|
|
Вопрос 13. Преобразование Лапласа, понятие передаточной функции ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Современная теория автоматического управления для описания динамических свойств элементов, кроме дифференциальных уравнений и их решений широко использует передаточные функции, последние получается в результате интегрального преобразования Лапласа. Для нулевых начальных условий изображение производной получается простым умножение на «р» изображения самой функции т.е.
Передаточная функция – это отношение изображения по Лапласу выходной функции к изображению входной при нулевых начальных условиях Пример Найти передаточную функцию системы по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия – нулевые.
Решение. Приведя уравнение к стандартной форме получим
Запишем полученное уравнение в операторной форме используя преобразование Лапласа
Тогда передаточная функция будет иметь вид
Вопрос 14. Основные передаточные функции САУ Правила расчета передаточных функций звеньев САУ Для последовательного соединения. Если звенья соединены последовательно передаточная функция определяется умножением.
Для параллельного соединения Для встречно параллельного соединения.
Для каждой системы можно составить довольно большое количество передаточных функций в зависимости от того, какой сигнал принят за входной (управление или какое либо возмущение) и от того какой именно параметр системы нас интересует в данный момент. Такими параметрами могут быть сам входной сигнал или какие-либо промежуточные (скорости, ускорения, напряжения на двигателе) Основные передаточные функции систем: 1. По управляющему воздействию 2. По возмущению 3. По ошибке
g(t) – входной сигнал, ε(t) – сигнал ошибки 1. Передаточная функция по управлению. Возмущение отсутствует, замкнутая система с отрицательной обратной связью
2. Передаточная функция по возмущению.
3. Передаточная функция по ошибке Возмущающее воздействие не учитывается, часто нам удобно анализировать не выходной сигнал как таковой, а его отличие от того, что требуется.
Пример: Найти передаточные функции по структурной схеме. Решение: Приведем структурную схему к одноконтурной. Сворачивая звенья с передаточными функциями W2(p); W4(p) получим.
Передаточной функции по сигналу ошибки может быть только у замкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию.
Вопрос 15. Частотные характеристики САУ Эти характеристики служат для наглядного отображения динамических свойств системы. Если на вход системы описываемой линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами подать синусоидально-изменяющийся сигнал то на выходе также получим синусоиду, но другой амплитуды и сдвинутую по фазе относительно входного сигнала.
Если изменять входную частоту ω, то будет манятся и А2 и ϕ, поэтому выделяют две основные частотные характеристики – это амплитудную частотную и фазовую частотную характеристики. Амплитудная частотная характеристика – это зависимость от частоты ω отношения амплитуды колебаний выходного сигнала к входному Фазовая частотная характеристика – это зависимость от частоты ω сдвига фазы выходного сигнала
Из-за инерционности системы эти две характеристики элементов системы фазовый сдвиг обычно отрицательный
Этот вектор можно разложить на 2 проекции, 2 составляющие:
Срок сдачи до экзамена. Пример: Найти АЧХ и ФЧХ по известной передаточной функции системы Пример Найти АЧХ и АФХ по известной передаточной функции системы
Решение Если записать
гле
Найдем
т.е имеем
ВЧХ
МЧХ АЧХ
ФЧХ
Определив сигнал X2(t) на выходе системв1 по известному входному сигналу и передаточной функции системы
Решение. Известно, что при воздействии входного сигнала переходного процесса также будет гармоническим, но отличается от входного амплитудой и фазой
где
Следовательно для определения X2(t) необходимо найти Аналогично предыдущему примеру найдем АЧХ
ФЧХ
Тогда на частоте
Вопрос № Логарифмические частотный характеристики (ЛЧА) Широкое применение получили так же логарифмически частотные хар-ки – это основные амплитудные и фазовые частотные характеристики, но построенные с применением логарифмических масштабов. По горизонтальной оси откладывается частота в логарифмическом масштабе, вертикальная ось проводят в любом месте так, что бы она и ее оцифровка не скрывала важных частей графика. Амплитуды откладываются также в логарифмическом масштабе в децибелах. Рассчитывается амплитуда по формуле Фазу откладывают в обычном пропорциональном масштабе ЛАЧХ – логарифмическая амплитудно-частотная хар-ка ЛФЧХ – логарифмическая фазовая частотная хар-ка
Преимущество ЛАЧХ является хорошая прорисовка как верхних так и нижних частот, кроме это их удобство является то что лагорифмические частотные характеристики системы последлвательно соедтненных звеньев получаются суммированием их ЛЧХ В математической форме выглядит
Устойчивость систем автоматического управления Критерий устойчивости Устойчивость – это свойство автоматической замкнутой системы возвращается в исходное состояние после вывода ее из этого состояния и прекращения возмущающего воздействия. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейных систем является отрицательность вещественных частей всех корней ее характеристического уровнения. Для устойчивости системы переходные процессы насят сходящийся характер Почти все реальные системы содержат нелинейные элементы и потому являются также нелинейными. В результате линеаризации они приближенно описываются линейными уравнениями. Обоснование допустимости суждения об устойчивости реальной системы по характеристическому уравнению дал русский ученый А.М. Ляпунов он доказал 1. Если линеаризованная система устойчива то устойчива и исходная реальная система 2. Если линеаризованная система неустойчива, то и неустойчива исходная нелинейная система
Корни характеристического уравнения устойчивости автоматической системы имеют вид
Если изобразить корни характеристического уравнения на комплексной плоскости, то для устойчивости системы все корни расположаться в левой плоскости Нахождение корней становится сложной задачей. чтобы обойти вопрос о корнях уравнения. В ТАУ нашил применение различные критерии устойчивости. Критерий устойчивости представляет собой математически обоснованные правила позволяющие анализировать устойчивость без решения характеристического уравнения системы. Критерий устойчивости Вышнеградского преминем для систем 3-го порядка
Пример
Критерий устойчивости Михайлова
Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы на частоте, при которой ее логарифмическая амплитудно-частотная характеристика равна 0 (частота среза), запаздывание по фазе было меньше 180 градусов Преимущества анализа по логарифмическим частотным характеристикам являются: 1. Быстрота построения в том случае, когда разомкнутая система состоит из последовательно соединённых типовых звеньев 2. Возможность введения понятия запасов устойчивости. Их два – по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде (L3) – это расстояние в дб от ЛАЧХ до горизонтальной оси на частоте, при которой фазовое запаздывание равно 180 градусам Запас устойчивости по фазе (ϕэ) – это (в градусах) Φэ = 180+ϕ(ω) При частоте на которой L(ω) = 0, т.е. на частоте среза. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица Применим для систем любого порядка. Условия устойчивости запишутся в форму определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения. Основной определитель имеет n строк и n столбцов. Он составляется следующим образом
По главной диагонали выписываются коэффициенты с возрастающими нидексами, далее, правее главной диагонали, все строки заполняются коэффициентами по убывающим индексам, левее- по возрастающим. Пустые места заполняются нулями. Из определителя Система с характеристическим уравнением вида
Будет устойчивой если при
В конечном итоге раскрытие определителей приводит к выражениям в форме неравенств записанных относительно коэффициентов уравнения. Громоздкость, расчетов по критерию Рауса-Гурвица быстро нарастает с увеличением порядка n характеристичного уравнения. Поэтому его применение при ручных расчетах целесообразно для систем с порядком уравнения Оценка запасов устойчивости Осуществляется с помощью АФЧХ разомкнутой системы, как и в случае критерия устойчивости Найквиста. Запас устойчивости замкнутой системы характеризуется степенью удаления годографа АФЧХ разомкнутой системы от «опасной» точки (-1. j0). Колличественно степень удаления можно определить при помощи двух неотрицательных чисел: l и γ число 1 называется запасом устойчивости системы по амплитуде. γ- запас устойчивости по фазе. В общем случае ни одно из чисел 1 и γ взятое в отдельности, не может служить количественной мерой запаса устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде и фазе всегда рассматривается совместно. Причем
Угол γ на рис дает точка пересечения годографа с окружностью единичного радиуса на частоте ωср, которая получила название частоты среза. Типовые динамические звенья Получая передаточные функции различных по конструкции и назначению элементов САУ. Было замечено, что их динамику отображают ограниченное число своеобразных «кирпичиков». Оказалось возможным разделить структурные схемы элементов систем на отдельные динамические звенья. Каждое такое типовое звено отражает в структурной схеме какую-либо одну особенность поведения элемента в динамике, например, колебательность, инерционность, запаздывание и т.п. типовые звенья своими сочетаниями позволяют обрисовавывать динамику любой автоматической системы. Зная из каких типовых звеньев состоит структурная схема, можно уверенно прогнозировать ее качественное поведение в динамике. К типовым звеньям относят: усилительное, иннерционное колебательное, интегрирующие, дифферинцирующее звенья, а так же звено с постоянным транспортным запаздыванием. Тип звена однозначно определяется видо передаточной фугкции. Поэтому звенья отличаются своей реакцией на входное ступенчатое воздействие, причем реакция звена на входное ступенчатое воздействие в виде единичной ступенчатой функции времени хвк(t) = i(t) называется переходной функцией или характеристикой.
  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
,
- действительная часть;
- мнимая часть, то АЧХ и ФЧХ определяются соответственно по формулам
и избавимся от мнимого выражения в знаменателе, что позволит записать АФЧХ в алгебраической форме
на систему выходной сигнал X2(t) по истечении времени
(18)
- АЧХ системы;
- ФЧХ системы.
=10
где 
и 
- соответственно вещественная и мнимая части корня.
последовательным вычеркиванием крайних левых столбцов и верхних строк получают еще 
определитель 
. Причем 
все n определителей положительны т.е.
(на ЭВМ могут быть расчитаны системы любого порядка.)
