Тезисы лекций по теоретической и прикладной механике II.

Тезисы лекций по теоретической и прикладной механике II.

В теоретической и прикладной механике II изучается дисциплина «Сопротивление материалов», сокращённо «Сопромат».

Основные понятия и определения сопромата.

Цели занятия: Рассмотреть основные понятия и определения сопромата

2. Основные понятия и определения сопромата.

Сопромат – наука о прочности, жёсткости и устойчивости конструкций и деталей машин.

Прочность – способность материала сопротивляться разрушению.

На прочность так следует рассчитать конструкцию, чтобы она выдержала заданную нагрузку.

Жёсткость – способность материала сопротивляться деформации.

На жёсткость так следует рассчитать конструкцию, чтобы деформация в ней не превышала допускаемого значения.

Устойчивость – способность конструкции сохранять свою первоначальную прямолинейную форму равновесия.

Основная задача сопромата – определить, сможет ли конструкция выдержать заданную нагрузку.

Обратная задача сопромата – по заданной нагрузке определить требуемые размеры конструкции.

Наибольшее внимание в сопромате уделяется изучению брусьев.

Брус – это элемент, длина которого намного больше его поперечных размеров.

Пластина – это элемент, длина и ширина которого намного больше его толщины.

Оболочка – это элемент, ограниченное двумя поверхностями и имеющее малую толщину по сравнению с радиусом кривизны и длиной.

Массивное тело – это тело, у которого все размеры значительной величины и одного порядка.

1. Что изучает дисциплина «Сопротивление материалов»?

2. Что такое прочность, жёсткость и устойчивость?

3. Цель расчётов на прочность, жёсткость и устойчивость.

4. Сформулируйте основную и обратную задачи сопромата.

1. Рассмотреть физический смысл нагрузок, единицы измерения нагрузок, виды нагрузок.

2. Рассмотреть расчётные схемы, где и для чего они применяются.

3. Рассмотреть метод сечений, для чего нужен метод сечений, какие бывают внутренние силовые факторы, при каких видах деформации они возникают.

3. Внутренние силовые факторы. Метод сечений.

Нагрузки – это внешние силы, действующие на конструкцию.

Сила – это мера механического воздействия одного тела на другое.

а) По длительности воздействия – постоянные, временные, переменные.

Б) По характеру приложения – распределённые и сосредоточенные.

В) По характеру воздействия – статические и динамические.

Статическая нагрузка медленно возрастает от нуля до своего конечного значения и остаётся постоянной в процессе работы детали или конструкции.

Динамическая нагрузка мгновенно возрастает от нуля до своего конечного значения и её значение непостоянно в процессе работы детали или конструкции.

При расчётах в сопромате для упрощения графической части реальные конструкции заменяются расчётными схемами, т.е. вместо чертежа детали или конструкции изображают упрощённую схему и по ней проводят расчёты.

Внутренние силовые факторы. Метод сечений.

При действии на тело внешних сил внутри тела возникают силы сопротивления, которые называются внутренними силовыми факторами.

При различных видах деформаций возникают определённые внутренние силовые факторы. Всего при различных видах деформаций возникает шесть внутренних силовых факторов, которые характеризуют все виды деформаций, существующие в природе.

1. N – продольная сила, возникает при деформации растяжение и сжатие.

Это поперечные силы, возникают при деформации сдвиг.

Это изгибающие моменты, возникают при деформации изгиб.

6. М_Z =Т – крутящий момент, возникает при деформации кручение.

Чтобы вычислить внутренние силовые факторы, применяется метод сечений, который заключается в том, что тело мысленно рассекается на две части, одна часть отбрасывается, а другая рассматривается и вместо отброшенной части прикладываются внутренние силовые факторы. Значения внутренних силовых факторов вычисляются из уравнений равновесия.

4. Для чего в сопромате применяются расчётные схемы?

6. Какие существуют внутренние силовые факторы?

Цель занятия: Рассмотреть механическое напряжение, его физический смысл, причины возникновения механического напряжения, виды механического напряжения, как определяется значения напряжения, где применяется.

1. Понятие напряжения, причины возникновения.

Напряжение – это мера интенсивности действия внутренних сил.

При действии на конструкцию внешней нагрузки в материале конструкции возникает механическое напряжение, которое характеризует интенсивность внутренних сил. Если нагрузку постепенно увеличивать, то значение напряжения тоже будет увеличиваться, и когда оно достигнет какого – то критического значения, произойдёт разрушение материала.

Полное напряжение р разложим на две оси, одна из них перпендикулярна к поперечному сечению конструкции, другая параллельна.

σ – нормальное напряжение, возникает при деформации растяжение или сжатие, всегда направлено перпендикулярно к поперечному сечению конструкции.

τ – касательное напряжение, возникает при деформации сдвиг, всегда направлено параллельно к поперечному сечению конструкции.

Всегда нормальное и касательное напряжение взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим нормальное напряжение. Оно вычисляется по следующей формуле:

где S – площадь поперечного сечения конструкции

Так как величина Па очень маленькая, то на практике применяют величину

[σ] – допускаемое нормальное напряжение, каждый материал имеет своё значение.

Чтобы обеспечить прочность конструкции, значение напряжения не должно превышать допускаемого, иначе может произойти разрушение материала.

Приблизительные значения допускаемого нормального напряжения для некоторых материалов:

Легированные высококачественные стали: [σ] = 400 МПа и выше

Рассмотрим касательное напряжение. Оно вычисляется по следующей формуле:

[τ] – допускаемое касательное напряжение, каждый материал имеет своё значение.

4. При каких деформациях возникает нормальное напряжение?

5. При каких деформациях возникает касательное напряжение?

6. Какой угол между нормальным и касательным напряжениями?

7. По каким формулам вычисляется напряжение.

1. Рассмотреть деформации и перемещения, какие бывают деформации и перемещения.

2. Рассмотреть основные предпосылки (гипотезы), применяемые в сопромате.

3. Основные предпосылки (гипотезы), применяемые в сопромате.

Деформация – это изменение формы и объёма тела.

Деформация бывает упругой и пластичной. При упругой деформации тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки, а при пластичной нагрузке этого не происходит.

Деформация также бывает линейной и угловой.

1. Рассмотреть деформацию растяжение – сжатие, где в технике встречается данный вид деформации, какие внутренние силовые факторы и напряжения возникают при растяжении – сжатии, какие деформации возникают при растяжении – сжатии.

2. Рассмотреть температурные и монтажные напряжения, при каких обстоятельствах они возникают, какие меры принимают, чтобы устранить температурные и монтажные напряжения.

1. Основные понятия и определения растяжения и сжатия.

Основные понятия и определения растяжения и сжатия.

Растяжение и сжатие – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает следующий внутренний силовой фактор – продольная сила N.

При растяжении или сжатии возникают нормальные напряжения, которые вычисляются по следующей формуле:

Деформация при растяжении и сжатии называется удлинением.

Е – модуль упругости Ι рода, характеризует жесткость бруса при растяжении и сжатии, величина табличная.

Величина ES называется жесткостью при растяжении или сжатии.

Подставим выражение (1) в выражение (2), получим

Подставим выражение (3) в выражение (4), получим

Выражения (5) и (6) являются законом Гука при растяжении и сжатии, формулируется следующим образом: удлинение прямо пропорционально напряжению.

При растяжении и сжатии также возникает поперечная деформация

μ – коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона, величина табличная

1. Рассмотреть диаграмму растяжения малоуглеродистой стали, как она получается, какие механические характеристики материалов существуют.

2. Рассмотреть условие прочности при растяжении – сжатии.

2. Условие прочности при растяжении – сжатии.

Испытаем на растяжение стальной стержень (например из материала Ст 3). Испытания проводятся на универсальных испытательных машинах, снабженных силоизмерителем и аппаратом для автоматической записи диаграммы в координатах «сила – удлинение». График зависимости между растягивающей силой F и удлинением образца Δl называется диаграммой растяжения. Эту диаграмму можно переделать в зависимость между напряжением σ и относительным удлинением Δl.

Диаграмму можно условно разделить на четыре зоны. Первая зона называется зоной упругости, на этом участке свойства материала подчиняются закону Гука, деформация материала упругая. Наибольшее напряжение, до которого в материале соблюдается закон Гука, называется пределом пропорциональности, или пределом упругости, обозначается σ_пц.

При дальнейшем растяжении, когда напряжение превысит значение предела пропорциональности, следует зона пластичности. Здесь закон Гука уже не соблюдается, деформация материала пластичная. Вскоре напряжение достигнет значения предела текучести, которое обозначается σ_т.

Предел текучести – напряжение, при котором происходит удлинение без увеличения напряжения.

При дальнейшем растяжении стержня значение напряжения снова будет увеличиваться. Это будет третья зона – зона упрочнения. Здесь будет происходить явление повышения упругих свойств материала в результате пластического деформирования. Это явление называется поверхностным упрочнением или наклёпом.

При дальнейшем растяжении напряжение достигнет значения предела прочности, обозначается σ_В.

Предел прочности – максимальное напряжение, которое может выдержать материал.

Далее следует четвёртая зона – зона местной текучести. Здесь происходит удлинение стержня при уменьшении растягивающей силы и сопровождается образованием шейки – местного сужения. Вскоре происходит разрыв стержня.

1. Рассмотреть деформацию сдвиг, где в технике встречается данный вид деформации, какие внутренние силовые факторы и напряжения возникают при сдвиге, какие деформации возникают при сдвиге, как формулируется условие прочности при сдвиге.

2. Рассмотреть практические расчёты на прочность конструкций, работающих на сдвиг.

4. Практический расчёт на прочность заклёпочного соединения.

5. Практический расчёт на прочность сварного соединения.

Сдвиг – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает следующий внутренний силовой фактор – поперечная сила Q.

При сдвиге действует касательное напряжения τ, которое вычисляется по следующей формуле

Деформация при сдвиге называется углом сдвига γ, вычисляется по следующей формуле

где G – модуль упругости ΙΙ рода, или модуль сдвига, характеризует жесткость бруса при сдвиге, величина табличная.

Величина GS называется жёсткостью при сдвиге.

Подставим выражение (7) в выражение (8), получим

Выражения (9) и (10) являются законом Гука при сдвиге, который формулируется следующим образом: напряжение прямо пропорционально углу сдвига.

Единица измерения угла сдвига – радиан, можно перевести в градусы.

Условие прочности при сдвиге – касательное напряжение не должно превышать допускаемого значения.

Основное уравнение прочности при сдвиге выглядит следующим образом:

Цели занятия: Рассмотреть деформацию кручение, где в технике встречается данный вид деформации, какие внутренние силовые факторы и напряжения возникают при кручении, какие деформации возникают при кручении, как формулируется условие прочности и жёсткости при кручении.

Кручением называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса возникает лишь один внутренний силовой фактор – крутящий момент Т.

Будем рассматривать случай (так называемого) нестесненного кручения, когда деформации стержня в направлении его оси не затруднены. В таком случае в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения. Этот факт можно принять за первое допущение, используемое нами в дальнейшем выводе.

Второе допущение имеет геометрический характер и состоит в том, что поперечные сечения при кручении остаются плоскими и их радиусы не искривляются.

Как показывает точное решение задачи методами теории упругости, для круглых поперечных сечений эта гипотеза выполняется абсолютно точно.

Нашей задачей будет определение напряжений и перемещений в закручиваемом стержне.

Рассмотрим произвольный стержень круглого поперечного сечения.

Выделим кольцеобразный малый элемент, а из него в свою очередь элемент m, npо который в пределе

можно считать плоским. Данный элемент содержит точку, напряженное состояние которой мы исследуем. Полярный радиус исследуемой точки

Основываясь на первом принятом допущении, заключаем, что элемент mnpq испытывает чистый сдвиг.

При кручении поперечные сечения, между которыми заключен элемент повернутся друг относительно друга на малый угол d

. Очевидно, что угол сдвига будет равен

Величину

называем относительным углом закручивания.

Тогда

(11).

Рассмотрим физическую сторону задачи. Будем полагать материал линейно упругим и примем закон Гука

(12).

Мы видим, что касательные напряжения по радиусу меняются линейно, но величина Q нам еще не известна.

Обратимся к статической стороне задачи и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня

В результате получаем так называемую основную зависимость при кручении

(14)

Величина

называется жесткостью при кручении.

Подставим (14) в (13) и получим закон распределения касательных напряжений

(15)

Как мы выяснили ранее, закон распределения напряжений линейных и наибольшие касательные напряжения возникают на контуре сечения при

(16)

Само собой, что закон распределения касательных напряжений осесимметричный и по каждому из радиусов напряжения распределяются одинаково.

Формула (6) дает возможность рассчитывать на прочность стержни, работающие на кручение, которые называют валами.

Может стоять задача определения коэффициента запаса по текучести. Тогда

, где

предел текучести при кручении.

При кручении возникают угловые перемещения.

- угол взаимного поворота сечений, т.е. угол на который повернутся два каких-либо сечения друг относительно друга. Пусть у стержня одно сечение заделано, а на конце приложен момент. Очевидно, что крутящий момент по длине меняться не будет

Если, как это имеет место в нашем случае,

то

(18) Угол закручивания определяем на всей длине l. Расчет на жесткость заключается в ограничении углов закручивания.

, где

- допускаемый угол закручивания, задаваемый обычно на длине 1м.

1. Какой внутренний силовой фактор возникает при кручении?

3. По какой формуле определяется напряжение при кручении?

5. По каким формулам вычисляется деформация при кручении?

7. Сформулируйте условие прочности при кручении?

8. Сформулируйте условие жёсткости при кручении?

1. Ознакомить с дифференциальной зависимостью при изгибе между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью распределённой нагрузки q, где применяется данная дифференциальная зависимость.

2. Рассмотреть деформацию чистый изгиб, практическое применение чистого изгиба.

1. Дифференциальная зависимость при изгибе между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью распределённой нагрузки q.

Допустим, что в данном случае в поперечных сечениях действуют лишь нормальные напряжения.

Рассмотрим балку, загруженную таким образом, что возникает нагружение чистого изгиба.

1. Рассмотрим вначале статическую сторону задачи.

Из 6 уравнений 3 удовлетворяются тождественно при любых значениях

Напряжения, рассматриваемые как функция координат:

должны удовлетворять статическим уравнениям (1-3).

Однако статических уравнений недостаточно для того, чтобы получить решение для напряжений. Надо рассмотреть еще деформации и принять закон, связывающие деформации и напряжения.

Характер деформации балки можно было бы наблюдать на модели из сильно деформируемого материала, например резины.

Изгибая резиновый брус с сеткой нанесенной на боковой поверхности мы бы увидели картину, похожую на ту, что показана на рисунке.

Мы видим, что поперечные сечения, оставаясь прямыми и нормальными к искривленным поперечным линиям, наклоняются друг к другу.

Этот факт был замечен еще в 1705 г. Я.Бернулли, многократно подтвержден экспериментами и сформулирован в форме гипотезы плоских сечений, положенный в основу технической теории изгиба:

Сечения плоские и нормальные к оси балки до изгиба остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси балки.

Пользуясь этой гипотезой, мы установим закон изменения удлинений волокон по высоте балки (под волокном понимаем мыслимый геометрический объект, а отнюдь не настаиваем на волокнистом строении материала).

Рассмотрим малый элемент. Очевидно, что верхние и нижние

волокна будут иметь разные по знаку деформации (в случае, показан-

ном на рисунке верхние волокна будут сжиматься, а нижние растягиваться), и т.к. деформация по своей сути – величина непрерывная, то

безусловно, где-то будет находиться слой не испытывающий деформации – нейтральный слой.

Пусть

- радиус кривизны нейтрального слоя, а

- координата, отсчитываемая от нейтрального слоя.

Удлинение произвольного волокна равняется:

(Напомним, что кривизна положительна, когда положительна координата кривизны). Чтобы привести знаки в соответствие с физическим смыслом запишем

аналитическая запись гипотезы плоских сечений.

Мы уже не раз говорили о том, что между напряжениями и деформациями существует связь, которая может быть установлена экспериментальным путем. Примем эту связь простейшей, т.е. будем считать, что материал линейно упруг, т.е. следует закону Гука.

Допустим, что волокна не давят друг на друга, а это для случая чистого изгиба совершенно точный факт, подтвержденный точным решением методами теории упругости, то тогда оказывается, что каждое волокно работает либо на растяжение, либо на сжатие, и в этой ситуации можно применить закон Гука:

Вернемся к статическим уравнениям (1-3) и подставим в них

выражение (5). Мы получим 3 уравнения, содержащие одну неизвестную величину

Эта система будет совместна только при некоторых условиях.

Подставим в (1):

, т.к.

(балка деформировалась и кривизна отлична от нуля), то

, т.е. если поместить начало координат в центр тяжести сечения, то первое условие совместности будет удовлетворительно. Вспомним, что координата отсчитывалась от нейтрального слоя. Отсюда вывод: при изгибе нейтральный слой проходит через центр тяжести. Подставим в (2):

т.е. оси, в которых рассматривается изгиб, должны быть главными.

Итак! Приняв оси

за главные, центральные оси мы удовлетворяем уравнениям (1) и (2).

Произведение модуля упругости на момент инерции называется жесткостью при изгибе.

Основную зависимость при изгибе можно сформулировать: кривизна прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости при изгибе.

Обратим внимание. Если чистый изгиб, то М-const и тогда изогнутая ось – дуга окружности. Подставим выражение для

в (5) и получим закон распределения нормальных напряжений:

Чаще всего в дальнейшем мы знаки напряжений будем расставлять по физическому смыслу и запишем, как это обычно принято в сопротивлении материалов.

Проанализируем полученный закон распределения нормальных напряжений.

1. Мы видим, что напряжения не зависят от координаты

, следовательно, по ширине сечения распределяются равномерно.

2. По высоте сечения нормальные напряжения распределяются линейно. На уровне центра тяжести они равны нулю, а максимальны по модулю в точке наиболее удаленной от нейтральной оси (следа на плоскости сечения нейтрального слоя). Если обозначить

, где

- расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки, то максимальное по модулю напряжение в сечении находится по формуле:

1. Чему равна интенсивность распределённой нагрузки?

3. Какой внутренний силовой фактор возникает при чистом изгибе?

4. Какое напряжение возникает при чистом изгибе?

5. По какой формуле определяется напряжение при чистом изгибе?

7. Где при чистом изгибе напряжение имеет максимальное и минимальное значения?

1. Рассмотреть деформацию поперечный изгиб, практическое применение поперечного изгиба.

2. Ознакомить с условием прочности и жёсткости при изгибе.

При поперечном изгибе, помимо изгибающего момента, в поперечном сечение имеется также и поперечная сила, которая является результирующей элементарных усилий, действующих в плоскости сечения. Т.е. помимо нормальных напряжений возникают и касательные напряжения.

Касательные напряжения искривляют поперечные сечения и гипотеза плоских сечений, вообще говоря, не выполняется. Однако если длина велика по сравнению с высотой балки, то искривления по

перечных сечений и возникающее в случае поперечного изгиба взаимное нажатие волокон не оказывают существенного влияния на величину нормальных напряжений, и нормальные напряжения при поперечном изгибе будут определяться по тем же формулам, что и при чистом изгибе.

Дадим грубую оценку касательных напряжений при изгибе.

Если сечение не является тонкостенным, то площадь его отличается от величины

числовым множителем порядка единицы. Тогда среднее касательное напряжение в сечении имеет порядок

Наибольший момент имеет порядок

, а момент сопротивления порядок

(например для прямоугольного сечения

). Таким образом нормальное напряжение имеет следующий порядок:

, откуда видно, что если длина стержня

велика по сравнению с характерным размером поперечного сечения

, то касательные напряжения при расчетах на прочность обычно не принимаются во внимании. Однако, исключения составляют случаи:

2. В случае конструкций, выполненных из материалов с малым сопротивлением межслойному сдвигу, например, древесина, или, получающие в настоящее время большое распространение армированные пластики, когда касательные напряжения могут оказаться более опасными, чем нормальные.

3. Для расчета соединений (поясных швов, заклепок) в металлических балках составного сечения.

Имея это ввиду, мы приведем формулу для определения касательных напряжений при изгибе, полученную нашим соотечественником Д.И.Журавским в середине прошлого века.

, где

- касательные напряжения в слое, отстоящим от нейтральной оси

на расстоянии

- статический момент части сечения, расположенной выше слоя в котором определяются касательные напряжения относительно оси

Следует иметь ввиду, что формула приближена и дает приемлемые результаты для высоких узких сечений.

Цели занятия: Рассмотреть деформацию изгиба с кручением, где в технике встречается данный вид деформации, какие внутренние силовые факторы и напряжения возникают при изгибе с кручением, как формулируется условие прочности при изгибе с кручением.

1. Основные понятия и определения изгиба с кручением.

4. Расчёт на прочность при изгибе с кручением.

Одним из наиболее распространённых видов деформации в машиностроительной практике является совместное воздействие изгиба и кручения. В таких условиях например работают валы редукторов.

Приводя силы, действующие на вал к оси вала, имеем следующую расчетную схему.

На участке АВ вал будет работать на изгиб с кручением. Очевидно, что наиболее опасным будет сечение В.

Наибольшие нормальные напряжения, возникающие в этом сечении

В наиболее опасной точке будет возникать плоское напряженное состояние

В качестве примера мы рассматривали круглое напряженное состояние, но такой же характер напряженного состояния будет при любом поперечном сечении и последующие результаты применимы для произвольных сечений.

Подставляя найденные главные напряжения в выражения для

по различным теориям

1) Теория наибольших касательных напряжений

Эти формулы можно использовать не только для изгиба, но и для растяжения (сжатия), изгиба и кручения.

В случае изгиба с кручением круглых валов, учитывая, что

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: