Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.

Выражения вида называются линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициенты линейной комбинации векторов. Линейная комбинация векторов обладает следующими свойствами: 1) Если коллинеарны то любая их линейная комбинация с ними коллинеарна.

2) Если компланарны то любая их линейная комбинация с ними компланарна.

Определение: 1)Любые три некомпланарных вектора взятые в определенном порядке называются базисом в пространстве.

2) Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара не коллинеарных векторов на этой плоскости.

3) Базисом на прямой называется любой отличный от 0 вектор этой прямой.

Вектор базиса на плоскость < >0, а в пространстве никакие 2 вектора не являются коллинеарными.

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов то говорят что этот вектор разложен по этим векторам.

Определение: Если базис в пространстве и то числа называются координатами вектора в базисе . Обозначение .

Теорема. (о разложении по базису): 1)Каждый векторïï какой-нибудь прямой может быть разложен по базису на этой прямой.

2)Каждый векторïïнекоторой плоскости может быть разложен по базису на этой плоскости

3)Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

4)Координата вектора в каждой из трех случаев определяется однозначно

Доказательство: 1) Пусть - базис на прямой и . И пусть (+ если и – если . Ясно что . .

2) Пусть базис на плоскости. Перенесем начала векторов а, е₁ и е₂ в точку О. Через конец А вектора а проведем прямую .

Из рисунка видно что .

3) Пусть базис в пространстве. Вектор а – произвольный.

Отложим вектора от некоторой точки О. Дальше все рассуждения аналогичны пункту 2).

4) Докажем единственность разложения по базису. Методом от противного. Пусть вектор а можно разложить по базису двумя разными способами.

. Из (2) вычтем (1):

а это противоречит некомпланарности базисных векторов. Полученное противоречие доказывает единственность разложения векторов. (ч.т.д.)

Опираясь на свойства сложения и умножения векторов легко доказать следующие свойства:1) При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

2) При сложении векторов соответствующие координаты этих векторов складываются.

Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.

Определение: Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство: (*)

Если (*) выполняется только тогда когда , то система векторов называются линейно независимымой.

Свойства: 1.Если среди есть то эта система векторов линейно независима.

2.Если к линейно независимымой системе векторов добавить один или несколько b₁b₂…b_j, то ,b₁b₂…b_j будет линейно независимымой.

3.Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы раскладывается в линейную комбинацию остальных.

4.Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны.

5.Любые три компланарных вектора линейно зависимы и три линейно зависимых вектора компланарны.

6. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательства: 1. Получим что один из коэффициентов всегда отличен от 0.

5. Пусть даны три компланарных вектора рассмотрим любые два из них. Если они коллинеарны то линейно зависимы и сами по себе и с третьим вектором. Если же эти векторы не коллинеарны то третий вектор раскладывается по ним как по векторам базиса и следовательно они линейно зависимы. Обратно. Из трех линейно зависимых векторов один раскладывается по двум другим следовательно они коллинеарны.

6. Рассмотрим три вектора из четырех. Если они компланарны то линейно зависимы и сами по себе и с третьим вектором. Если они не компланарны то четвертый вектор по ним раскладывается как по векторам базиса. Следовательно все четыре вектора линейно зависимы.

Основная теорема о величинах векторов на оси. Проекция вектора на ось. Величина проекции вектора на ось. Проекция (величина проекции) суммы векторов. Проекция (величина проекции) произведения вектора на число. Проекция (величина проекции) линейной комбинации векторов.

Определение: Будем называть координатной осью прямую l на которой с помощью еденичного вектора e заданы начало отсчета, направление,еденица длины.

Определение: Углом между а и осью l называется угол между этим вектором и вектором задающим направление оси.

Определение: Пусть вектор лежит на оси l. Величиной вектора а расположенного на оси l будем называть длину этого вектора если êа÷ и ось l а ­­ l и -êа÷ если а­¯l. Обозначение .

Основная теорема о величинах векторов на оси: Для любых 3-х точек А,В,C оси l имеет место следующее соотношение между величинами векторов или что все равно

Доказательство: Если все три точки А,В,С различны то их взаимное расположение может быть таким как показано на рисунке.

В случае 1 равенство (1) утверждает что длина отрезка равна сумме длин его частей следовательно оно справедливо.

В случае 2

Все остальные случаи рассматриваются аналогично.

Пусть теперь А и В совпадают, в этом случае утверждение теоремы очевидно. (теорема доказана).

Пусть е некоторая прямая и плоскость П не параллельна прямой е. Через произвольную точку А проведем плоскость П’ параллельную П. Плоскость . Точка А’ называется проекцией точки А на прямую е взятой параллельно плоскости П. Если П перпендикулярна е то проекция называется прямоугольной(ортогональной), в этом случае А’ – основание перпендикуляра опущенного из точки А. Возьмем произвольный вектор . Проецируя точки А и В на е получим вектор который называется . Пусть е – координатная ось - масштабный вектор этой оси. Тогда наряду с проекцией вектор на ось е, взятой параллельно П можно говорить о величине этой проекции которую будем обозначать .

Теорема: Величина прямоугольной проекции вектора на ось е равна произведению длины этого вектора на . Т.е. .

Проекция вектора на ось е в плоскости. Пусть ось е лежит в плоскости α и е₁ прямая не параллельная е, лежащая в этой плоскости. Через произвольную точку А проведем прямую параллельную е₁. Тогда точка А’ называется проекцией точки А взятой параллельно е₁. Понятие проекции и величины проекции вектора на ось вводятся аналогично.

Понятие точки и вектора на плоскости. Точка А’ – проекция точки А на плоскости П, взятой параллельно прямой е. Если е перпендикулярна - П проекция перпендикулярна П, то проекция называется ортогональной (прямоугольной). Аналогично предыдущим пунктам вводится понятие вектора на плоскости.

Проекция суммы векторов. Пусть на ось е проецируются вектора и . Проецирование производится параллельно плоскости П или прямой е₁, если , и е находятся в одной плоскости.

Легко доказать (смотри рисунок) что . Из основной теоремы о величинах векторов на оси следует, что величина . С помощью метода математической индукции равенства (2) И (3) можно распространить на случай произвольного числа слагаемых:

Проекция произведения вектора на число: Покажем что имеют места равенства:

Доказательство: При α=0 равенство очевидно. Пусть α отлично от 0. Если рассмотреть подобные треугольники то равенство становится очевидным. Формулы (4)-(7) позволяют записать: Т.е. линейная комбинация векторов на ось е есть линейная комбинация проекций этих векторов. Тоже самое относится к величинам проекций.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: