Свойства определителя матрицы

Свойства определителя матрицы

1)Теорема: Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Доказательство: А) Определим вначале знак члена определителя при произвольном порядке сомножителей.

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αk, βk}… a_{αl, βl}… a_{αn, βn} (*)

α₁, α₂… α_k… α_l...α_n (1) – перестановка номеров строк.

β₁, β₂… β_k… β_l...β_n (1’) – перестановка индексов столбцов.

Обозначим число инверсий в перестановке (1) – S_1, в перестановке (1’) – S₁’. Рассмотрим сумму S₁+ S₁’, и покажем, что четность или нечетность этой суммы не меняется ни при каком изменении порядка множителей. Ясно что от одного порядка множителей к другому можно перейти с помощью конечного числа транспозиций множества. Поэтому достаточно доказать, что характер четности числа S₁+ S₁’ не изменится при одной транспозиции множества в произведении(*).

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αl, βl}… a_{αk, βk}… a_{αn, βn} (**)

α₁, α₂… α_l… α_k...α_n (2)

β₁, β₂… β_l… β_k...β_n (2’)

Число инверсий в перестановке (2) – S₂, в перестановке(2’) - S₂’. Рассмотрим число S₂+S₂’. S₁ и S₂ имеют разный характер четности. S₁’ и S₂’ имеют разный характер четности следовательно суммы S₁+ S₁’ и S₂+S₂’ имеют одинаковый характер четности. Напишем множители рассматриваемого члена определителя (*) в порядке следования строк: a_{1, j1}, a_{2, j2}…a_{n, jn} (3).

Обозначим число инверсий столбцов через S, число инверсий в перестановке строк =0. Таким образом по доказанному числа 0+S и S₁+S₁’ имеют одинаковый характер четности. Следовательно, знак члена определителя (*):

(-1)^S=(-1)^S1^+S1^’

В)

Рассмотрим произвольный член определителя D: a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αn, βn} - он будет и членом определителя D₁, т.к. в нем в качестве множителя взят один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы определителя D₁(в D первые индексы – номера строк, вторые – номера столбцов, а в определителе D₁ – наоборот).

Покажем что знаки этого члена, как в D, так и в D₁ будут одинаковы. Это следует из того что знаки этого члена и в D и в D₁ определяются суммой числа инверсий в перестановках первых и вторых индексов. D=D₁ .(ч.т.д.)

Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.

Теорема: Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.

Доказательство:

a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…*a_{k, γk}*…*a_{l, γl}*…*a_{n, γn} – член определителя D, он будет и членом определителя D₁, но знак его здесь будет противоположный.

Знак этого члена определителя в D: γ₁,γ₂…γ_k…γ_l…γ_n (1)

А в D₁: a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…* a_{l, γl} *…* a_{k, γk} *…*a_{n, γn}

γ₁,γ₂…γ_l…γ_k…γ_n (2)

Перестановки (1) и (2) отличаются одной транспозицией, значит характер четности этих перестановок разный. Следовательно рассматриваемый член в D и в D₁ имеет разные знаки. Следовательно D= – D₁.(ч.т.д.)

Следствие: Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.

Доказательство: Допустим в матрице определителя D две одинаковые строки. Поменяем местами эти две одинаковые строки. Определитель соответствующий новой матрице обозначим D₁. Согласно доказанной теореме
D= – D₁. Но т.к. мы поменяли две одинаковые строки и матрица не изменилась, следовательно, D=D₁. Получаем и D=0.(ч.т.д.)

Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.

Теорема: Если все члены некоторой строки матрицы определителя умножить на некоторое число с, то порожденный ею определитель умножится на это число.(Общий множитель элементов некоторой строки матрицы можно вынести за знак определителя).

Доказательство: Если определитель D представить по определению как алгебраическую сумму всевозможных произведений, то каждый член определителя в качестве множителя будет содержать число С. Вынесем С за скобку. Алгебраическая сумма, которая будет находиться в скобках, равна определителю матрицы А.(ч.т.д.)

Следствие: Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.

Доказательство: по следствию из теоремы о перестановке двух строк в матрице определителя.

Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

Метод окаймляющих миноров.

Теорема: Пусть матрица А имеет отличный от 0 минор M_r r-го порядка, все миноры r+1 порядка содержат минор M_r(окаймляющий минор)=0, тогда ранг матрицы А=r.

Доказательство: Предположим что есть M_s s>r < >0 s-столбцы образующий этот минор будут линейно не зависимы,т.к. все столбцы матрицы А образующие M_s являются линейной комбинацией r-столбцов на которых расположен минор M_r, то представив каждый столбец M_s в виде линейной комбинации столбцов на которых расположен минор M_r. И представив M_s в виде суммы определителей увидим, что каждый определитель этой суммы имеет пропорциональные столбцы, а значит M_s=0. Таким образом M_s=0 получили противоречие, значит наивысший порядок отличный от 0 M_r= M_r r, т.е. r(A)=r. ч.т.д.

Правило вычисления ранга матрицы: Ищем минор первого или сразу второго порядка ≠0 затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка до тех пор пока не найдем среди них отличный от 0. Если уже найден минор отличный от нуля то вычисляем окаймляющие его миноры. Если все они равны 0 или таких миноров не существует(число строк и столбцов матрицы А равно r) то ранг матрицы равен r. Если среди миноров r+1 порядка есть отличный минор от 0 то продолжаем этот процесс.

Основная теорема о величинах векторов на оси. Проекция вектора на ось. Величина проекции вектора на ось. Проекция (величина проекции) суммы векторов. Проекция (величина проекции) произведения вектора на число. Проекция (величина проекции) линейной комбинации векторов.

Определение: Будем называть координатной осью прямую l на которой с помощью еденичного вектора e заданы начало отсчета, направление,еденица длины.

Определение: Углом между а и осью l называется угол между этим вектором и вектором задающим направление оси.

Определение: Пусть вектор лежит на оси l. Величиной вектора а расположенного на оси l будем называть длину этого вектора если êа÷ и ось l а ­­ l и -êа÷ если а­¯l. Обозначение .

Основная теорема о величинах векторов на оси: Для любых 3-х точек А,В,C оси l имеет место следующее соотношение между величинами векторов или что все равно

Доказательство: Если все три точки А,В,С различны то их взаимное расположение может быть таким как показано на рисунке.

В случае 1 равенство (1) утверждает что длина отрезка равна сумме длин его частей следовательно оно справедливо.

В случае 2

Все остальные случаи рассматриваются аналогично.

Пусть теперь А и В совпадают, в этом случае утверждение теоремы очевидно. (теорема доказана).

Пусть е некоторая прямая и плоскость П не параллельна прямой е. Через произвольную точку А проведем плоскость П’ параллельную П. Плоскость . Точка А’ называется проекцией точки А на прямую е взятой параллельно плоскости П. Если П перпендикулярна е то проекция называется прямоугольной(ортогональной), в этом случае А’ – основание перпендикуляра опущенного из точки А. Возьмем произвольный вектор . Проецируя точки А и В на е получим вектор который называется . Пусть е – координатная ось - масштабный вектор этой оси. Тогда наряду с проекцией вектор на ось е, взятой параллельно П можно говорить о величине этой проекции которую будем обозначать .

Теорема: Величина прямоугольной проекции вектора на ось е равна произведению длины этого вектора на . Т.е. .

Проекция вектора на ось е в плоскости. Пусть ось е лежит в плоскости α и е₁ прямая не параллельная е, лежащая в этой плоскости. Через произвольную точку А проведем прямую параллельную е₁. Тогда точка А’ называется проекцией точки А взятой параллельно е₁. Понятие проекции и величины проекции вектора на ось вводятся аналогично.

Понятие точки и вектора на плоскости. Точка А’ – проекция точки А на плоскости П, взятой параллельно прямой е. Если е перпендикулярна - П проекция перпендикулярна П, то проекция называется ортогональной (прямоугольной). Аналогично предыдущим пунктам вводится понятие вектора на плоскости.

Проекция суммы векторов. Пусть на ось е проецируются вектора и . Проецирование производится параллельно плоскости П или прямой е₁, если , и е находятся в одной плоскости.

Легко доказать (смотри рисунок) что . Из основной теоремы о величинах векторов на оси следует, что величина . С помощью метода математической индукции равенства (2) И (3) можно распространить на случай произвольного числа слагаемых:

Проекция произведения вектора на число: Покажем что имеют места равенства:

Доказательство: При α=0 равенство очевидно. Пусть α отлично от 0. Если рассмотреть подобные треугольники то равенство становится очевидным. Формулы (4)-(7) позволяют записать: Т.е. линейная комбинация векторов на ось е есть линейная комбинация проекций этих векторов. Тоже самое относится к величинам проекций.

Уравнения в отрезках.

Уравнение прямой проходящей через две точки.

Уравнение прямой проходящей через три точки.

Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости тогда и только тогда когда - компланарны, т.е. .

- искомое уравнение плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая задана своими общими уравнениями то в качестве направляющего вектора можно взять . тогда (9) примет вид

или . Отсюда следует что три плоскости пересекаются в одной точки тогда и только тогда когда Т.к. это неравенство означает что прямая линия по которой пересекаются какие-нибудь две из плоскостей не параллельна третьей.

Уравнения в отрезках. Уравнения вида называется уравнением плоскости в отрезках. - уравнение прямой на плоскости в отрезках. Геометрический смысл чисел a,b,c: a,b,c – это величины отрезков отсекаемых плоскостью от осей координат Ox,Oy,Oz соответственно.(точка О – начало отрезков).

Пучки и т. д

41. Расстояние от точки до прямой Нормальное уравнение прямой на плрскости отклонение от этой прямой

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М до прямой равно высоте параллелограмма. или где М(x₀,y₀) – некоторая точка прямой, а х,у координаты вектора .

Учитывая что формулу (3) перепишем в виде . Из (3) следует что где нормальный вектор прямой. Уравнение вида называется нормированным уравнением прямой на плоскости. Таким образом расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки её координат в левую часть её нормированного уравнения прямой.

Нормальное уравнение прямой на плоскости где + если C<0 и – если C>0.

Таким образом нормальное уравнение прямой если сумма квадратов коэффициентов при x,y,z равна 1 и свободный член отрицательный.

Расстояние между непараллельными прямыми. Пусть p непараллельна q. В этом случае существуют две такие параллельные плоскости P и Q что прямая p лежит в P а прямая q лежит в Q. Если уравнения прямых и то плоскость Р имеет начальную точку с радиус вектором и направляющими векторами и . А плоскость Q начальную точку с радиус вектором и теми же самыми направляющими векторами, так как Р параллельна Q.

Теорема: Прямые с уравнениями и пересекаются тогда и только тогда когда h=0.

Вычисления углов: а) Угол между двумя прямыми это угол между направляющими векторами этих прямых.

б) Угол между прямой и плоскостью есть по определению угол ψ между прямой d и ее проекцией на плоскости. Получаем два угла ψ и π- ψ(тупой и острый). Каждый из этих углов заключен между 0 и π. В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и нормального вектора плоскости П имеем 4 угла попарно вертикальных. Обозначим через φ угол между любым вектором направляющим и любым нормальным вектором плоскости . Т.к. угол ψ заключен между 0 и π то его sin≥0, Причем

в) За угол между плоскостями принимают угол между любыми нормальными векторами к этим плоскостям. Это опять два угла – острый и тупой, дополняющие друг друга до π.

Свойства определителя матрицы

1)Теорема: Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Доказательство: А) Определим вначале знак члена определителя при произвольном порядке сомножителей.

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αk, βk}… a_{αl, βl}… a_{αn, βn} (*)

α₁, α₂… α_k… α_l...α_n (1) – перестановка номеров строк.

β₁, β₂… β_k… β_l...β_n (1’) – перестановка индексов столбцов.

Обозначим число инверсий в перестановке (1) – S_1, в перестановке (1’) – S₁’. Рассмотрим сумму S₁+ S₁’, и покажем, что четность или нечетность этой суммы не меняется ни при каком изменении порядка множителей. Ясно что от одного порядка множителей к другому можно перейти с помощью конечного числа транспозиций множества. Поэтому достаточно доказать, что характер четности числа S₁+ S₁’ не изменится при одной транспозиции множества в произведении(*).

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αl, βl}… a_{αk, βk}… a_{αn, βn} (**)

α₁, α₂… α_l… α_k...α_n (2)

β₁, β₂… β_l… β_k...β_n (2’)

Число инверсий в перестановке (2) – S₂, в перестановке(2’) - S₂’. Рассмотрим число S₂+S₂’. S₁ и S₂ имеют разный характер четности. S₁’ и S₂’ имеют разный характер четности следовательно суммы S₁+ S₁’ и S₂+S₂’ имеют одинаковый характер четности. Напишем множители рассматриваемого члена определителя (*) в порядке следования строк: a_{1, j1}, a_{2, j2}…a_{n, jn} (3).

Обозначим число инверсий столбцов через S, число инверсий в перестановке строк =0. Таким образом по доказанному числа 0+S и S₁+S₁’ имеют одинаковый характер четности. Следовательно, знак члена определителя (*):

(-1)^S=(-1)^S1^+S1^’

В)

Рассмотрим произвольный член определителя D: a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αn, βn} - он будет и членом определителя D₁, т.к. в нем в качестве множителя взят один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы определителя D₁(в D первые индексы – номера строк, вторые – номера столбцов, а в определителе D₁ – наоборот).

Покажем что знаки этого члена, как в D, так и в D₁ будут одинаковы. Это следует из того что знаки этого члена и в D и в D₁ определяются суммой числа инверсий в перестановках первых и вторых индексов. D=D₁ .(ч.т.д.)

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: