

весгда больше чем первая собственная частота . .

Пример:

Кинематические граничные условия:W(0)=0,W(l)=l.

Силовые граничные условия:

Точное решение:

Метод_Ритца

, где - произвольная, удовлетворяющая кинематическим условиям функция.

Пример:

,

19. Резонанс в системе с двумя степенями свободы. Динамическое демпфирование.

æ₁=d/(d-ω²₁)>0;d> ω²₁; æ₂=d/(d-ω²₂);d< ω²₂

Динамический демпфер

20. Определение крит. продольной нагрузки для стержня в случае шарнирного закрепления.

ω²>0 – устойчивость

ω²=0 – граница устойчивости

ω²<0 – неустойчивость

Пусть гр.у. – шарниры; E,J, ρ – const

Граница устойчивости.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: