|
Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Правило Лопиталя Задача 1.Вычислить Решение: Задача 2.Вычислить Решение:
Задача 3. Вычислить Решение: Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа С учетом последнего равенства находим
= Воспользовавшись непрерывностью функции Следовательно, Найти значения пределов:
№1 №2
№3. №4. №5 №6. №7. №8. №9. №10. №11. или №12. №13. №14. №15. № 16. предел первого множителя предел второго множителя: №17. №18 №19. Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию. а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
б) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
в) Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума: а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки:
б) 1. Область определения функции D(y): x¹0. 2.
Критические точки:
Найти интервалы монотонности функции Решение. Имеем Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке . Пример. Найти интервалы монотонности функции Решение. Найдем производную Исследовать на экстремум функцию Решение. 1°. Производная функции 2°. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции существует, у данной функции нет —функция определена на всей числовой оси). 3°.
Нанесем критические точки на числовую прямую. Для определения знака производной слева и справа от критической точки
на интервале
данной функции. В точке х= 1 экстремума нет. 4°. Находим Решение задач 1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Решение:
Критические точки:
Найдем значения функции в точке
Наибольшее значение функции равно Наименьшее значение функции равно Пример. Исследовать функцию Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси. Итак, 2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: Следовательно, точки пересечения с осью ОХ - б) с осью ОY: Следовательно, точка пересечения с осью ОY - 3) Функция четная, так как Функция непериодическая. 4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
Исследуем знак второй производной на промежутках
6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции – вся числовая ось. Найдем наклонную асимптоту
Следовательно, наклонных асимптот нет.
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).
Рис. 1 Пример. Исследовать функцию Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки
2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - б) с осью ОY: Следовательно, точка пересечения с осью ОY -
3) Функция общего вида, так как Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем Следовательно, точка
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
Находим точки, в которых
6) Найдем вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции в окрестности точки
Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: Найдем наклонную асимптоту
Следовательно, наклонная асимптота:
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).
Рис. 2
Замена переменных 1) Положим Тогда 2) 3) 4) 5) 6)
7) Так как или: 8) Положим Так как 9) 10) 11)
12) Определенный интеграл 1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы: 1). 2). 3). 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) Частные производные. Задача 1.Найти частные производные от функций: а) Решение. Частную производную Аналогично, б) в)
г) Пример 2
Пример 3
Экстремум функции Дана функция а) исследовать функцию на экстремум; Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: Точка Составим дискриминант Решение. 1.Для решение задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции
где По условиям задачи вектор Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: Для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора
2. Правило Лопиталя Задача 1.Вычислить Решение: Задача 2.Вычислить Решение:
Задача 3. Вычислить Решение: Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа С учетом последнего равенства находим
= Воспользовавшись непрерывностью функции Следовательно, Найти значения пределов:
№1 №2
№3. №4. №5 №6. №7. №8. №9. №10. №11. или №12. №13. №14. №15. № 16. предел первого множителя предел второго множителя: №17. №18 №19. Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию. а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
б) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки: 3.
в) Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума: а) 1. Область определения функции D(y)=R. 2. Критические точки:
![]() Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|