Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.

Рассмотрим на плоскости прямую заданную параметрическими уравнениями . а₁ и а₂ – координаты направляющего вектора. прямая не параллельна оси ОУ. -уравнение прямой решенное относительно ординаты. Его можно получить решая уравнение относительно у.

Определение: отношение координат направляющего вектора называется угловым коэффициентом прямой.

Таким образом справедливо утверждение: Если прямая не параллельна оси ОУ() то ее уравнение может быть записано в виде (4), где k – угловой коэффициент, а b – ордината пересечения прямой с осью ОУ.

Если ПДСК то из рисунка видно что Угол считается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от оси абсцисс к оси ординат.

Теорема: Если прямая параллельна оси ОУ(), то её уравнение имеет вид x=x₀, где x₀ – точка пересечения прямой с осью Ох.

Доказательство: Из (6) имеем (ч.т.д.)

Исключим теперь параметр t из параметрических уравнений в пространстве. - координаты направляющего вектора прямой. Предположим сначала что все координаты направляющего вектора отличны от нуля, тогда т.е.

Замечание: Прямая в пространстве всегда может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Значит она и должна задаваться системой из двух уравнений.

Пусть одна из координат равна 0. Пусть для определенности , тогда уравнения (5) будут иметь вид .

Пусть и тогда . В этом случае прямая параллельна одной из координатных осей. В данном случае Oz.

Как правило пишут уравнение произвольной прямой в виде (2), уславливаясь считать что если равен 0 знаменатель, то числитель равен 0. Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой. - направляющий вектор прямой.

35. Векторные уравнения прямой и плоскости.

Ясно что точка М будет принадлежать плоскости тогда и только тогда когда или . Уравнение (3) имеет место и для ОДСК. Уравнение (3) называется векторным уравнением плоскости.

Если и направляющие вектора плоскости, тогда в качестве нормального вектора плоскости можно взять , тогда (3) перепишем в виде . Уравнение (3’) в координатyой форме только для ДПСК имеет вид А(х-х₀)+ В(у-у₀)+ С(z-z₀)=0 (3’’).

Уравнение (3’’) является уравнением плоскости проходящей через точку М₀ (х₀ у₀ z₀)^ заданному вектору (А,В,С)

Векторные уравнения прямой линии в пространстве. Т очка М принадлежит прямой тогда и только тогда когда , т.е.

Посмотрим теперь как связаны между собой два общих уравнения определяющих одну и ту же прямую линию или плоскость в ДПСК. Пусть для определенности даны два уравнения плоскости П: (4). Векторы - являются нормальными векторами в одной и той же плоскости. Значит

. Умножим обе части (4) второго уравнения на t и вычтем из первого. Получим . Следовательно коэффициенты общих уравнений определяющих одну и туже прямую или плоскость пропорциональны.

Признаки параллельности плоскости и прямой на плоскости. Плоскости и прямые на плоскости задаваемые своими общими уравнениями параллельны тогда и только тогда когда соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны. Если пропорциональны все коэффициенты то плоскости и прямые совпадают.

Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.

Система двух уравнений первой степени , в которых коэффициенты x,y,z не пропорциональны определяют некоторую прямую EF в пространстве как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (8) называются общими уравнениями прямой в пространстве. Любое решение системы (8) x₀,y₀,z₀ дает нам координаты начальной точки М(x₀,y₀,z₀). Направляющий вектор прямой

Приведем уравнение прямой к каноническому виду . Учитывая написанное выше получим .

Уравнение прямой через две точки. Уравнение прямой проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и плоскости.

Уравнения в отрезках.

Уравнение прямой проходящей через две точки.

Уравнение прямой проходящей через три точки.

Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости тогда и только тогда когда - компланарны, т.е. .

- искомое уравнение плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая задана своими общими уравнениями то в качестве направляющего вектора можно взять . тогда (9) примет вид

или . Отсюда следует что три плоскости пересекаются в одной точки тогда и только тогда когда Т.к. это неравенство означает что прямая линия по которой пересекаются какие-нибудь две из плоскостей не параллельна третьей.

Уравнения в отрезках. Уравнения вида называется уравнением плоскости в отрезках. - уравнение прямой на плоскости в отрезках. Геометрический смысл чисел a,b,c: a,b,c – это величины отрезков отсекаемых плоскостью от осей координат Ox,Oy,Oz соответственно.(точка О – начало отрезков).

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: