МІНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МІНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “Львiвська полiтехнiка”

ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНОЇ САР З ТРИПОЗИЦІЙНИМ РЕГУЛЯТОРОМ МЕТОДОМ ФАЗОВОЇ ПЛОЩИНИ

Лабораторна робота № 1

Виконав:

ст.гр. АВ-31

Діденко Д.

Прийняла:

Парнета О.З.

Львів – 2012

Мета роботи: дослідити роботу системи автоматичного регулювання (САР) з трипозиційним реле за допомогою структурного моделювання в середовищі SIMULINK, засвоїти побудову фазової траєкторії системи методом допасовування, дослідити вплив значень параметрів настроювання трипозиційного регулятора на якість перехідних процесів САР.

Необхідна підготовка: статичні характеристики суттєво нелінійних елементів, рівняння фазових траєкторій динамічних систем, теоретичні основи методу допасовування для побудови фазової траєкторії; володіння технікою побудови структурних схем САР та методикою їх дослідження в середовищі MATLAB (SIMULINK).

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Дослідження нелінійних систем методом фазового простору

Фазові портрети лінійної системи другого порядку. Типи особливих точок

Нехай вільний рух системи описується таким лінійним диференціальним рівнянням другого порядку

, (7)

тоді характеристичне рівняння матиме вигляд

і розв’язок диференціального рівняння запишеться у вигляді

,

де - корені характеристичного рівняння;С₁, С₂ – константи, які залежать від початкових умов. Розглянемо фазові траєкторії та портрети системи при різних коренях характеристичного рівняння.

1. Припустимо, що в рівнянні (7) і λ₁ і λ₂ - уявні корені

.

Відомо, що при наявності уявних коренів в системі виникають незникаючі коливання, амплітуда і частота яких залежить від початкових умов (див рисунок)

Зведемо рівняння (7) до системи двох рівнянь

,

звідки вилучаючи , одержимо диференціальне рівняння фазової траєкторії

,

розв’язок якого

є рівнянням еліпса, осі якого залежать від константи С, тобто від початкових умов. Графічно фазовий портрет системи показаний на рисунку.

Особливою точкою на фазовій площині є початок координат і ця точка називається центром.

2. Припустимо, що корені λ₁ і λ₂ є комплексні з від'ємною дійсною частиною

.

Це означає, що система є стійкою, а перехідний процес буде коливним і заникаючим. Фазова траєкторія сходиться до початку координат

Особлива точка в такій системі знаходиться в початку координат, є точкою рівноваги і називається стійким фокусом.

3. Припустимо, що λ₁ і λ₂ комплексні корені з додатними дійсними частинами. Система є нестійка, перехідний процес в такій системі є коливним і амплітуда коливань з часом зростає. Фазова траєкторія має вигляд спіралі, що розкручується і віддаляється від початку координат.

Особлива точка – нестійкий фокус.

4. Припустимо корені характеристичного рівняння є дійсні і додатні. Така система є нестійкою і в ній виникатимуть розбіжні аперіодичні процеси

Особлива точка такої системи називається нестійким вузлом.

5. Корені є дійсні і від'ємні. Система є стійкою, а перехідні процеси в ній аперіодичні.

Особлива точка – стійкий вузол.

6. Корені дійсні і різні за знаком.

Особлива точка – сідло.

7. Корені дійсні однакові і від'ємні.8. Корені дійсні рівні і додатні

 

Особлива точка - Особлива точка -

вироджений нестійкий вузол. вироджений стійкий вузол.

Такі портрети властиві також і нелінійним системам, але з несуттєвими нелінійностями. Якщо система лінеаризується в околі особливої точки, то тип особливої точки однозначно визначається коренями характеристичного рівняння лінеаризованої системи:

стійкий вузол – корені дійсні від`ємні;

нестійкий вузол – корені дійсні додатні;

стійкий фокус – корені комплексні з від`ємною дійсною частиною;

нестійкий фокус – корені комплексні з додатною дійсною частиною;

центр – корені уявні;

сідло – корені дійсні різного знаку.

ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РОБОТИ

Завдання. Система автоматичного регулювання складаєтьсяз об'єкту регулювання з функцією передачі , виконавчого механізму з функцією передачі , заслінки з функцією передачі та однозначного трипозиційного реле (m=0.1, c=1). Для заданої системи аналітично побудувати фазову траєкторію методом допасовування і порівняти її з фазовою траєкторією, отриманою моделюванням в середовищі SIMULINK. Змоделювати також перехідні процеси на виході ОР, ВМ і РО. Зменшити зону нечутливості трипозиційного реле на 50%, отримати перехідну функцію САР і порівняти її з перехідною функцією вихідної САР.

Спочатку складемо структурну схему моделі заданої системи в середовищі SIMULINK (рис.8).

Рис. 8 Структурна схема САР.

Крім моделей ОР, ВМ і РО, заданих. у вигляді функцій передачі, на цій структурній схемі показані індикатори перехідних процесів Scope на їх виході, на виході блоку диференціювання Derivative, а також блок XYGraph для побудови фазової траєкторії. На цій структурній схемі трипозиційне реле із заданою зоною нечутливості (m=±0,1) змодельоване у вигляді паралельно з’єднаних блоків Relay, параметри яких встановлені так, як показано нижче.

Після запуску процесу моделювання одержуємо графік фазової траєкторії, показаний на рис. 9, з якого видно, що стан рівноваги системи () встановлюється при залишковому відхиленні регульованої величини від заданого значення (), тобто САР має статичну похибку.

Для побудови графіка фазової траєкторії за аналітичними рівняннями (17), (18) і (19) в середовищі Matlab складена програма, яка реалізує алгоритм допасовування фрагментів фазової траєкторії на різних ділянках фазової площини. Координати початкової точки 1 (x11=0;x21=0.04) визначаємо з фазової траєкторії, отриманої в середовищі SIMULINK (див. рис. 9). Оскільки т. 1 знаходиться на ділянці фазової площини ІІ, то рівняння фазової траєкторії описується рівнянням (20), згідно з яким зображуюча точка буде рухатись по прямій лінії до точки 2. Абсциса другої точкиx12=m, а ордината - x22 визначається з рівняння (20). Далі рівняння фазової траєкторії (20) змінюється на рівняння (22), яке описує рух зображуючої точки на І ділянці фазової площини між точкам 2 і 3. Абсциса точки 3 x13=m, а значення ординати x23 визначаємо з рівняння (22). Оскільки в цьому рівнянні x23 входить в неявній формі, то для знаходження значення x23 в т. 3 скористаємось функцією fzero, яка шукає нуль функції s1=fp2(x2_2). Знайдені значенняx13 і x23 є початковими для наступного фрагменту фазової траєкторії на ІІ ділянці фазової площини між точками 3 і 4. Далі аналогічно за відомим алгоритмом будується графік фрагменту фазової траєкторії між точками 4 і 5 та 5 і 6.

Програма побудови фазової траєкторії системи

global x21 x22 x23 x24 x25

To=25;Tc=32;m=0.1; %параметри ОР,ВМ і АР

x11=0;x21=0.04;x12=m; % координати початкової точки 1

d=0.00001;

x1_1=[x11:d:x12];

% рівняння (20) фазової траєкторії між точками 1 і 2 в зоні нечутливості реле

x2_1=-(x1_1-x11)/To+x21;

x12=m;x22=-(x12-x11)/To+x21; % розрахунок координат точки 2 за рівнянням (20)

% розрахунок координат точки 3 за рівнянням (22)

x13=m;

x23=fzero('fp2',0); % розрахунок значення похідної в точці 3

x2_2=[x23:d:x22];

% рівняння (21) фазової траєкторії між точками 2 і 3 при x>m

x1_2=-To*(x2_2-x22)+To/Tc*log(abs(-x2_2-1/Tc)/abs(-x22-1/Tc))+x12;

x14=-m; % розрахунок координат точки 4 з рівняння (23)

x24=-(x14-x13)/To+x23;

x1_3=[x14:d:x13];

%рівняння (23) фазової траєкторії між точками 3 і 4 в зоні нечутливості реле

x2_3=-(x1_3-x13)/To+x23;

x15=-m;x25=fzero('fp4',0.01); %розрахунок координат точки 5 з рівнянням (24)

x2_4=[x24:d:x25];

% рівняння (24) фазової траєкторії між точками 4 і 5 при x<-m

x1_4=-To*(x2_4-x24)-To/Tc*log(abs(-x2_4+1/Tc)/abs(-x24+1/Tc))+x14;

x16=m;x26=-(x15-x14)/To+x24; % розрахунок координат точки 6 з рівняння (17)

x1_5=[x15:d:x16];

% рівняння фазової траєкторії між точками 3 і 4 в зоні нечутливості реле

x2_5=-(x1_5-x15)/To+x25;

% графік послідовного допасовування фрагментів фазових траєкторій

% між точками 1 і 2, 2 і 3, 3 і 4, 4 і 5, 5 і 6

plot(x1_1,x2_1,x1_2,x2_2,x1_3,x2_3,x1_4,x2_4,x1_5,x2_5),grid

Програма розрахунку координати х₂ в точці 3 з рівняння (22)

function s1=fp2(x2_2)

To=25;Tc=32;m=0.1;x21=0.04;

x1_1=[0:0.00001:m];

x2_1=-x1_1/To+x21;

x12=m;

x22=-m/To+x21;

x13=m;

s1=-To*(x2_2-x22)+To/Tc*log(abs(-x2_2-1/Tc)/abs(-x22-1/Tc))+x12-x13;

Програма розрахунку координати х₂ в точці 5 з рівняння (24)

function s2=fp4(x2_4)

global x21 x22 x23 x24 x25

To=25;Tc=32;m=0.1;

x12=m;x13=m;x14=-m;x15=-m;

s2=-To*(x2_4-x24)-To/Tc*log(abs(-x2_4+1/Tc)/abs(-x24+1/Tc))+x14-x15;

Графік фазової траєкторії між точками 1-5, побудований за наведеною програмою показаний на рис. 10. Порівнюючи фазові траєкторії, побудовані за допомогою середовища Simulink (рис. 9) і методом допасовування (рис. 10) бачимо, що вони збігаються з достатньо високою точністю.

Рис. 11. Перехідна функція САР з трипозиційним реле із границею зони нечутливості m=±0.1

Рис. 12. Перехідний процес на виході трипозиційного реле

Рис.13. Перехідний процес на виході виконавчого механізму

Далі з перехідної функції заданої САР, показаної на рис. 11, визначимо показники якості: максимальне динамічне відхилення – 0.4; статична похибка – 0.06. На рис. 12 і 13 також показані перехідні процеси на виході відповідно трипозиційного реле і виконавчого механізму під час регулювання.

На рис. 14 показана перехідна функція САР з границею зони нечутливості трипозиційного реле m=±0.05. Показники якості такої САР є такі:

- максимальне динамічне відхилення – 0.38

- статична похибка – 0.02.

Рис.14. Перехідна функція САР з трипозиційним реле із границею зони нечутливості m=±0.05

Рис. 15. Перехідні функції САР з трипозиційним реле із границею зони нечутливості m=±0.05 (суцільна лінія) і границею зони нечутливості m=±0.1 (пунктирна лінія)

Висновки. З графіків на рис. 9 і 10 видно, що результати моделювання фазової траєкторії в середовищі Simulink практично збігаються з результатами побудови фазової траєкторії методом допасовування. Оскільки досліджувана система має трипозиційне реле, то на фазовій траєкторії замість особливої точки з'являється особлива лінія на осі абсцис ()– лінія спокою (застою). Порівняння перехідних функцій, одержаних при різних границях зони нечутливості реле (див. рис. 15), показує, що зменшення зони нечутливості трипозиційного реле зменшує максимальне динамічне відхилення регульованої величини, зменшується також статична похибка регулювання.

ПРОТОКОЛ

Лабораторної роботи

Досліджується замкнута система автоматичного регулювання з об’єктом регулювання, функція передачі якого має вигляд

________________________,

з виконавчим механізмом

_______________________

з регулюючим органом

_______________________

та трипозиційним однозначним реле із границею зони нечутливості m=_____ і вихідним сигналом с=_____. Нова границя зони нечутливості m=_____

Оформити звіт до лабораторної роботи, в якому необхідно подати:

· статичну характеристику заданого трипозиційного реле;

· структурну схему САР;

· програму розрахунку та графік фазової траєкторії, побудованої методом допасовування та графік фазової траєкторії, отриманий в результаті моделювання за допомогою SIMULINK;

· криву розгону САР, а також графіки перехідних процесів на виході трипозиційного реле та виконавчого механізму;

· показники якості заданої САР порівняти з показниками якості, визначеними за кривою розгону, отриманою при зміненому значенні зони нечутливості регулятора;

· висновки.

МІНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “Львiвська полiтехнiка”

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: