|
|
Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей.Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, описывается уравнениями Кирхгофа, однако вычисления становятся более громоздкими, так как уравнения содержат тригонометрические функции. Для упрощения решения уравнений в электротехнике широко используется математический аппарат комплексных чисел. Понять принцип расчета цепей синусоидального тока с помощью комплексных чисел можно на простейшем примере. На рисунке 8а, показан узел электрической цепи, к которому подсоединены три ветви.
Сформулируем задачу следующим образом: известны токи
нужно определить ток
или
Из (13) очевидно, что искомый ток будет также синусоидальной функцией времени с угловой частотой, равной известной частоте
Решение поставленной задачи требует определения двух величин -амплитуды Вспомним выражение синусоидальной функции через комплексные показательные
где Выразим все слагаемые уравнения (13) через комплексные показательные функции, сократим общий множитель
Полученное уравнение справедливо для любого момента времени, а показатели степени в его левой и правой частях имеют разные знаки, что возможно только в случае, если обе части уравнения равны нулю. Отсюда следует
Упростим уравнение (17), разделив все его члены на общий множитель
Проанализируем каждый член выражения (18). Первый член в правой части уравнения – комплексное число, модуль которого Комплексные числа в уравнении (18) называют комплексными амплитудами тока и обозначают той же буквой, что и амплитуду синусоиды, но над буквой ставят точку
при этом уравнение (18) можно записать в более компактном виде:
Полученное уравнение соответствует первому закону Кирхгофа для схемы рисунка 8а, записанному в комплексной форме. На схемах замещения можно также использовать комплексные изображения электрических величин (см. рисунок 8б). Подобным образом вводится также понятия комплексных амплитуд для напряжения и ЭДС, тогда
Очевидно, что между комплексными амплитудами и синусоидальными функциями времени существуют простые взаимно однозначные соответствия, как между изображением и оригиналом:
Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде синусоидальной величины, а аргумент - ее начальной фазе. Комплексные действующие значения пропорциональны комплексным амплитудам и записываются в виде
Комплексному числу принято присваивать размерность той электрической величины, которую он изображает. Комплексные изображения несут информацию только о двух параметрах синусоиды – амплитуде и начальной фазе, не отражая ее третьего параметра – угловой частоты В формулах (21), (23) комплексные амплитуды записаны в показательной форме. Для перехода к алгебраической форме можно воспользоваться формулой Эйлера
тогда комплексная амплитуда тока
Комплексные сопротивления. При анализе и расчете цепей синусоидального тока особенный интерес представляет сопоставление по амплитуде и начальной фазе тока и напряжения одного и того же пассивного участка электрической цепи. В самом удобном и компактном виде это сопоставление осуществляется с помощью комплексных чисел. Введем понятие комплексного сопротивления, которое определяется отношением комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока:
Комплексное число
где Z – модуль, a Модуль комплексного сопротивления Z, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока:
Аргумент комплексного сопротивления
Комплексное сопротивление можно выразить также через комплексные действующие значения напряжения и тока:
Отметим, что обозначение комплексного сопротивления отличается от обозначения комплексных токов и напряжений – вместо точки над буквой символ комплексного сопротивления имеет черту снизу. Это различие объясняется тем, что сам комплекс Соотношения
аналогичные по форме записи закону Ома для цепи постоянного тока, называют законом Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действующих значений.
Обозначение комплексного сопротивления на схемах замещения приведено на рисунке 9.
  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
,
. Задачу решим, используя первый закон Кирхгофа
. (13)
:
. (14)
и начальной фазы 
. Безусловно, что решение может быть найдено по правилам тригонометрии, однако для произвольных значений углов 
и 
такое решение довольно громоздко. Кроме того, в общем случае речь идет о решении уравнений, содержащих большее число членов, нежели уравнение (13). Применение комплексных чисел существенно упрощает решение поставленной задачи и, кроме того, позволяет наглядно иллюстрировать решение задачи графическим построением на комплексной плоскости.
, (15)
– аргумент синусоидальной функции; 
– мнимая единица; е – основание натурального логарифма.
и после перестановки членов получим
(16)
. (17)
, и перепишем в виде
. (18)
равен амплитуде тока 
, а аргумент 
. Просуммировав два известных комплексных числа, стоящих в правой части уравнения, мы получили комплексное число, модуль которого равен амплитуде искомого тока 
(19)
. (20)
. (21)
. (22)
(23)
.
, (24)
. (25)
. (26)
дает информацию как о соотношении амплитуд 
и 
, так и о сдвиге фаз между напряжением и током. Действительно,
– аргумент комплексного сопротивления.
. (27)
. (28)
. (29)
, (30)