|
Непосредственное интегрированиеПримеры: Найти интегралы 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Замена переменных 1) Положим Тогда 2) 3) 4) 5) 6)
7) Так как или: 8) Положим Так как 9) 10) 11)
12) Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Пример1:
= Пример2:
Пример 3:
Пример4: I= Последний интеграл есть не что иное как исходный интеграл, поэтому можно записать:
Пример 5: = = Пример 6.
Пример 7.
Отсюда Пример 8.
Тогда
Пусть
Полагая в формуле интегрирования по частям Итак, Пример 9. Положим Интеграл Положив Но тогда Пример 10. Положим Тогда вычислим, используя метод разложения Таким образом, получаем: Пример 11. Положим Тогда Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим
Итак, Пример 12. Тогда Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен Примеры: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
8) 9) 10) 11) Интегрирование рациональных функций. Пример 1. Найти Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель. Тогда
Но тогда: Пример 2. Найти Решение: Подынтегральную правильную рациональную дробь разложим на сумму простейших дробей:
Приведем правую часть к общему знаменателю и запишем тождественное равенство числителей:
Подставляя в полученное выражение корни знаменателя Следовательно, искомый интеграл представим в виде:
Пример 3. Найти Подынтегральную правильную рациональную дробь раскладываем на сумму простейших:
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
Подставляя два действительных корня Для нахождения Решаем систему линейных уравнений:
Следовательно, искомый интеграл
Пример 4. Найти интеграл
Пример 5. Найти интеграл б) найдём разложение подынтегральной функции
Таким образом,
Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций. Пример 1. Найти неопределенный интеграл
Пример 2. Найти неопределенный интеграл
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
Пример 4. Найти неопределенный интеграл
Пример 5. Найти неопределенный интеграл
Пример 6. Найти неопределенный интеграл Пример 7. Найти неопределенный интеграл
Пример 8. Найти неопределенный интеграл: Решение: Здесь функция sinx стоит в нечетной степени, поэтому
Пример 9. Найти неопределенный интеграл Пример 10. Найти неопределенный интеграл = - Пример 11. Найти неопределенный интеграл
Интегрирование рациональных функций некоторых иррациональностей Пример 1. Найти неопределенный интеграл Решение:
В подынтегральном выражении выделим целую часть:
Пример 2. Найти неопределенный интеграл Решение: Сделаем следующую замену переменных:
Пример 3. Найти неопределенный интеграл Решение: Замена
= = Пример 4. Найти неопределенный интеграл Решение: Замена Интеграл примет вид
=
Пример 5. Найти неопределенный интеграл Решение: Замена = = Определенный интеграл 1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы: 1). 2). 3). 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) ![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|