|
|
Приложения определенного интеграла ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: Построим чертеж к задаче (рис. 3). Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: Площадь фигуры вычислим по формуле
Рис.1
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e2x, x=0, x=2, y=0.
Рис.2 Решение: Построим чертеж к задаче (рис.2). Площадь криволинейной трапеции вычислим по формуле
Пример 3. Найти площадь фигуры ограниченной линиями Решение: На рис. 4 представлена фигура площадь которой требуется найти.
При решении квадратного уравнения системы Рис. 4. Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас интересуют только абсциссы точек пересечения.
f1(x)= x2+1, f2(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области). Теперь можно вычислить площадь фигуры: Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную параболой Решение. Выполним чертеж. Графиком y
2
1 x
Рис. 1 Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой
согласно формуле, получим:
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линией Решение: Так как то неравенством
Отсюда
Выбрав несколько значений
Рис.3 В силу симметричности фигуры вычислим Итак,
Следовательно, площадь всей фигуры Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную линией
Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра
Пример 8. Вычислить площадь, ограниченную линией Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой для полярных координат. Пределы интегрирования не заданы, поэтому необходимо сделать чертеж (рис. 2). Линию
Рис. 2
Пример 9. Найти длину линии до точки Решение: Линия задается явно в декартовой системе координат. Очевидно, что Так как на рассматриваемом промежутке
= Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:
Пример 10. Найти длину дуги Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах. y Воспользуемся формулой Из чертежа видно, что 4 x пределы интегрирования будут
Рис. 3
Пример 11. Найти длину кривой
Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что
= = Так как на промежутке
Пример 12. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными осями, прямой б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения. Решение: а) Ясно, что
б) На рис.4 изображено тело, объем которого мы будем находить. Так как Вычисление интегралов производилось с помощью формулы интегрирования по частям. В первом случае мы полагали
Пример 13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Решение. Парабола
y
1
1 x
Рис. 5
Пример 16. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой y
находим из уравнения гиперболы: -3 3 x
Рис. 6 Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:
Знак
Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пример 1. Пример 2.. Пример 3. Пример 4..
Пример 5.. Пример 6. Пример 7. Пример 8.
Пример 9. Пример 10. Пример 11.   Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. Отсюда 
.
(кв.ед.)
(кв.ед.).
и 
.
Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:
Þ 
, получаем два корня х1=-2, х2=1.
= 
= = 
и прямыми 
и 
.
является парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед 
) и приподняты на 2 единицы (рис. 1). Искомая площадь симметрична относительно оси 
, следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат, т.е. 
.
:
,
; 
(кв. ед.).
определяет расстояние до соответствующей точки,
. Следовательно, область определения функции определяется
.Общее решение этого неравенства имеет вид
где 
.
. Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения 
, то область допустимых значений функции 
в полярной системе координат состоит из двух промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами:
из указанных промежутков, построим график функции (рис.3)
площади, где полярный угол 
.
(кв.ед.).
, 
.
. Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид. Воспользуемся формулой
.
.
значения через равный промежуток, например, 
, начиная от 
до 
. Вычислим 
искомой площади.
(кв. ед.).
от точки 
.
.
, то
= 
= 
=
= 
= 
(ед.).
, отсеченную прямой 
.
.
и 
(рис. 3).
.
(кв. ед.).
.
= 
=
=
= 
= 
.
выполняется равенство 
= 
, то
= 
= 
(ед.).
и кривой 
вращается вокруг: а) оси абсцисс;
.
, то 
изменяется в интервале 
. Кроме того, надо явно выразить x через y. Так как 
. Тогда 
, а во втором случае - 
.
Рис.4
фигуры, ограниченной параболой 
и осью 
(рис. 5).
расположена ветвями вниз, вершина находится в точке 
, и ось 
пересекает в точках 
. Для решения воспользуемся формулой 
(куб. ед.).
, отсеченной прямыми 
, вокруг оси 
(рис. 6).
; 
,
(куб. ед.).
(двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с 
, через одно с убыванием. Например, 
(только нечетные множители).
; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
; следовательно, интеграл сходится и равен 
.
. Интеграл сходится.
следовательно, интеграл сходится и равен 
.
- интеграл сходится;
- интеграл расходится.
; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: 
. Пусть 
, 
; если 
, то 
; если 
то 
; 
Поэтому 
(это уже собственный интеграл)