|
|
Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функцииСтр 1 из 3Следующая ⇒ Правило Лопиталя Задача 1. Вычислить Решение: Задача 2. Вычислить Решение:
Задача 3. Вычислить Решение: Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа С учетом последнего равенства находим
= Воспользовавшись непрерывностью функции Следовательно, Найти значения пределов:
№1
№2
№3. №4. №5 №6. №7. №8. №9. №10. №11. или №12. №13. №14. №15. № 16. предел первого множителя предел второго множителя: №17. №18
№19. Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию. а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
б) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
в) Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума: а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки:
б) 1. Область определения функции D(y): x¹0. 2.
Критические точки:
Найти интервалы монотонности функции Решение. Имеем Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке. Пример. Найти интервалы монотонности функции Решение. Найдем производную Исследовать на экстремум функцию Решение. 1°. Производная функции 2°. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции существует, у данной функции нет —функция определена на всей числовой оси). 3°.
Нанесем критические точки на числовую прямую. Для определения знака производной слева и справа от критической точки
на интервале
данной функции. В точке х= 1 экстремума нет. 4°. Находим Решение задач 1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Решение:
Критические точки:
Найдем значения функции в точке
Наибольшее значение функции равно Наименьшее значение функции равно Пример. Исследовать функцию Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси. Итак, 2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: Следовательно, точки пересечения с осью ОХ - б) с осью ОY: Следовательно, точка пересечения с осью ОY - 3) Функция четная, так как Функция непериодическая. 4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
Исследуем знак второй производной на промежутках
6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции – вся числовая ось. Найдем наклонную асимптоту
Следовательно, наклонных асимптот нет.
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).
Рис. 1 Пример. Исследовать функцию Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки
2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - б) с осью ОY: Следовательно, точка пересечения с осью ОY -
3) Функция общего вида, так как Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем Следовательно, точка
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
Находим точки, в которых
6) Найдем вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции в окрестности точки
Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: Найдем наклонную асимптоту
Следовательно, наклонная асимптота:
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).
Рис. 2
Замена переменных 1) Положим Тогда 2)
3)
4)
5)
6)
7) Так как или:
8) Положим Так как
9) 10) 11)
12)
Определенный интеграл 1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы: 1). 2). 3). 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) Частные производные. Задача 1. Найти частные производные от функций: а) Решение. Частную производную
Аналогично,
б)
в)
г)
Пример 2
Пример 3
Экстремум функции Дана функция а) исследовать функцию на экстремум; Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: Точка
Составим дискриминант Решение. 1.Для решение задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции
где По условиям задачи вектор Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: Для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции
Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке
В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора
2. Правило Лопиталя Задача 1. Вычислить Решение: Задача 2. Вычислить Решение:
Задача 3. Вычислить Решение: Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа С учетом последнего равенства находим
= Воспользовавшись непрерывностью функции Следовательно, Найти значения пределов:
№1
№2
№3. №4. №5 №6. №7. №8. №9. №10. №11. или №12. №13. №14. №15. № 16. предел первого множителя предел второго множителя: №17. №18
№19. Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию. а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
б) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
в) Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума: а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки:
©2015- 2025 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.
|
.
.
.
.
.
. Логарифмируем выражение 
, получаем 
.
0.
на вcей естественной области определения, получим: 
. Отсюда 
=1.
=1.
Перепишем данное выражение в виде 
.
.
. В этом случае применение правила Лопиталя ошибочно, лучше сделать преобразования 
, т.к. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Таким образом, искомый предел равен 
.
=(логарифмируем заданную функцию, применяем свойство степени, получаем)= 
.
.
.
. 
, 
Þ 
, 
.
.
.
.
. 
Þ 
.
.
.
.
. 
, 
Þ 
, 
, 
.
.
;
.
. Очевидно 
при 
и 
при 
, т.е. функция убывает на интервале 
и возрастает на интервале 
, где. 
— абсцисса вершины параболы.
, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: 
(
) т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.
. Очевидно, что 
, при 
. При 
производная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси.
. (Точек, в которых производная не
выберем значения, например, 
и найдем и 
; следовательно, 
при всех 
. Аналогично устанавливаем, что 
и на интервале 
Согласно достаточному условию — точка минимума
►
, 
.
;
.
, т.е. числитель равен нулю Þ 
; 
, 
.
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ 
.
, 
, 
.
;
;
.
при 
;
при 
и построить ее график.
.
, 
.
, 
, 
, 
;
.
.
(поэтому ее график будет симметричен относительно оси OY).
=0. Следовательно, точки 
, 
, 
будут подозрительными на экстремум. Разбиваем всю область определения на промежутки 
, 
, 
, 
и исследуем функцию для 
. Информация о поведении функции на интервале 
необходима для анализа функции в точке 
. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
. Находим точки, в которых 
или 
не существует.
при 
.
, 
, 
и результаты исследований представим в таблице:
:
= 
.
и построить ее график.
. Итак, 
.
.
.
.
.
.
будет подозрительной на экстремум. Точка 
, в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки 
, 
, 
и исследуем функцию на указанных интервалах. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
.
, не существует при 
.Исследуем знак второй производной на промежутках 
, 
, 
и результаты исследований представим в таблице:
:
; 
.
;
.
.
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
. Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
;
; Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
. Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
. Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
;
, то 
. Тогда 
, то
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
= 
= 
.
.
= 
.
находим как производную функции 
по аргументу 
в предположении, что 
. Поэтому,
. Показать, что 
.
. Показать, что 
.
.
Следовательно,
- стационарная точка функции. Вычислим значения частных производных второго порядка в точке 
.
. Так как 
, то экстремум есть, так как 
, то 
в заданной точке 
по направлению вектора 
:
,
, 
- направляющие косинусы вектора 
, которые вычисляются по формулам: 
, 
.
, 
. Тогда его длина равна: 
.
, 
.
:
в формулу производной по направлению в заданной точке:
