Колебание систем с конечным числом степеней свободы. Главные формы колебаний. Условия ортогональности.

Переход к г.н.к.. Условия ортогональности.

Применение условия ортогональности

Если известна м-ца [A], тогда {x}=[A]{φ}, где {φ} – вектор главных нормальных координат.

Поперечные колебания стержней постоянного сечения. Вывод уравнений, Граничные условия, Точное решение на примере консольно закрепленного стержня,

, ,

1. Плоское сечение
2. 

Проекция на ОУ:

, ,

- уравнение поперечных колебаний

Начальные условия:

Граничные условия:

Кинематические: - прогиб; - угол поворота сечения

Силовые факторы: - момент; - поперечная сила

1)

2)

3)

4)

Поперечные свободные колебания стержня постоянного сечения:

, (1)

Начальные условия:

Граничные условия:

(2)

(2)→(1)

1) Краевая задача

, , ,

2) задача Коши

! ! – балочная функция

→ . Тогда

2)

Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней свободы. Резонанс. Динамическое демпфирование.

Если - резонанс

Если - антирезонанс

Динамическое демпфирование:

Существует интересная возможность практической борьбы с колебаниями; ею пользуются в некоторых областях техники. Допустим, что имеется некоторая система с одной степенью свободы, подподверженная действию гармонической вынуждающей силы. Усложнив систему путем добавления дополнительной массы на упругой связи и подчинив значения жесткости и массы дополнительной части условию, можно добиться устранения вибраций основной части системы; в этом случае дополнительная часть системы называется динамическим гасителем колебаний {динамическим виброгасителем).

Метод степенных рядов.

(1)

Тогда:

Пример: Случай разделения балки на участки.

6 уравнений, 2 гр. Условия при х=l, 4 условия стыковки при х=a

Колебания с линейным демпфированием в системе с конечным числом степеней свободы. Условия разделения СДУ при переходе к главным координатам

Модели трения:

- сухое трение

-вязкое трение

-гидродинамическое трение

Трение бывает внешним и внутренним.

Демпфер.

Система с вязким трением никогда не остановится.

Систему останавливает вязкое трение.

n- декремент (затухания) колебаний

1)

X= непериодическая (квазипериодическая) функция

-логарифмический декремент затухания

2) Апериодическое движение

Условия разделения СДУ при переходе к главным координатам:

Условие ортогональности

и все уравнения (7) складываются

Так как матрица диагонально симметрична

если

Условие М-ортогональности

Применение условия ортогональности:

Если известна

где -вектор главных нормальных координат

Таким образом, нормализация для систем с n степенями свободы происходит следующим образом:

Продольные колебания стержней поперечного сечения. Вывод уравнений, Граничные условия, Точное решение на примере консольно закрепленного стержня.

Колебания систем с распределенными параметрами.

Модели:

1) Трехмерные

2) Двумерные: пластинки и оболочки

3) Одномерные: стержни, балки, торсионы.

Материал:

1) Однородный

2) Изотропный

3)

Уравнение продольных колебаний стержня

Допущения:

1) Сечение остается плоским (неизменное сечение)

2) Деформации происходят вдоль оси ox

3) – малая величина

4) – малая величина.

, S – сила, прилож-я к сечению.

, где а – скорость звука.

Н.У.:

Граничные условия

Гр.У.:

Кинематические и силовые условия зависят от вида закрепления на левом () или на правом () крае:

1) Заделка:

2) Свободный край:

3) Упругое закрепление:

Виды решения:

– колебания;

– волна.

Точное решение на примере консольно закрепленного стержня.

(1), где точка означает производную по времени, а штрих – производную по координате.

Н.У.:

Гр.У.:

Решение ищем в виде:

(2) – колебания;

– форма колебаний.

– обобщенная координата.

(2) → (1):

(3)

Необходимо решить 2 задачи:

1) Краевая задача:

Гр.У.:

2) Задача Коши:

Н.У.:

1) Решение краевой задачи

=> Упругая система имеет бесконечное число степеней свободы.

2) Решение задачи Коши

3)

– опорный коэффициент.

Н.У.:

Рассмотрим интеграл:

1) :

2) :

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: