|
|
Две основные задачи динамики точкиСтр 1 из 4Следующая ⇒ ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 4 ДИНАМИКА.. 5 1. Основные законы динамики. 5 2. Две основные задачи динамики точки. 6 3. Колебания материальной точки. 8 4. Основное уравнение динамики относительного движения. 11 5. Теорема о движении центра масс механической системы.. 12 6. Теорема об изменении количества движения для материальной точки. 15 7. Теорема об изменении количества движения механической системы.. 16 8. Понятия о моментах инерции. 17 9. Теорема об изменении кинетического момента. 19 10. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. 21 11. Работа силы.. 23 12. Кинетическая энергия точки и твердого тела. 25 13. Теорема об изменении кинетической энергии. 26 14. Закон сохранения полной механической энергии. 28 15. Принцип Даламбера (метод кинетостатики) 29 16. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. 31 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 34
Раздел «Динамика» является основным и заключительным в курсе теоретической механики. В нем изучаются законы движения материальных точек и механических систем при действии на них сил. Для инженера важное значение имеет не только знание этих законов динамики, но и умение применять их к решению конкретных практических задач. Основной задачей настоящего методического указания является оказание помощи студенту заочной формы обучения при подготовке к аудиторной контрольной работе. При положительной оценке преподавателем результатов указанной контрольной работы студент будет допущен к сдаче экзамена по разделу «Динамика» дисциплины «Теоретическая механика». В контрольной работе будут содержаться теоретический вопрос и одна задача на применение основных законов и принципов раздела «Динамика». В методическом указании содержится минимум необходимый для ответов на теоретические вопросы материалов, а также примеры задач, тематика которых совпадает с тематикой задач, которые будут представлены при проведении аудиторной контрольной работы. Рецензированию подлежат только те контрольные работы если в них содержится ответ на теоретический вопрос и дано решение предложенной задачи. Преподаватель оценивает правильность и полноту ответа на вопрос и решения задачи и делает окончательное заключение о возможности получения оценки «зачтено» для студента, выполнившему контрольную работу.
ДИНАМИКА
Основные законы динамики
Закон инерции (первый закон Ньютона): если действующая на материальную точку система сил уравновешена, то точка находится в покое, либо в состоянии прямолинейного и равномерного движения. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона называется инерциальной системой отсчета. Инерциальную системуотсчета можно считать неподвижной. Система отсчета, не обладающая вышеуказанными свойствами, называется неинерциальной системой отсчета. В последней точка, на которую не действуют силы, движется с ускорением, и ее скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Основной закон динамики (второй закон Ньютона): сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы Запись этого закона в векторной форме имеет вид:
где Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона): две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль одной прямой. Закон независимости действия сил (закон суперпозиции сил): при действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно сумме ускорений, которые имела бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности. Т. е. если
то
Примеры решения задач
Деталь массой m = 0,5 кг скользит вниз по лотку. Под каким углом к горизонтальной плоскости должен располагаться лоток, для того чтобы деталь двигалась с ускорением a = 2 м/с2? Угол выразить в градусах. Решение На основе основного уравнения динамики Спроецируем это уравнение на ось Х: OX: Ответ:
Задача 2
Решение Запишем основное уравнение динамики: Спроецируем это уравнение на ось Y: OY:
Ответ:
Примеры решения задач Задача 1
Решение Запишем основное уравнение динамики: Спроецируем это уравнение на ось Х: OX: Ответ: Задача 2
Решение Запишем основное уравнение динамики: Спроецируем это уравнение на ось Y: OY: В момент отрыва
Ответ: Задача 3
Решение Так как сила
Ответ:
Задача 4
Решение Так как сила
Ответ:
Примеры решения задач Задача 1
Решение Период колебаний определим по формуле: где k – угловая частота свободных вертикальных колебаний:
Ответ: Задача 2
Решение Угловая частота свободных вертикальных колебаний: где Так как система состоит из пружин соединенных и последовательно и параллельно, то определим вначале эквивалентную жесткость параллельно соединенных пружин с12: Далее определим последовательное соединение пружин:
Ответ: Примеры решения задач
Задача 1 Шарик М массой m = 0.2 кг движется со скоростью V = 19.62 м/с относительно вертикальной трубки, которая на расстоянии l = 0.5 м прикреплена к вертикальному валу 1. Вал вращается с постоянной угловой скоростью Решение Переносная сила инерции может быть рассчитано согласно формулы: Так как переносным движением является вращение трубки вокруг оси Z, то переностным движением точки является движение по окружности радиуса
Ответ:
Штатив с математическим маятником движется по наклонной плоскости вниз с ускорением Решение Запишем основное уравнение динамики относительного покоя Спроецируем это уравнение на ось Х и Y, при этом учтем, что OX: OY: Из уравнения (2) выразим T и подставим в уравнение (1).
т.к. Ответ:
Примеры решения задач Задача 1 Тело 1 массой m1 = 4 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. На какое расстояние переместится тело 1, когда однородный стержень 2 массой m2 = 2 кг и длиной l = 0,6 м, опускаясь под действием силы тяжести, займет вертикальное положение. В начальный момент система находилась в покое. Решение Выберем начало системы отсчета. Расстояние от оси Y до центра масс 1 тела обозначим X1, а до тела 2 X2. Предположим, что при перемещениитела 2 в вертикальное положение вся система сместится вправо на расстояние Запишем уравнение для определения центра масс всей системы для 1-го и 2-го положений.
Т.к.
Ответ:
Тело 1 массой m1 = 0,7 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. Определить ускорение тела 1 в момент времени t = 0,25 с, если относительно негопод действием внутренних сил системы движется тело 2 массой m2 = 0,1 кг согласно уравнению Решение Выберем начало системы отсчета. Расстояние от оси Y до центра масс 1 тела обозначим X1, а до тела 2 X2. При перемещениитела 2 в нижнее положение вся система должна сместиться вправо на расстояние Запишем уравнение для определения центра масс всей системы в 1-ом и 2-ом положениях.
т.к.
Для определения ускорения 1-го тела необходимо дважды продифференцировать полученную зависимость:
Ответ:
Примеры решения задач Задача 1 Трубка вращается с угловой скоростью Решение Количество движения определяется по формуле:
где
Ответ:
Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью Решение Т.к. скорость точки в 1-ом и 2-ом положении постоянная, то модуль количества движения в 1-ом и 2-ом положении будут равны и определяются:
Ответ:
Примеры решения задач
По горизонтальному участку пути движутся два вагона, массы которых Решение Согласно теореме об изменении количества движения:
Т.ак как никаких внешних сил к системе не было приложено, то S = 0, и
Ответ:
Понятия о моментах инерции
При поступательном движении мерой инерции твердого тела является масса. При вращательном движении инертность тела определяется распределением его массы относительно оси вращения, т.е. моментом инерции. Момент инерции тела относительно полюса – скалярная величина, численно равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадрат расстояния до полюса (рис. 1)
Момент инерции относительно оси – скалярная величина, численно равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадрат расстояния до оси
Радиус инерции определяет то расстояние от оси до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы она имела тот же момент инерции, как и рассматриваемое тело.
Для определения моментов инерции относительно параллельных осей используется теорема Гюйгенса Штейнера. Согласно ей момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между ними.
Для однородных простейших симметричных тел формулы для определения моментов инерции имеются в соответствующих справочной литературе. Так, например, для однородного тела, имеющего форму диска момент инерции относительно оси диска определяется:
Примеры решения задач
Определить момент инерции конструкции состоящей из однородных стержней 1 и 2, относительно оси Oz, если массы стержней m1 = 2 кг, m2 = 1 кг, а размеры l1 = 0,6 м, l2 = 0,9 м. Решение Стержень 1 представим в виде материальной точки. Момент инерции системы находим как сумма моментов инерции 2-х тел.
Момент инерции системы:
Ответ:
Примеры решения задач
Трубка вращается вокруг вертикальной оси Oz, ее момент инерции Iz = 0,075 кг∙м2. По трубке под действие внутренних сил системы движется шарик М массой m = 0,1 кг. Когда шарик находится на оси Oz, угловая скорость ω0 =4 рад/с. При каком расстоянии l угловая скорость будет равна ω1 = 3 рад/с? Решение Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:
где
Ответ:
По стержню АВ движется ползун С согласно закону АС = 0,2 + 1,2t. Ползун считать материальной точкой массой m = 1 кг. Момент инерции вала ОА Iz = 2,5 кг∙м2. Определить угловую скорость вала в момент времени t1 = 1 c, если начальная угловая скорость ω0 = 10 рад/с. Решение Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:
Ответ:
Примеры решения задач
Определить радиус инерции шкива, масса которого m = 50 кг и радиус R = 0,5 м, если под действием силы натяжения троса Т = 18t он вращается вокруг оси Oz по закону φ = t3/ 3 + 3 t. Решение Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел:
где
Ответ:
На какой угол повернется за 1 с маховик, масса которого m = 1,5 кг и радиус инерции i = 0,1 м, если он начинает вращаться из состояния покоя под действием главного момента внешних сил MEZ = 0,15 Решение Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел:
Ответ:
Работа силы В общем случае работа силы на конечном перемещении
Данная формула является наиболее общей для вычисления работы силы на конечном перемещении. Она применяется в следующих случаях: 1) когда точка под действием силы перемещается по криволинейной траектории; 2) когда точка перемещается по прямой, но сила переменна по величине и/или по направлению. Работа A постоянной по модулю и направлению силы
Единицей измерения работы в системе СИ является 1 Джоуль (1 Дж). Работа силы тяжести
Работа силы упругости
где h – деформация пружины. Работа момента силы
Если момент
Примеры решения задач
Задача 1 На тело действует постоянная по направлению сила Решение Работа силы определяется по формуле:
Ответ:
Цилиндр, масса которого m = 1 кг, радиус r = 0,173 м, катится без скольжения. Определить суммарную работу силы тяжести и силы сопротивления качению, если ось цилиндра переместилась на расстояние s = 1 м и коэффициент трения качения Решение
Спроецируем все силы на ось OY:
Ответ: Примеры решения задач
Задача 1 Однородный стержень, масса которого m = 1 кг и длина АВ = 1 м, вращается вокруг оси Oz по закону φ = 2t3. Определить кинетическую энергию стержня в момент времени t = 1 c. Решение
Момент инерции стержня если ось вращении проходит через конец стержня:
Ответ:
Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 Решение Кинетическая энергия системы состоит из суммы кинетических энергий двух тел. Груз совершает поступательное движение, и его кинетическая энергия определится по формуле: Цилиндр совершает вращательное движение и его кинетическая энергия определиться по формуле: Так как груз движется со скоростью V, то и трос движется с такой же скоростью, соответственно угловая скорость цилиндра будет равна:
Ответ:
Примеры решения задач
Определить скорость груза 2 в момент времени, когда он опустился вниз на расстояние s = 4 м, если массы грузов m1 = 2 кг, m2 = 4 кг. Система тел вначале находилась в покое. Решение Согласно теореме об изменении кинетической энергии: Определим кинетическую энергию механической системы.
Скорость первого тела выразим через скорость второго тела.
Определим работу внешних сил приложенных к системе: Работа силы тяжести первого тела будет отрицательной, так как направление силы не совпадает с направлением его перемещения. Работа силы тяжести второго тела будет положительной, так как сила совпадает с направлением перемещения s:
Ответ:
Примеры решения задач
Однородный диск массой m и радиуса r катится без скольжения по наклонной плоскости вверх. В начальный момент времени скорость центра диска V0 = 4 м/с. Определить путь пройденный центром С диска до остановки. Решение Согласно закону о сохранении полной энергии:
Однородный диск совершает плоскопараллельное движение, соответственно его кинетическая энергия будет состоять из суммы кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра масс.
где
Так как в конечном положении диск остановился, то его кинетическая энергия Примем в начальный момент времени
тогда  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, (1.1)
– сила, действующая на точку, 
– её ускорение, m – масса точки.
., 
.
(1.2)
Задача 1
для условия данной задачи запишем: 
.
.
.
Тело массой m = 50 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально с ускорением a = 0,5 м/с2. Определить силу натяжения троса.
. Для условия данной задачи запишем: 
.
Н.
Н.
Материальная точка массой m = 1,4 кг движется прямолинейно по закону 
. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке.
; 
м/с; 
м/с2; 
Н.
Н.
На материальную точку массой m = 200 кг, которая находится на горизонтальной поверхности, действует вертикальная подъемная сила 
. Определить время t, при котором начнется движение точки.
.
и 
.
; 
с.
с.
Материальная точка M массой m = 8 кг движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = 18 м. Определить угол α в градусах между силой 
и скоростью 
в момент времени, когда скорость точки V = 3 м/с, а касательное ускорение 
м/с2.
, то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по окружности направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол α – это угол между касательным и полным ускорением.
; 
.
.
Материальная точка массой m = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы 
Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки V = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол 
.
– это угол между касательным и полным ускорением.
; 
м/с2; 
;
м.
м.
Определить период свободных вертикальных колебаний груза массой m = 80 кг, который прикреплен к пружине с коэффициентом жесткости с = 2 кН/м.
,
с-1 
с.
с.
Определить угловую частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2 кг, если коэффициенты жесткости пружин с1 = с2 = с3 = 300 Н/м.
,
– эквивалентная жесткость системы пружин.
Н/м;
; 
; 
Н/м.
с-1.
с-1.
рад/с. Определить переносную силу инерции шарика.
, Определим переносное ускорение точки.
. При этом ускорение точки можно разложить на два ускорения (
и 
), т.е.:
;
м/с2;
; 
м/с2.
м/с2; 
Н.
.
Задача 2
. Определить угол 
в положении относительного покоя шарика, если угол 
.
.
.
(1)
(2)
; 
, 
; 
, 
;
.
согласно теореме о сохранении положения центра масс. Координата центра масс первого тела будет равна 
, а второго тела 
.
; 
;
, 
,
; 
;
; 
м.
м.
Задача 2
.
.
;
,
;
;
; 
м.
; 
м/с2.
м/с2.
рад/с. Относительно трубки движется шарик М массой m = 0,2 кг со скоростью 
м/с. Определить модуль количества движения шарика в момент времени, когда расстояние ОМ = 0,4 м.
, 
– абсолютная скорость точки
, 
, 
м/с.
м/с; 
Задача 2
м/с. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.
Задача 1
кг, 
кг и скорости 
м/с, 
м/с. Второй вагон догоняет первый и сцепляется с ним. Пренебрегая сопротивлением движению, определить скорость вагонов после сцепления.
– импульс сил.
; 
м/с.
. (8.1)
. (8.2)
. (8.3)
. (8.4)
.
Задача 1
– момент инерции материальной точки;
Задача 1
– момент инерции системы;
– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась на оси вращения
– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась от оси вращения на расстоянии l.
Задача 2
при t0 = 0 c, 
при t1 = 1 c.
Задача 1
– момент силы Т относительно оси OZ.
– кинетический момент шкива.
Задача 2
?
.
,
; 
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
рад.
рад.
равна
. (11.1)
материальной точки, есть произведение модуля F силы, модуля s перемещения и косинуса угла a между векторами силы и перемещения.
. (11.2)
A = ± m × g × h (11.3)
, (11.4)
. (11.5)
, то последняя формула примет вид
(11.6)
. Определить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатой x0 = 0 в положение с координатой x1 = 1 м.
, 
,
, 
Дж.
Дж.
Задача 2
м.
– работа силы тяжести
– Работа момента силы сопротивления M.
– Кинетическая энергия при вращательном движении.
Задача 2
Дж.
,
рад/с; 
Дж, 
Дж.
Дж.
Задача 1
,
, 
, 
,
, 
, 
.
; 
,
Дж.
; 
м/с.
м/с.
Задача 1
,
– момент инерции диска относительно оси проходящей через центр масс диска.
– угловая скорость диска относительно мгновенного центра скоростей.
, тогда в конечном положении диск обладал потенциальной энергией полученной при подъеме тела на высоту h.
,
; 