Колебания материальной точки

Общим признаком всех колебательных движений является их многократная повторяемость через определенные промежутки времени. Колебательное движение материальной точки происходит при условии наличия восстанавливающей силы.

Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия.

Проекция восстанавливающей силы на ось Ox может быть найдена из выражения:

F_x = – c · x, (3.1)

где c – коэффициент пропорциональности.

Кроме восстанавливающей силы при колебаниях на точку может действовать также возмущающая сила, т. е. такая сила, которая зависит от времени. Обычно в качестве возмущающей силы рассматривают силу, проекция которой на ось Ox определяется следующим выражением:

, (3.2)

где H, p и δ – некоторые постоянные величины.

При колебаниях возникают силы сопротивления. Обычно эту силу рассматривают как функцию скорости движения точки и называют силой вязкого трения. При этом ее проекция на ось Ox определяется из выражения

, (3.3)

где b – коэффициент пропорциональности.

В зависимости от наличия восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления колебания материальной точки классифицируются следующим образом.

1) свободные колебания, при которых присутствует только восстанавливающая сила.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки имеет вид:

. (3.4)

где k – циклическая (круговая) частота колебаний (число колебаний за 2π секунд).

При колебании груза на пружине циклическая частота может быть определена:

. (3.5)

где с – жесткость пружины, m – масса груза

В случае свободных колебаний их период определится согласно выражению:

, (3.6)

2) Свободные колебания при вязком сопротивлении (затухающие колебания) – это колебания при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления.

3) Вынужденные колебания возникают когда в колебательном процессе участвуют восстанавливающая и возмущающая силы.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить период свободных вертикальных колебаний груза массой m = 80 кг, который прикреплен к пружине с коэффициентом жесткости с = 2 кН/м.

Решение

Период колебаний определим по формуле: ,

где k – угловая частота свободных вертикальных колебаний:

с^-1 с.

Ответ: с.

Задача 2

Определить угловую частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2 кг, если коэффициенты жесткости пружин с₁ = с₂ = с₃ = 300 Н/м.

Решение

Угловая частота свободных вертикальных колебаний: ,

где – эквивалентная жесткость системы пружин.

Так как система состоит из пружин соединенных и последовательно и параллельно, то определим вначале эквивалентную жесткость параллельно соединенных пружин с₁₂: Н/м;

Далее определим последовательное соединение пружин:

; ; Н/м.

с^-1.

Ответ: с^-1.

Основное уравнение динамики относительного движения.

До сих пор изучалось движение материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета, т. е. системы отсчета, где справедливы законы Ньютона. Во многих случаях задачи динамики сводятся к исследованию движения в той или иной неинерциальной системе. Рассмотрим движение точки по отношению к подвижной системе отсчета

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки будет иметь вид

, (4.1)

где – ускорение точки относительно подвижной системы отсчета

Относительное движение материальной точки происходит под действием приложенных к точке сил, при условии, что к ним присоединены переносная и Кориолисова силы инерции.

При этом переносная и Кориолисова силы инерции – это векторы, численно равные произведению массы точки на ее переносное и Кориолисово ускорения. Направление сил инерции противоположно направлению одноименных им ускорений.

Условие относительного покоя можно получить из основного уравнения динамики относительного движения материальной точки путем подстановки в указанное уравнение нулевых значений и :

, (4.2)

Примеры решения задач

Задача 1

Шарик М массой m = 0.2 кг движется со скоростью V = 19.62 м/с относительно вертикальной трубки, которая на расстоянии l = 0.5 м прикреплена к вертикальному валу 1. Вал вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Определить переносную силу инерции шарика.

Решение

Переносная сила инерции может быть рассчитано согласно формулы: , Определим переносное ускорение точки.

Так как переносным движением является вращение трубки вокруг оси Z, то переностным движением точки является движение по окружности радиуса . При этом ускорение точки можно разложить на два ускорения ( и ), т.е.:

;

м/с²;

; м/с².

м/с²; Н.

Ответ: .

Задача 2

Штатив с математическим маятником движется по наклонной плоскости вниз с ускорением . Определить угол в положении относительного покоя шарика, если угол .

Решение

Запишем основное уравнение динамики относительного покоя .

Спроецируем это уравнение на ось Х и Y, при этом учтем, что .

OX: (1)

OY: (2)

Из уравнения (2) выразим T и подставим в уравнение (1).

; , ; , ;

т.к. .

Ответ: .

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: