|
|
Приложения определенного интеграла ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: Построим чертеж к задаче (рис. 3). Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: Площадь фигуры вычислим по формуле
Рис.1
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e2x, x=0, x=2, y=0.
Рис.2 Решение: Построим чертеж к задаче (рис.2). Площадь криволинейной трапеции вычислим по формуле
Пример 3. Найти площадь фигуры ограниченной линиями Решение: На рис. 4 представлена фигура площадь которой требуется найти.
При решении квадратного уравнения системы Рис. 4. Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас интересуют только абсциссы точек пересечения.
f1(x)= x2+1, f2(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области). Теперь можно вычислить площадь фигуры: Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную параболой Решение. Выполним чертеж. Графиком y
2
1 x
Рис. 1 Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой
согласно формуле, получим:
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линией Решение: Так как то неравенством
Отсюда
Выбрав несколько значений
Рис.3 В силу симметричности фигуры вычислим Итак,
Следовательно, площадь всей фигуры Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную линией
Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра
Пример 8. Вычислить площадь, ограниченную линией Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой для полярных координат. Пределы интегрирования не заданы, поэтому необходимо сделать чертеж (рис. 2). Линию
Рис. 2
Пример 9. Найти длину линии до точки Решение: Линия задается явно в декартовой системе координат. Очевидно, что Так как на рассматриваемом промежутке
= Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:
Пример 10. Найти длину дуги Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах. y Воспользуемся формулой Из чертежа видно, что 4 x пределы интегрирования будут
Рис. 3
Пример 11. Найти длину кривой
Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что
= = Так как на промежутке
Пример 12. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными осями, прямой б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения. Решение: а) Ясно, что
б) На рис.4 изображено тело, объем которого мы будем находить. Так как Вычисление интегралов производилось с помощью формулы интегрирования по частям. В первом случае мы полагали
Пример 13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Решение. Парабола
y
1
1 x
Рис. 5
Пример 16. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой y
находим из уравнения гиперболы: -3 3 x
Рис. 6 Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:
Знак
Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пример 1. Пример 2.. Пример 3. Пример 4..
Пример 5.. Пример 6. Пример 7. Пример 8.
Пример 9. Пример 10. Пример 11.   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. Отсюда 
.
(кв.ед.)
(кв.ед.).
и 
.
Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:
Þ 
, получаем два корня х1=-2, х2=1.
= 
= = 
и прямыми 
и 
.
является парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед 
) и приподняты на 2 единицы (рис. 1). Искомая площадь симметрична относительно оси 
, следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат, т.е. 
.
:
,
; 
(кв. ед.).
определяет расстояние до соответствующей точки,
. Следовательно, область определения функции определяется
.Общее решение этого неравенства имеет вид
где 
.
. Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения 
, то область допустимых значений функции 
в полярной системе координат состоит из двух промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами:
из указанных промежутков, построим график функции (рис.3)
площади, где полярный угол 
.
(кв.ед.).
, 
.
. Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид. Воспользуемся формулой
.
.
значения через равный промежуток, например, 
, начиная от 
до 
. Вычислим 
искомой площади.
(кв. ед.).
от точки 
.
.
, то
= 
= 
=
= 
= 
(ед.).
, отсеченную прямой 
.
.
и 
(рис. 3).
.
(кв. ед.).
.
= 
=
=
= 
= 
.
выполняется равенство 
= 
, то
= 
= 
(ед.).
и кривой 
вращается вокруг: а) оси абсцисс;
.
, то 
изменяется в интервале 
. Кроме того, надо явно выразить x через y. Так как 
. Тогда 
, а во втором случае - 
.
Рис.4
фигуры, ограниченной параболой 
и осью 
(рис. 5).
расположена ветвями вниз, вершина находится в точке 
, и ось 
пересекает в точках 
. Для решения воспользуемся формулой 
(куб. ед.).
, отсеченной прямыми 
, вокруг оси 
(рис. 6).
; 
,
(куб. ед.).
(двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с 
, через одно с убыванием. Например, 
(только нечетные множители).
; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
; следовательно, интеграл сходится и равен 
.
. Интеграл сходится.
следовательно, интеграл сходится и равен 
.
- интеграл сходится;
- интеграл расходится.
; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: 
. Пусть 
, 
; если 
, то 
; если 
то 
; 
Поэтому 
(это уже собственный интеграл)